1、 第第 2 講講 橢圓、雙曲線、拋物線橢圓、雙曲線、拋物線 考情分析考情分析 高考對這部分知識考查側重三個方面：一是求圓錐曲線的標準方程；二是求橢圓的離心率、雙曲線的離心率、漸近線問題；三是拋物線的性質及應用問題 考點一 橢圓、雙曲線、拋物線的定義與標準方程 核心提煉 1圓錐曲線的定義 (1)橢圓：|pf1|pf2|2a(2a|f1f2|) (2)雙曲線：|pf1|pf2|2a(02ab0)的離心率為35，兩焦點分別為f1，f2，m為橢圓上一點，且f1f2m 的周長為 16，則橢圓 c的方程為( ) a.x216y2251 b.x225y291 c.x29y2251 d.x225y2161 答

2、案 d 解析 橢圓x2a2y2b21(其中 ab0)的兩焦點分別為 f1，f2，m 為橢圓上一點，且f1f2m 的周長為 16，可得 2a2c16， 橢圓x2a2y2b21(其中 ab0)的離心率為35，可得ca35，解得 a5，c3，則 b4，所以橢圓c的方程為x225y2161. (2)(2020 全國)設 f1，f2是雙曲線 c：x2y231 的兩個焦點，o 為坐標原點，點 p在 c上且|op|2，則pf1f2的面積為( ) a.72 b3 c.52 d2 答案 b 解析 方法一 由題意知 a1，b 3，c2，f1(2,0)，f2(2,0)， 如圖，因為|of1|of2|op|2， 所以

3、點 p 在以 f1f2為直徑的圓上，故 pf1pf2， 則|pf1|2|pf2|2(2c)216. 由雙曲線的定義知|pf1|pf2|2a2， 所以|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|4， 所以|pf1|pf2|6， 所以pf1f2的面積為12|pf1|pf2|3. 方法二 由雙曲線的方程可知，雙曲線的焦點 f1，f2在 x 軸上，且|f1f2|2 134. 設點 p的坐標為(x0，y0)， 則 x20y2031，x20y202，解得|y0|32. 所以pf1f2的面積為 12|f1f2| |y0|124323. 易錯提醒 求圓錐曲線的標準方程時的常見錯誤 雙曲線的定義中忽略“絕對值”

4、致錯；橢圓與雙曲線中參數的關系式弄混，橢圓中的關系式為 a2b2c2，雙曲線中的關系式為 c2a2b2；圓錐曲線方程確定時還要注意焦點位置 跟蹤演練 1 (1)設拋物線 c：y22px(p0)的焦點為 f，點 m 在 c 上，|mf|5.若以 mf 為直徑的圓過點(0,2)，則 c的方程為( ) ay24x 或 y28x by22x或 y28x cy24x或 y216x dy22x 或 y216x 答案 c 解析 方法一 因為以 mf 為直徑的圓過點(0,2)，所以點 m在第一象限 由|mf|xmp25，得 xm5p2， 即 m5p2，2p5p2. 從而以 mf 為直徑的圓的圓心 n的坐標為5

5、2，122p5p2. 因為點 n 的橫坐標恰好等于圓的半徑， 所以圓與 y 軸相切于點(0,2)， 從而 2122p5p2， 即 p210p160，解得 p2或 p8， 所以拋物線方程為 y24x或 y216x. 方法二 由已知得拋物線的焦點 fp2，0 ， 設點 a(0,2)，點 m(x0，y0)， 則afp2，2 ，amy202p，y02 . 由已知，得af am0，即 y208y0160， 解得 y04，m8p，4 . 由|mf|5，得8pp22165. 又因為 p0，解得 p2 或 p8， 所以拋物線 c 的方程為 y24x或 y216x. (2)已知橢圓 c：x2my2m41(m4)

