1、混沌理論綜述摘要：混沌運動是非線性動力學(xué)系統(tǒng)所產(chǎn)生的復(fù)雜的不規(guī)則行為，它普遍存在于自然界的各個領(lǐng)域中。該文介紹了混沌的產(chǎn)生、特點及混沌控制的發(fā)展以及研究思想，給出了混沌的定義及其相關(guān)概念，深入淺出地闡明了混沌運動的基本性質(zhì)和基本規(guī)律，概括介紹了混沌學(xué)及混沌控制，最后論述了混沌應(yīng)用的巨大潛力。關(guān)鍵詞：混沌 混沌運動 混沌控制 引言混沌是非線性系統(tǒng)所獨有且廣泛存在的一種非周期運動形式,其覆蓋面涉及到自然科學(xué)和社會科學(xué)的幾乎每一個分支。混沌運動的早期研究可以追溯到1963年美國氣象學(xué)家Lorenz對兩無限平面間的大氣湍流的模擬。在用計算機求解的過程中,Lorenz發(fā)現(xiàn)當(dāng)方程中的參數(shù)取適當(dāng)值時,解是非

2、周期的且具有隨機性,即由確定性方程可得出隨機性的結(jié)果,這與幾百年來統(tǒng)治人們思想的拉普拉斯確定論相違背(確定性方程得出確定性結(jié)果)。隨后, Henon和Rossler等也得到類似結(jié)論。Ruelle,May,Feigenbaum等對這類隨機運動的特性進行了進一步研究,從而開創(chuàng)了混沌這一新的研究方向。近二三十年來,近似方法、非線性微分方程的數(shù)值積分法,特別是計算機技術(shù)的飛速發(fā)展,為人們對混沌的深入研究提供了可能,混沌理論研究取得的可喜成果也使人們能夠更加全面透徹地認識、理解和應(yīng)用混沌。本文將介紹與混沌有關(guān)的基本概念和基本理論以及混沌應(yīng)用研究的最新進展,希望能起到拋磚引玉的作用2。背景我國著名的混沌學(xué)

3、家、中國科學(xué)院院士郝柏林指出:“混沌,這個在中外文化淵源悠久的詞兒,正在成為具有嚴格定義的科學(xué)概念,成為一門新科學(xué)的名字,它正在促使整個現(xiàn)代知識體系成為新科學(xué)。”他還指出:“越來越多的人認識到,這是相對論和量子力學(xué)問世以來,對人類整個知識體系的又一次巨大沖擊。這也許是20世紀后半葉數(shù)理科學(xué)所做的意義最為深遠的貢獻。”作為一門新科學(xué)的混沌學(xué)(Chaology),一般認為始于李天巖和約克(Yorke)的著名論文“周期3蘊含混沌”,因為正是在該文中“混沌”(Chaos)首次被作為科學(xué)詞兒使用。該文在美國數(shù)學(xué)月刊上正式發(fā)表是1975年12月.20年來,混沌學(xué)作為一門新科學(xué)傳播速度之快,波及空間之廣,恐

4、怕是前所未有的。李天巖和約克的論文發(fā)表后大約過了10年,國際上便形成了一支可觀的混沌學(xué)專家隊伍。與此同時,許多研究中心與研究所則專門冠之以“非線性動力學(xué)”、“非線性科學(xué)”、“非線性數(shù)學(xué)”等名稱4。目錄1混沌的基本概念12混沌運動的基本性質(zhì)23關(guān)于混沌系統(tǒng)的控制63.1 混沌控制的目標和方法73.1.1 OGY方法73.1.2 連續(xù)反饋控制法83.1.3 自適應(yīng)控制法83.1.4 智能控制法83.2 混沌控制理論的應(yīng)用93.2.1 非線性時間序列預(yù)測93.2.2 信息存儲,語音、圖像壓縮93.2.3 信號檢測、估值93.2.4 優(yōu)化94 混沌的發(fā)展與前景展望11參考文獻1211混沌的基本概念混沌

