1、全等三角形培優競賽講義（一）知識點 全等三角形的性質：對應角相等，對應邊相等，對應邊上的中線相等，對應邊上的高相等，對應角的角平分線相等，面積相等尋找對應邊和對應角，常用到以下方法：(1)全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊(2)全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角(3)有公共邊的，公共邊常是對應邊(4)有公共角的，公共角常是對應角(5)有對頂角的，對頂角常是對應角(6)兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應邊(或對應角)，一對最短邊(或最小角)是對應邊(或對應角)要想正確地表示兩個三角形全等，找出對應的元素是關鍵全等三角形的判定方

2、法：(1) 邊角邊定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等 (2) 角邊角定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等(3) 邊邊邊定理(SSS)：三邊對應相等的兩個三角形全等(4) 角角邊定理(AAS)：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等(5) 斜邊、直角邊定理(HL)：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等全等三角形的應用：運用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時會添加輔助線拓展關鍵點：能通過判定兩個三角形全等進而證明兩條線段間的位置關系和大小關系而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的

3、基礎例題精講板塊一、截長補短【例1】 (年北京中考題)已知中，、分別平分和，、交于點，試判斷、的數量關系，并加以證明理由是：在上截取，連結，利用證得，利用證得，【例2】 如圖，點為正三角形的邊所在直線上的任意一點(點除外)，作，射線及外角的平分線交于點，及有怎樣的數量關系?【解析】 猜測.過點作交于點，又，而，【變式拓展訓練】如圖，點為正方形的邊上任意一點，且及外角的平分線交于點，及有怎樣的數量關系？【解析】 猜測.在上截取，【例3】 已知：如圖，ABCD是正方形，FAD=FAE. 求證：BE+DF=AE.【解析】 延長CB至M，使得BM=DF，連接AM.AB=AD，ADCD，ABBM，BM=

4、DFABMADFAFD=AMB，DAF=BAMABCDAFD=BAF=EAF+BAE=BAE+BAM=EAMAMB=EAMAE=EM=BE+BM=BE+DF.【例4】 以的、為邊向三角形外作等邊、，連結、相交于點求證：平分【解析】 因為、是等邊三角形，所以，則，所以，則有，在上截取，連結，容易證得，進而由得；由可得，即平分【例5】 (北京市、天津市數學競賽試題)如圖所示，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點作一個的，點、分別在、上，求的周長【解析】 如圖所示，延長到使.在及中，因為，所以，故.因為，所以.又因為，所以. 在及中，所以，則，所以的周長為.【例6】 五邊形ABCDE中

5、，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°， 求證：AD平分CDE【解析】 延長DE至F，使得EF=BC，連接AC.ABC+AED=180°，AEF+AED=180°ABC=AEFAB=AE，BC=EFABCAEFEF=BC，AC=AFBC+DE=CDCD=DE+EF=DFADCADFADC=ADF即AD平分CDE.板塊二、全等及角度【例7】如圖，在中，是的平分線，且，求的度數.【解析】 如圖所示，延長至使，連接、.由知，而，則為等邊三角形.注意到，故.從而有，故.所以，.【另解】在上取點，使得，則由題意可知.在和中，則，從而，進而有，注意到，則：故

6、.【點評】由已知條件可以想到將折線“拉直”成，利用角平分線可以構造全等三角形.同樣地，將拆分成兩段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要說明的是，無論采取哪種方法，都體現出關于角平分線“對稱”的思想. 上述方法我們分別稱之為“補短法”和“截長法”，它們是證明等量關系時優先考 慮的方法.【例8】在等腰中，頂角，在邊上取點，使，求.【解析】 以為邊向外作正，連接.在和中，則.由此可得，所以是等腰三角形.由于，則，從而，則.【另解1】以為邊在外作等邊三角形，連接.在和中，因此，從而，.在和中，故，從而，故，因此.【另解2】如圖所示，以為邊向內部作等邊，連接、.在和中，故，而，進而有.

7、則，故.【點評】上述三種解法均是向三邊作正三角形，然后再由三角形全等得到邊長、角度之間的關系.【例9】(“勤奮杯”數學邀請賽試題) 如圖所示，在中，又在上，在上，且滿足，求.【解析】 過作的平行線交于，連接交于.連接，易知、均為正三角形. 因為，所以，則，故.從而.進而有，.【另解】如圖所示，在上取點，使得，由、可知.而，故，.在中，故，從而，進而可得.而，所以為等邊三角形.在中，故，從而.我們已經得到，故是的外心，從而.【點評】本題是一道平面幾何名題，加拿大滑鐵盧大學的幾何大師RossHonsberger將其喻為“平面幾何中的一顆明珠”.本題的大多數解法不是純幾何的，即使利用三角函數也不是那么容易.【例10】在四邊形中，已知，求的度數.【解析】 如圖所示，延長至，使，由已知可得：故.又因為，故，因此，.又因為，故，.而已知，所以為等邊三角形.于是，故，則，從而，所以.【例11】 (日本算術奧林匹克試題) 如圖所示，在四邊形中，求的度數.【解析】 仔細觀察，發現已知角的度數都是的倍數，這使我們想到構造角，從而利用正三角形. 在四邊形外取一點，使且，連接、. 在和中，故.從而.在中，故，從而.而，故是正三角形，.在中，故.在和中，故，從而，則.【例12】 (河南省數學競賽試題) 在正內取一點，使， 在外取一點，使，且，求.【解析】