1、知識店鋪第1章函數與極限總結1、極限的概念（1）數列極限的定義不論它多么小總存在正整數N使得給定數列xn，若存在常數a,對于任意給定的正數 對于n>N時的一切n恒有|xn a|<則稱a是數列 Xn的極限 或者稱數列xn收斂于a 記為 IimXn a 或 Xn a(nn（2）函數極限的定義設函數f（x）在點X0的某一去心鄰域內（或當 任意給定的正數（不論它多么小）總存在正數時（或當X X時）恒有|f（x） AlX M 0 ）有定義，如果存在常數A對于（或存在X）使得當X滿足不等式0<|x xo|那么常數A就叫做函數f（x）當 X x0 （或X）時的極限記為Iim f(x) A

2、或 f(x)A(當Xx0)(或 Iimf(x)A)XX0X類似的有：如果存在常數A對0,0,當XX0X X0( XOX X0)時,恒有f(x) A則稱A 為 f(X)當XX0時的左極限（或右極限）記作Iim f (x) A(或 Iimf (X)A)X x0X x0顯然有Iim f (XX X0)AIimX X。f(x) IimX X0f (X)A)如果存在常數A對 0, X 0,當X X（或X X）時，恒有I f（x） A ,則稱A為f （x）當X（或當X）時的極限記作 Iim f (x)XA(或 Iim f (x)XA)顯然有Iim f(x) AXIim f (x) Iim f (x) A)

3、XX2、極限的性質(1)唯一性若 Iim Xn a , Iim Xnnnb ,貝U a b若 Xlim f (X) Am f (x) B ,則 A B(X Xo)(X Xo)(2)有界性(i) 若Iim Xn a ,貝y M 0使得對 n N ,恒有Xn Mn(ii) 若 Iim f(x) A ,貝U M0 當 X : 0 X X0 時，有 f(x) MX X0(iii) 若 Iim f (x) A ,貝U M 0, X 0 當 X X 時，有 f(x) MX(3) 局部保號性(i) 若 Iim Xn a且a 0(或a 0)則 N N ,當 n N 時，恒有 Xn 0(或Xn 0)n(ii)

4、若 Iim f(x) A ,且 A 0(或A 0),貝U0 當 x : 0 X X0時，有X X0f (X)0(或f(x) 0)3、極限存在的準則(i)夾逼準則給定數列Xn, yn, Zn 若n° N ,當nn°時有Yn XnZnIimyIim Zn a，nn則IimnXna給定函數 f (x), g(x), h(x),0h(x)若當 X U (xo, r)(或 X X )時，有 g(x) f (x) Iim g(x) Iim h(x) A,XX(X x)(X x)則 Iim f (x) AX(X xo)(ii)單調有界準則給定數列Xn,若對n N 有 Xn Xn (或 X

5、nXn )M (m)使對 nXn M (或Xn m)則 Iim Xn 存在若f (X)在點X0的左側鄰域(或右側鄰域)單調有界，則n存在Iim f(X)(或 Iim f(x)X x0X xO4、極限的運算法則(1)若 Xlim f (x) A， Xlim g(x) B(X X0)(X X0)則(i)lim f(x)g(x) A B(X X。)(ii) xIim f (X) g(x) A B(X ×o)(iii)IimX(X Xo)f(x) g(x)(2)設(i)Ug(x)且 Iim g(x)0U0(ii)當 X U (x°,)時 g(x) U0(iii) Iim f (U)

6、 AU u0則 Iim fg(x) Iim f (u) AX X0UUO5、兩個重要極限(1)Iim Sin XXIim空仝1U(X) 0 U(X)Sin XC1.10， Iim XSinXXX1,mHXIim XSin X 0(1)若IimX(X x°)(x) O，即對0,0,當 x:0X X。時有(X),則稱當XX°(或 X),()無窮小量6、無窮小量與無窮大量的概念(或 X X )(2)Iim f (X)X(X X。)即對M 0,0(或X0),當 X : 0X0(或X )時有f (X則稱當XX0(或 X),f (X)無窮大量4XU(X)A(2) Iim 1IeIim1

7、1e;XXU(X)U(X)1IimO(IXreIimV(X)10V(X)1V(X)e;7、無窮小量與有極限的量及無窮大量的關系，無窮小量的運算法則(1)m f (X) A f (X) A(X)其中 Xlim(x) 0(X X0)(X X0)(2) Iim f(x) 0( f(x) 0X(X Xo)IimX(X Xo)1(X)(3)m g(X)(X Xo)IimX(X Xo)(4) Jim f (x) 且 M 0,當 X : 0 X Xo(X Xo)Xlim f(X) g(X)(X Xo)(或 X X )時有 g(X) M ,則(5)m f(x)0且 M 0,當 X : 0X Xo(XXO)li