5、：目前尚無通用的嚴格的定義,一般認為,將不是由隨機性外因引起的,而是由確定性方程(內(nèi)因)直接得到的具有隨機性的運動狀態(tài)稱為混沌。相空間：在連續(xù)動力系統(tǒng)中,用一組一階微分方程描述運動,以狀態(tài)變量(或狀態(tài)向量)為坐標軸的空間構(gòu)成系統(tǒng)的相空間。系統(tǒng)的一個狀態(tài)用相空間的一個點表示,通過該點有唯一的一條積分曲線。混沌運動：是確定性系統(tǒng)中局限于有限相空間的高度不穩(wěn)定的運動。所謂軌道高度不穩(wěn)定,是指近鄰的軌道隨時間的發(fā)展會指數(shù)地分離。由于這種不穩(wěn)定性,系統(tǒng)的長時間行為會顯示出某種混亂性。分形和分維：分形是n維空間一個點集的一種幾何性質(zhì),該點集具有無限精細的結(jié)構(gòu),在任何尺度下都有自相似部分和整體相似性質(zhì),具有

6、小于所在空間維數(shù)n的非整數(shù)維數(shù)。分維就是用非整數(shù)維分數(shù)維來定量地描述分形的基本性質(zhì)。不動點：又稱平衡點、定態(tài)。不動點是系統(tǒng)狀態(tài)變量所取的一組值,對于這些值系統(tǒng)不隨時間變化。在連續(xù)動力學(xué)系統(tǒng)中,相空間中有一個點x0,若滿足當(dāng)t時,軌跡x(t)x0,則稱x0為不動點。吸引子：指相空間的這樣的一個點集s(或一個子空間),對s鄰域的幾乎任意一點,當(dāng)t時所有軌跡線均趨于s,吸引子是穩(wěn)定的不動點。奇異吸引子：又稱混沌吸引子,指相空間中具有分數(shù)維的吸引子的集合。該吸引集由永不重復(fù)自身的一系列點組成,并且無論如何也不表現(xiàn)出任何周期性。混沌軌道就運行在該吸引集中。分叉和分叉點：又稱分岔或分支。指在某個參數(shù)或某組

7、參數(shù)發(fā)生變化時,長時間動力學(xué)運動的類型也發(fā)生變化。這個參數(shù)值(或這組參數(shù)值)稱為分叉點,在分叉點處參數(shù)的微小變化會產(chǎn)生不同性質(zhì)的動力學(xué)特性,故系統(tǒng)在分叉點處是結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的。周期解：對于系統(tǒng)xn+1=f(xn),當(dāng)n時,若存在N=xn+i=xn,則稱該系統(tǒng)有周期i解N。不動點可以看做是周期1解,因為它滿足xn+1=xn5。2混沌運動的基本性質(zhì)Logistic映射9是非線性方程中出現(xiàn)的一個能成功地進行實驗數(shù)學(xué)研究的不尋常的實例,它雖然簡單卻能體現(xiàn)出所有非線性現(xiàn)象的本質(zhì)。以Logistic映射這只“小麻雀”為例來說明混沌運動的基本性質(zhì)。Logistic映射如式(1),最初用來描述昆蟲數(shù)目的世代變化規(guī)

8、律:xn+1=f(L,xn) =Lxn(1 -xn)n= 0,1,2,(1)其中L為控制參量;有限差分方程(1)可以看做是一個動力學(xué)系統(tǒng)。L值確定后,由任意初值x00,1,可迭代出一個確定的時間序列x1,x2,x3,。對于不同的L值,系統(tǒng)(1)將呈現(xiàn)不同的特性,如圖1所示。圖1(a)如下繪制:縱坐標為變量x,所屬區(qū)間為0,1,橫坐標為控制參量L,所屬區(qū)間為1,4。把參量空間分成500步,對每個固定的參量值L,變量x從某一個初值(統(tǒng)一用x0= 0.123)開始迭代,舍去最初暫態(tài)過程的300個迭代值,再把后繼400個軌道點都畫到所選參量的縱方向上,這樣掃過全部的參量范圍。圖1(b)為圖1(a)中小