6、的右焦點為 f，點 a(2,2)為橢圓 c內一點，若橢圓 c上存在一點 p，使得|pa|pf|8，則實數 m的取值范圍是( ) a(62 5，25 b9,25 c(62 5，20 d3,5 答案 a 解析 橢圓 c：x2my2m41(m4)的右焦點 f 的坐標為(2,0)設左焦點為 f，則 f(2,0) 由橢圓的定義可得 2 m|pf|pf|， 即|pf|2 m|pf|，可得|pa|pf|pa|pf|2 m82 m. 由|pa|pf|af|2，可得282 m2， 解得 3 m5，所以 9m25. 又點 a在橢圓內，所以4m4m44)， 所以 8m164)， 解得 m62 5. 由得 62 50

7、，b0)共漸近線 bx ay0 的雙曲線方程為x2a2y2b2(0) 例 2 (1)設 f1，f2分別是橢圓 e：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點，過 f2的直線交橢圓于a，b 兩點，且af1 af20，af22f2b，則橢圓 e的離心率為( ) a.23 b.34 c.53 d.74 答案 c 解析 af22f2b， 設|bf2|x，則|af2|2x， |af1|2a2x，|bf1|2ax， af1 af20，af1af2， 在 rtaf1b中，有(2a2x)2(3x)2(2ax)2， 解得 xa3，|af2|2a3，|af1|4a3， 在 rtaf1f2中，有4a322a32(2c

8、)2， 整理得c2a259，eca53. (2)(2020 莆田市第一聯盟體聯考)已知直線 l：yx1與拋物線 y24x 相交于 a，b兩點，m是 ab的中點，則點 m 到拋物線準線的距離為( ) a.72 b4 c7 d8 答案 b 解析 由題意可知直線 yx1 過拋物線 y24x 的焦點(1,0)，如圖，aa，bb，mm都和準線垂直，并且垂足分別是 a，b，m， 由圖象可知 |mm|12(|aa|bb|)， 根據拋物線的定義可知|aa|bb|ab|， |mm|12|ab|，聯立 yx1，y24x， 得 x26x10， 設 a，b 兩點的坐標為(x1，y1)，(x2，y2)， x1x26，|

9、ab|x1x228， |mm|4. 二級結論 拋物線的有關性質：已知拋物線 y22px(p0)的焦點為 f，直線 l 過點 f 且與拋物線交于兩點 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 (1)|ab|x1x2p2psin2( 為直線 l的傾斜角) (2)以 ab為直徑的圓與拋物線的準線相切 (3)1|af|1|bf|2p. 跟蹤演練 2 (1)已知 f 是拋物線 c：y22px(p0)的焦點，拋物線 c 的準線與雙曲線 ：x2a2y2b21(a0，b0)的兩條漸近線交于 a，b 兩點，若abf 為等邊三角形，則 的離心率 e等于( ) a.32 b.2 33 c.217 d.213 答案 d

10、 解析 拋物線的焦點坐標為p2，0 ，準線方程為 xp2， 聯立拋物線的準線方程與雙曲線的漸近線方程得 xp2，ybax，解得 ypb2a，可得|ab|pba， 由abf為等邊三角形，可得 p32pba， 即有ba23， 則 eca1b2a2143213. (2)已知拋物線 c：y22px(p0)的焦點為 f，點 m(x0,2 2)x0p2是拋物線 c 上一點，圓 m與線段 mf相交于點 a，且被直線 xp2截得的弦長為 3|ma|，若|ma|af|2，則|af|等于( ) a.32 b1 c2 d3 答案 b 解析 如圖所示，由題意知，|mf|x0p2. 圓 m 與線段 mf相交于點 a，且

11、被直線 xp2截得的弦長為 3|ma|， |ma|2|dm|2x0p2. |ma|af|2，|mf|32|ma|， x0p. 又點 m(x0,2 2)在拋物線上，2p28， 又p0，p2. |ma|2x0p22，|af|1. 考點三 直線與圓錐曲線的位置關系 核心提煉 解決直線與橢圓的位置關系問題，經常利用設而不求的方法，解題要點如下： (1)設直線與橢圓的交點坐標為 a(x1，y1)，b(x2，y2)； (2)聯立直線的方程與橢圓的方程； (3)消元得到關于 x 或 y 的一元二次方程； (4)利用根與系數的關系設而不求； (5)把題干中的條件轉化為含有 x1x2，x1x2或 y1y2，y1