8、m f(x) g(x)X0(XXO)(或 X X )時有 g(X) M ,則(6)m fk(X)0(k(X Xo)n1,2,L ,n)則 Xlimfx):X Xo) k 1n0, Xlimfk(x) 0,:X Xo) k 18無窮小量的比較Xlim f (X)(X Xo)0,Jim g(x) 0,Jim (x)0(X Xo)(X Xo)時，f (x)與g(x)是同階無窮小。若(1) lim f (X) C 0,則稱當 Xx0(或XXx Xo) g(X)(2) lim1 ,則稱當XXo (或 X)時，f (X)與g(x)是等價無窮小，記作Xx xo) g(X)f(X): g(x)( XXo (或

9、 X)。(3)lim f(X)0,則稱當XXo (或 X)時，f (X)是g(x)是高階無窮小，記作XXXO) g(X)f (X)o(g(x)(XXo(或 X)。知識店鋪0(4 )MOXU(Xo,)X),有g(X)M ,則記 f (x)O(g(x)(5)Xo (或 Xlim f4 XX Xo) (X)C 0(k0),則稱當XXo(或 X)時,f (X)是(X)是k階無窮小,9、常用的等價無窮小0時，有(1)Sin x x arcs in x ta n x arcta n X ln(1x) eX 1,12X(2)1 cos x X . ( 3) a 1 x ln a(0 a 1), ( 4) (

10、1 x) 1 X10、函數連續的概念(1) 函數連續的定義設y f (X)在點X。及其鄰域U(X)內有定義，若(i) Iim yX 0Iim f (X0X) f(x°) 0或(ii) Iim f (x) f (x0)X X0或( iii)0,0,當 x: X X0時，有 f(X) f (X0)則稱函數y f (x)在點x0處連續設y f (x)在點(X0,x°內有定義，若Iim f (x) f(x°),則稱函數y f (x)在點x°X X0處左連續，知識店鋪設 y f (x)在點x°,x°處右連續)內有定義，若Iim f (x)X X

11、of (x0),則稱函數y f (x)在點x0若函數y f(x)在(a,b)內每點都連續，則稱函數y f (x)在(a, b)內連續若函數y f (x)在(a,b)內每點都連續，且Iim f(x)X af (a)， Iim f (x)X b(b),則稱函數yf (x)在a,b上連續，記作f(x) Ca,b(2)函數的間斷點設yf (X)在點X0的某去心鄰域oU(X)內有定義若函數y f(x):(i)在點Xo處沒有定義(ii)雖然在X0有定義但Iim f(x)不存在X Xo雖然在X0有定義且Iim f(x)存在但Iim f(x) f( x0)X XoX X0則函數f(X)在點X0為不連續而點X0

12、稱為函數f(x)的不連續點或間斷點。設點X0為y f (x)的間斷點，(1) Iim f (x)=lim f (x)f (x0),則稱點 X0為 y f (x)的可去間斷點，若(2)XX。_ X x0Iim f (x) Iim f (x)，則稱點x°為y f(x)的跳躍間斷點，X ×0X X0可去間斷點與跳躍間斷點統稱為第一類間斷點(3) Iim f (x) 或Iim f (x) 則稱點x°為y f (x)的無窮型間斷點,X x0X x0f (X)的振蕩型間(4)若lim f(x)或Iim f(x)不存在且都不是無窮大，則稱點x0為yX XoX Xo斷點，無窮間斷

13、點和振蕩間斷點統稱為第二類間斷點11、連續函數的運算(1)連續函數的四則運算若函數f (X) g(x)在點Xo處連續 .f(X)則 f (X) g(X), f (X) g(X),(g(Xo) 0)在點 Xo處也連續g(X)(2) 反函數的連續性，X f 1( y)在其若函數y f (X)在區間IX上單調增加(或單調減少)且連續，則其反函數 對應的區間I y y y f (x),x Ix上也單調增加(或單調減少)且連續。(3) 復合函數的連續性設函數y fg()由函數y f(u),u g(x)復合而成，U(o)Dfog若(I) Iim g(x) o(或 Iim g(x) g(x°) Uo)X XoX Xo(2) Iim f (U) f (uo)則 Iim f g(x) f lim g(x) f (uo)U UoX XoX X o(或 Iim fg(x) flim g(x) fg(x°)f(u°)X XoX Xo(4) 初等函數的連續性一切初等函數在其定義區間內都是連續的(5) 閉區間上連續函