9、矩形區(qū)域的放大圖。由圖1(a),當(dāng)1L<L1= 3.0時,系統(tǒng)(1)的穩(wěn)態(tài)解為不動點,即周期1解;當(dāng)L=L1= 3.0時,系統(tǒng)(1)的穩(wěn)態(tài)解由周期1變?yōu)橹芷?,這是一個一分為二的分叉過程;當(dāng)L=L2=3.449489時,系統(tǒng)(1)的穩(wěn)態(tài)解由周期2分叉為周期4;當(dāng)L=L3=3.544090時,系統(tǒng)(1)的穩(wěn)態(tài)解由周期4分叉為周期8;當(dāng)L達到極限值L= 3.569945時,系統(tǒng)(1)的穩(wěn)態(tài)解是周期2解,即系統(tǒng)(1)進入混沌狀態(tài)。從以上分析可知,隨著參數(shù)L的增加,系統(tǒng)(1)不斷地經(jīng)歷倍周期分叉,最終達到混沌。稱當(dāng)L= 4時由系統(tǒng)(1)產(chǎn)生的序列xn為混沌變量,混沌變量xn的運動形式有如下特征:

10、a.隨機性。當(dāng)L=4時,Logistic映射在有限區(qū)間0,1內(nèi)不穩(wěn)定運動,其長時間的動態(tài)行為將顯示隨機性質(zhì),圖2為當(dāng)x0=0.1時的運動軌跡,迭代次數(shù)為100。從圖2可以明顯地觀察到其隨機性,事實上當(dāng)x0取其他初值時,系統(tǒng)(1)一般都能體現(xiàn)這樣的隨機性。 圖2隨機性Fig.2The stochastic propertyb.規(guī)律性。盡管xn體現(xiàn)出隨機性質(zhì),但它是由確定方程(1)導(dǎo)出的,初值確定后xn便已確定,即其隨機性是內(nèi)在的,這就是混沌運動的規(guī)律性。c.遍歷性。混沌運動的遍歷性是指混沌變量能在一定范圍內(nèi)按其自身規(guī)律不重復(fù)地遍歷所有狀態(tài),如圖3所示。該圖分別以x10= 0.165432和x20

11、=0.234561為初值迭代1000次,得到2個混沌序列x1n和x2n,圖中小圓圈表示空間中的一點,其坐標為(x1j,x2j)。圖3遍歷性Fig.3The ergodicityd.對初值的敏感性。初值x0的微小變化將導(dǎo)致序列xn遠期行為的巨大差異,如圖4所示。圖4是令x10=0.123456,x20=0.123457,以x10和x20為初值迭代100次得到序列x1n和x2n。可以看出,雖然初值相差1.0e - 6,但迭代10多次后兩個序列便完全不一樣了。對初值的敏感性是混沌的一個十分鮮明的特征,Lorenz曾十分形象地稱其為蝴蝶效應(yīng):“僅僅是蝴蝶翅膀的一次小小扇動,就有可能改變一個月以后的天氣

12、情況”。圖4對初值的敏感性Fig.4The property of sensitive to initial valuee.具有分形的性質(zhì)。如圖1(b)所示,混沌的奇異吸引子在微小尺度上具有與整體自相似的幾何結(jié)構(gòu),對它的空間描述只能采用分數(shù)維。f.普適性。是指混沌系統(tǒng)中存在著一些普遍適用的常數(shù)。如在Logistic映射的倍周期分叉點Lm有如下一個普適常數(shù):被稱為Feigenbaum數(shù)。Feigenbaum數(shù)是如同圓周率一樣的常數(shù),對于許多由分叉導(dǎo)致混沌的系統(tǒng),其值不變。如果在某次實驗中,當(dāng)參數(shù)在時出現(xiàn)一分為二的分叉,在時出現(xiàn)2分叉為4,若Feigenbaum數(shù)起作用,則參數(shù)大約再改變的13%左