12、y2的式子，進而求解即可 例 3 (2020 全國)已知橢圓 c：x225y2m21(0m0，由題意知 yp0. 由已知可得 b(5,0)，直線 bp 的方程為 y1yq(x5)， 所以|bp|yp1y2q，|bq| 1y2q. 因為|bp|bq|，所以 yp1. 將 yp1代入 c的方程，解得 xp3 或3. 由直線 bp的方程得 yq2或 8， 所以點 p，q 的坐標分別為 p1(3,1)，q1(6,2)；p2(3,1)，q2(6,8) 所以|p1q1| 10，直線 p1q1的方程為 y13x， 點 a(5,0)到直線 p1q1的距離為102， 故ap1q1的面積為12102 1052；

13、|p2q2| 130，直線 p2q2的方程為 y79x103， 點 a 到直線 p2q2的距離為13026， 故ap2q2的面積為1213026 13052. 綜上，apq的面積為52. 規律方法 解決直線與圓錐曲線位置關系的注意點 (1)注意使用圓錐曲線的定義 (2)引入參數，注意構建直線與圓錐曲線的方程組 (3)注意用好圓錐曲線的幾何性質 (4)注意幾何關系和代數關系之間的轉化 跟蹤演練 3 (1)(2019 全國)已知橢圓 c 的焦點為 f1(1,0)，f2(1,0)，過 f2的直線與 c 交于 a，b 兩點若|af2|2|f2b|，|ab|bf1|，則 c的方程為( ) a.x22y2

14、1 b.x23y221 c.x24y231 d.x25y241 答案 b 解析 由題意設橢圓的方程為x2a2y2b21(ab0)，連接 f1a，令|f2b|m，則|af2|2m，|bf1|3m.由橢圓的定義知，4m2a，得 ma2，故|f2a|a|f1a|，則點 a 為橢圓 c 的上頂點或下頂點令oaf2(o為坐標原點)，則 sin ca1a.在等腰三角形 abf1中，cos 2(2m)2(3m)2(3m)222m 3m13，因為 cos 212sin2，所以13121a2，得 a23.又 c21，所以 b2a2c22，橢圓 c的方程為x23y221. (2)設 f 為拋物線 y22px(p0

15、)的焦點，斜率為 k(k0)的直線過 f 交拋物線于 a，b 兩點，若|fa|3|fb|，則直線 ab 的斜率為( ) a.12 b1 c. 2 d. 3 答案 d 解析 假設 a 在第一象限，如圖， 過 a，b 分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為 d，e， 過 a 作 eb 的垂線，垂足為 c，則四邊形 adec 為矩形， 由拋物線定義可知|ad|af|， |be|bf|， 又|fa|3|fb|， |ad|ce|3|be|，即 b為 ce 的三等分點， 設|bf|m，則|bc|2m，|af|3m，|ab|4m， 即|ac| |ab|2|bc|2 16m24m22 3m， 則 tanabc|

16、ac|bc|2 3m2m 3， 即直線 ab的斜率 k 3. 專題強化練專題強化練 一、單項選擇題 1(2020 福州模擬)已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的漸近線方程為 y23x，則此雙曲線的離心率為( ) a.134 b.132 c.133 d.134 答案 c 解析 因為雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的漸近線方程為 y23x，所以ba23，所以雙曲線的離心率 eca1ba21232133. 2(2020 全國)已知 a 為拋物線 c：y22px(p0)上一點，點 a 到 c 的焦點的距離為 12，到 y軸的距離為 9，則 p 等于( ) a2 b3 c6 d9 答案 c

17、 解析 設 a(x，y)，由拋物線的定義知，點 a 到準線的距離為 12，即 xp212. 又因為點 a到 y軸的距離為 9，即 x9， 所以 9p212，解得 p6. 3已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點分別為 f1，f2，左、右頂點分別為 m，n，過 f2的直線 l 交 c 于 a，b 兩點(異于 m，n)，af1b 的周長為 4 3，且直線 am 與 an 的斜率之積為23，則 c的方程為( ) a.x212y281 b.x212y241 c.x23y221 d.x23y21 答案 c 解析 由af1b的周長為 4 3， 可知|af1|af2|bf1|bf2|4a4