13、右,可預(yù)期發(fā)生混沌。此外,圖1的分叉高度也在不斷縮小,且縮小的比例也趨于一個極限:A= 2.5029078976。3關(guān)于混沌系統(tǒng)的控制混沌系統(tǒng)的特征表明,無法精確預(yù)測混沌系統(tǒng)的長時間的行為。但是新近研究表明:混沌系統(tǒng)是可以控制的,可以利用的。混沌已被用來增強激光器的功率;調(diào)整電子線路的輸出,使之同步;控制化學(xué)反應(yīng)的波動;穩(wěn)定動物心臟的異常心律;編碼電子信息以保證通訊安全。我們知道,混沌系統(tǒng)的行為是許多有序行為的集合。若以適當(dāng)?shù)姆绞礁蓴_一個混沌系統(tǒng),就能促使該系統(tǒng)的某種有序行為起主導(dǎo)作用,從而使其不同行為之間進行轉(zhuǎn)換4。另一方面,混沌系統(tǒng)長遠行為不可預(yù)測,但它是確定的。如果兩個極為相似的混沌系統(tǒng)

14、受到同一信號驅(qū)動,可以產(chǎn)生相同的輸出。這是實驗已證實的，它可以產(chǎn)生新的通訊技術(shù)。用數(shù)學(xué)描述的混沌系統(tǒng)中有狀態(tài)變量和參數(shù)。狀態(tài)變量組成狀態(tài)空間，狀態(tài)空間中的一個點代表系統(tǒng)在某一時刻的一個狀態(tài)，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生變化時,它就在狀態(tài)空間中的各點之間發(fā)生移動,定義出一條軌線。混沌系統(tǒng)在狀態(tài)空間的軌線十分復(fù)雜,但并非隨心所欲，可以讓其通過某些區(qū)域而避開一些區(qū)域,例如把它拉向混沌吸引區(qū)，吸引區(qū)總是保持不變的。因此,只要搞清混沌吸引區(qū),就可以設(shè)法將混沌系統(tǒng)控制到混沌吸引區(qū)12。控制混沌系統(tǒng)的關(guān)鍵之一在于認識到混沌吸引區(qū)是一個不穩(wěn)定的周期行為的無窮集合,或者說是一些不穩(wěn)定周期軌道的集合。當(dāng)混沌系統(tǒng)的參數(shù)被改變時,混沌

15、吸引區(qū)也要發(fā)生遷移。因此可以通過控制參數(shù)產(chǎn)生所需要的吸引區(qū)，這個過程很像在馬鞍上平衡一個玻璃球。如果這顆玻璃球一開始是置于馬鞍中央,它趨于向兩側(cè)滾動。為了讓其不動,就需迅速擺動馬鞍.混沌吸引區(qū)遷移的道理是類似的。控制混沌系統(tǒng)并不容易,但實驗證明可以在一個相當(dāng)簡單的系統(tǒng)中成功地控制混沌。混沌控制的首項技術(shù)是在生物系統(tǒng)中實現(xiàn)的。先是在一只兔子心臟上試驗,并取得了成功。有人預(yù)測,在不久的將來,有可能研制成采用混沌控制技術(shù)的心臟整律器和去纖維顫動器4。3.1 混沌控制的目標和方法混沌控制的方法有兩種,一是通過合適的策略、方法及途徑,有效地抑制混沌行為,使李雅普諾夫指數(shù)下降進而消除混沌。二是選擇某一具有

16、期望行為的軌道作為控制目標一般情況下,在混沌吸引子中的無窮多不穩(wěn)定的周期軌道常被作為首選目標,其目的就是將系統(tǒng)的混沌運動軌跡轉(zhuǎn)換到期望的周期軌道上。不同的控制策略必須遵循這樣的原則:控制律的設(shè)計須最小限度的改變原系統(tǒng),從而對原系統(tǒng)的影響最小7。3.1.1 OGY方法綜觀混沌發(fā)展的歷史, 起初人們認為混沌是不可控的,直到1990 年OGY方法的提出才徹底改變了這種觀點。OGY控制法是一種參數(shù)微擾控制方法,利用混沌運動對很小參數(shù)擾動的敏感性,選擇一個易調(diào)節(jié)的參數(shù)進行微小擾動,將混沌吸引子中無窮多個不穩(wěn)定周期軌道中所需要的周期軌道穩(wěn)定住,使系統(tǒng)進人需要的周期狀態(tài),達到控制混沌的目的。由于在雙曲不動點

17、附近存在局部穩(wěn)定和局部不穩(wěn)定流形,可以將當(dāng)前狀態(tài)與目標的偏差及參數(shù)的攝動看成微小量,將下一步狀態(tài)與目標的偏差按以上兩個微小量做線性化展開,并使得下一步狀態(tài)和目標的偏差矢量與不穩(wěn)定流形方向垂直,即可得到當(dāng)前參數(shù)的調(diào)節(jié)值。這類控制不需要知道混沌系統(tǒng)的確切動力學(xué)行為,只需要使用微小的控制信號,從而降低控制代價,把系統(tǒng)的混沌狀態(tài)控制在任意周期軌道上,基本不受噪聲的影響,不改變系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)。但這種方法必須有一個確定的目標函數(shù)或給定軌道,只適用于離散動力學(xué)系統(tǒng)及可用龐加萊映射表征的連續(xù)動力學(xué)系統(tǒng),通常只能控制低周期軌道。例含控制參數(shù)的n維映射描述的有限動力系統(tǒng):并且利用OGY方法可以實現(xiàn)混沌軌道的同步化

18、,其控制參量的擾動大小與系統(tǒng)狀態(tài)輸出量成正比,從控制理論角度來說屬于線性反饋方法6。3.1.2 連續(xù)反饋控制法盡管 OGY 方法及其改進法對混沌的有效控制使其廣泛地應(yīng)用于力學(xué)、光學(xué)和環(huán)境科學(xué)等領(lǐng)域中,但由于它必須獲得龐加萊截面,并且需要確定所需的不穩(wěn)定周期軌道及不動點的特征值和特征向量,這使它的應(yīng)用受到一定的限制。在OGY 控制方法的基礎(chǔ)上,德國科學(xué)家K. Pyragas 在1993 年提出了外力反饋控制法和延遲反饋控制法。這兩種方法都可以實現(xiàn)對混沌吸引子的連續(xù)控制,使不穩(wěn)定周期趨于穩(wěn)定13。3.1.3 自適應(yīng)控制法基于OGY 方法存在的不足及實際問題需要, 很多學(xué)者嘗試用傳統(tǒng)的控制手段實現(xiàn)混

19、沌控制,自適應(yīng)控制混沌運動是根據(jù)自適應(yīng)原理發(fā)展而來,由赫伯曼等人提出的一種方法。在控制系統(tǒng)運動過程中,系統(tǒng)自身來識別被控的狀態(tài)、性能或參量,將系統(tǒng)當(dāng)前的運行指標與期望的指標加以比較,改變控制器的結(jié)構(gòu)、參量或控制作用,使系統(tǒng)運行在其所期望的指標下的最優(yōu)或次優(yōu)狀態(tài)。這種方法是通過參量的調(diào)整來控制系統(tǒng),使其達到所需要的運動狀態(tài),調(diào)節(jié)是依靠目標輸出與實際輸出之間的差信號來實現(xiàn)的。例如連續(xù)時間混沌系統(tǒng)的參數(shù)自適應(yīng)控制;離散混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)軌道控制1。3.1.4 智能控制法混沌系統(tǒng)以及控制的復(fù)雜性,使人們自然考慮智能方法引入到混沌控制中,采用模糊邏輯控制器和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對混沌系統(tǒng)進行建模和控制已做了一些探索研