18、3， 解得 a 3，則 m() 3，0 ，n( 3，0) 設點 a(x0，y0)(x0 3)， 由直線 am 與 an 的斜率之積為23， 可得y0 x0 3y0 x0 323， 即 y2023(x203)， 又x203y20b21，所以 y20b21x203， 由解得 b22. 所以 c的方程為x23y221. 4設 f 為雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點，o 為坐標原點，以 of 為直徑的圓與圓 x2y2a2交于 p，q兩點若|pq|of|，則 c 的離心率為( ) a. 2 b. 3 c2 d. 5 答案 a 解析 如圖，由題意，知以 of為直徑的圓的方程為xc22y

19、2c24， 將 x2y2a2記為式， 得 xa2c，則以 of為直徑的圓與圓 x2y2a2的公共弦所在直線的方程為 xa2c， 所以|pq|2a2a2c2. 由|pq|of|，得 2a2a2c2c， 整理得 c44a2c24a40， 即 e44e240，解得 e 2. 5(2020 濰坊模擬)已知點 p 為雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)右支上一點，f1，f2分別為c 的左、右焦點，直線 pf1與 c 的一條漸近線垂直，垂足為 h，若|pf1|4|hf1|，則該雙曲線的離心率為( ) a.153 b.213 c.53 d.73 答案 c 解析 如圖，取 pf1的中點 m，連接 mf

20、2.由條件可知 |hf1|14|pf1|12|mf1|， o 是 f1f2的中點， ohmf2， 又ohpf1，mf2pf1， |f1f2|pf2|2c. 根據雙曲線的定義可知|pf1|2a2c， |hf1|ac2， 直線 pf1的方程是 yab(xc)， 即 axbyac0， 原點到直線 pf1的距離|oh|ac|a2b2a， 在ohf1中，a2ac22c2， 整理為 3c22ac5a20，即 3e22e50， 解得 e53或 e1(舍) 二、多項選擇題 6(2020 新高考全國)已知曲線 c：mx2ny21.( ) a若 mn0，則 c 是橢圓，其焦點在 y 軸上 b若 mn0，則 c是圓

21、，其半徑為 n c若 mn0，則 c是兩條直線 答案 acd 解析 對于 a，當 mn0 時，有1n1m0，方程化為x21my21n1，表示焦點在 y 軸上的橢圓，故 a 正確 對于 b，當 mn0 時，方程化為 x2y21n，表示半徑為1n的圓，故 b錯誤 對于 c，當 m0，n0 時，方程化為x21my21n1，表示焦點在 x 軸上的雙曲線，其中 a1m，b1n，漸近線方程為 ymnx；當 m0 時，方程化為y21nx21m1，表示焦點在 y 軸上的雙曲線，其中 a1n，b1m，漸近線方程為 ymnx，故 c正確 對于 d，當 m0，n0 時，方程化為 y1n，表示兩條平行于 x 軸的直線

22、，故 d正確 7已知雙曲線 c過點(3， 2)且漸近線為 y33x，則下列結論正確的是( ) ac的方程為x23y21 bc的離心率為 3 c曲線 yex21經過 c的一個焦點 d直線 x 2y10與 c有兩個公共點 答案 ac 解析 因為漸近線方程為 y33x，所以可設雙曲線方程為x29y23，代入點(3， 2)，得 13，所以雙曲線方程為x23y21，選項 a 正確；該雙曲線的離心率為2 33，選項 b 不正確；雙曲線的焦點為( 2,0)，曲線 yex21 經過雙曲線的焦點(2,0)，選項 c 正確；把 x2y1代入雙曲線方程，得 y22 2y20，解得 y 2，故直線 x 2y10與曲線

23、 c只有一個公共點，選項 d不正確 8已知拋物線 c：y22px(p0)的焦點為 f，直線 l 的斜率為 3且經過點 f，直線 l 與拋物線 c交于 a，b 兩點(點 a在第一象限)，與拋物線的準線交于點 d.若|af|8，則下列結論正確的是( ) ap4 b.dffa c|bd|2|bf| d|bf|4 答案 abc 解析 如圖所示，分別過點 a，b 作準線的垂線，垂足分別為 e，m，連接 ef.拋物線 c 的準線交 x 軸于點 p，則|pf|p，由于直線 l 的斜率為 3，則其傾斜角為 60 .又 aex 軸，eaf60 ，由拋物線的定義可知，|ae|af|，則aef 為等邊三角形，efp

24、aef60 ，則pef30 ，|af|ef|2|pf|2p8，解得 p4，故 a 正確；|ae|ef|2|pf|，pfae，f 為線段 ad 的中點，則dffa，故 b 正確；dae60 ，ade30 ，|bd|2|bm|2|bf|(拋物線定義)，故 c 正確；|bd|2|bf|，|bf|13|df|13|af|83，故 d 錯誤 三、填空題 9(2019 全國)設 f1，f2為橢圓 c：x236y2201 的兩個焦點，m 為 c 上一點且在第一象限若mf1f2為等腰三角形，則 m 的坐標為_ 答案 (3， 15) 解析 不妨令 f1，f2分別為橢圓 c 的左、右焦點，根據題意可知 c3620

25、4.因為mf1f2為等腰三角形，所以易知|f1m|2c8，所以|f2m|2a84. 設 m(x，y)，則 x236y2201，|f1m|2(x4)2y264，x0，y0，得 x3，y 15， 所以 m 的坐標為(3， 15) 10(2020 全國)已知 f 為雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點，a 為 c 的右頂點，b為 c 上的點，且 bf 垂直于 x軸若 ab的斜率為 3，則 c的離心率為_ 答案 2 解析 如圖，a(a,0) 由 bfx 軸且 ab的斜率為 3， 知點 b在第一象限，且 bc，b2a， 則 kabb2a0ca3， 即 b23ac3a2. 又c2a2b2，

26、即 b2c2a2， c23ac2a20， e23e20. 解得 e2或 e1(舍去)故 e2. 11設雙曲線 mx2ny21 的一個焦點與拋物線 y18x2的焦點相同，離心率為 2，則拋物線的焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為_ 答案 3 解析 拋物線 x28y 的焦點為(0,2)， mx2ny21的一個焦點為(0,2)， 焦點在 y 軸上， a21n，b21m，c2. 根據雙曲線三個參數的關系得到 4a2b21n1m， 又離心率為 2，即41n4， 解得 n1，m13， 此雙曲線的方程為 y2x231， 則雙曲線的一條漸近線方程為 x 3y0， 則拋物線的焦點(0,2)到雙曲線的一條漸近線的距

27、離為 d|2 3|13 3. 12.如圖，拋物線 c1：y22px和圓 c2：xp22y2p24，其中 p0，直線 l經過 c1的焦點，依次交 c1，c2于 a，d，b，c 四點，則ab cd的值為_ 答案 p24 解析 易知ab cd|ab| |cd|，圓 c2的圓心即為拋物線 c1的焦點 f，當直線 l 的斜率不存在時，l的方程為 xp2，所以 ap2，p ，bp2，p2，cp2，p2，dp2，p ，|ab|cd|p2，所以ab cdp2p2p24；當直線 l 的斜率存在時，設 a(x1，y1)，d(x2，y2)，則|ab|fa|fb|x1p2p2x1，同理|cd|x2，設 l 的方程為 ykxp2，由 ykxp2，y22px，可得 k2x2(pk22p)xk2p240，則ab cd|ab| |cd|x1 x2p24.綜上，ab cdp24. 四、解答題 13(2020 全國)已知橢圓 c1：x2a2y2b21(ab0)的右焦點 f 與拋物線 c2的焦點重合，c1的中心與 c2的頂點重合過 f 且與 x 軸垂直的直線交 c1于 a，b 兩點，交 c2于 c，d 兩點，且|cd|43|ab|. (1)求 c1的離心率； (2