20、究。3.2 混沌控制理論的應(yīng)用3.2.1 非線性時間序列預(yù)測本征混沌具有正的李亞普諾夫指數(shù),使其不能進行長期預(yù)測。但許多混沌時間序列預(yù)測的研究顯示了其短期預(yù)測的可靠性,利用電力負荷的時間序列,不直接考慮與負荷相關(guān)的隨機因素,而對負荷的歷史數(shù)據(jù)進行分析,建立數(shù)學(xué)模型,并進行預(yù)測與傳統(tǒng)的預(yù)測方法相比,其收斂性和適應(yīng)性均有不同程度的提高,且精度高,通用性強。3.2.2 信息存儲,語音、圖像壓縮許多語音、圖像信號中存在著混沌和分形特征, Kumar等通過對語音信號的吸引子重構(gòu),求得元音和爆破音的關(guān)聯(lián)維數(shù)小于3,摩擦音的關(guān)聯(lián)維數(shù)略大于5,揭示了語音信號的混沌本質(zhì)。語音信號的低維吸引子意味著我們可以用少數(shù)

21、幾個獨立變量來重構(gòu)聲道模型。其預(yù)測誤差比線性預(yù)測編碼小一個數(shù)量級。混沌理論提供了一個簡單、有效的描述語音信號的數(shù)學(xué)方法,在語音存儲和傳輸數(shù)據(jù)壓縮領(lǐng)域有很好的應(yīng)用前景。3.2.3 信號檢測、估值現(xiàn)有的信號檢測理論多數(shù)以線性理論為基礎(chǔ),線性理論所強調(diào)的是穩(wěn)定、平衡和均勻性,而利用混沌軌跡對初始條件的敏感性,可使系統(tǒng)識別出只有微小差別的不同模式,且混沌控制理論的非線性觀點從不穩(wěn)定、非平衡的狀態(tài)中來提取信息、處理信息,從而顯示它特有的優(yōu)點。混沌信號檢測具有極高的靈敏度和分辨率,而且還具有極強的適應(yīng)能力。3.2.4 優(yōu)化利用混沌變量的隨機性、遍歷性、規(guī)律性可以進行優(yōu)化搜索。混沌優(yōu)化方法一般分為兩個階段進

22、行:首先,在整個空間內(nèi)按照混沌變量的變化規(guī)律依次考察經(jīng)過的各點,接受較好點作為當(dāng)前最優(yōu)點;其次,一定步數(shù)以后,認為當(dāng)前最優(yōu)點已在系統(tǒng)固有的最優(yōu)點附近,然后以當(dāng)前最優(yōu)點為中心,附加一混沌小擾動,進行細搜索尋找最優(yōu)點。混沌優(yōu)化與遺傳算法、模擬退火算法等優(yōu)化方法的結(jié)合,可以減少計算量,提高求得全局最優(yōu)解的計算效率,克服了標準遺傳算法、模擬退火算法中的“早熟”現(xiàn)象,并具有更快的收斂速度。可用于機電系統(tǒng)的系統(tǒng)辨識、參數(shù)優(yōu)化設(shè)計等方面6,8。4 混沌的發(fā)展與前景展望人們已經(jīng)對混沌學(xué)進行了大量的研究,并已取得了許多結(jié)果,但是混沌學(xué)仍是一個全新的科學(xué)前沿,很多系統(tǒng)的理論和有效的方法尚待發(fā)展。混沌學(xué)作為一門科學(xué)畢竟只有20余年，因此遠未成為一門成熟的科學(xué)。人們記得，19世紀末凱萊曾致力于研究復(fù)的牛頓迭代法，1930年左右朱莉亞(Julia)和法都研究了復(fù)多項式和有理函數(shù)的迭代并發(fā)明了朱莉亞。但是,直到1980年并沒有什么進展，這一年曼德爾布諾特(Mandlbrot)用計算機繪出了第一張曼氏集的圖像。今天，這個集成了混沌學(xué)的公認的標志，混沌圖像也成為極精致的工藝品，并一度風(fēng)靡全世界。可以斷言，混沌的應(yīng)用前景無限廣闊5。混沌學(xué)