1、太原理工大學物理系太原理工大學物理系若若f是恒力且物體沿直線運動發生位移是恒力且物體沿直線運動發生位移 ab ,力對物體所作的功：力對物體所作的功：1. 恒力作用恒力作用 直線運動直線運動一、一、 功功 26 功功 動能動能 動能定理動能定理 功能原理功能原理 機械能守恒機械能守恒功是表示力對空間累積效應的物理量。功是表示力對空間累積效應的物理量。ofab 力對質點所作的功為力在質點位移方向的分量力對質點所作的功為力在質點位移方向的分量與位移大小的乘積與位移大小的乘積 . abfabfacos太原理工大學物理系太原理工大學物理系質點在變力的作用下沿曲線從質點在變力的作用下沿曲線從a點運動到點運

2、動到b點點2.一般運動一般運動 （變力作用（變力作用 曲線運動）曲線運動）曲線曲線直線直線變力變力恒力恒力isifib*a這段位移視質點受恒力作用這段位移視質點受恒力作用iisf.元功元功 iiiisfacos路徑路徑ab分為很多小弧段分為很多小弧段, ,位移位移 is太原理工大學物理系太原理工大學物理系變力沿曲線變力沿曲線 ab對物體所作之總功為：對物體所作之總功為：當當 時求和變為積分，沿曲線從時求和變為積分，沿曲線從ab變力變力 作的總功為：作的總功為：0isifdsfsdfababacosiiisfa.在直角坐標系里在直角坐標系里kdzjdyidxsdkfjfiffzyx)(dzfdy

3、fdxfsdfazyxbaba太原理工大學物理系太原理工大學物理系1） 功是標量，沒有方向只有正負。功是標量，沒有方向只有正負。 功的功的正正負負取取決于力與位移的決于力與位移的夾角。夾角。3）當幾個力作用在質點上時，由于）當幾個力作用在質點上時，由于各力對質點做功之和等于合力作的功各力對質點做功之和等于合力作的功.sfsfaiiiiiiidd討論討論2）一般地，功即與質點的初末位置有關，也與）一般地，功即與質點的初末位置有關，也與運動軌跡有關。運動軌跡有關。太原理工大學物理系太原理工大學物理系力在單位時間內做的功，用力在單位時間內做的功，用p 表示表示tapdddtsdfv f功率是反映力做

4、功快慢的物理量。功率越大，做功率是反映力做功快慢的物理量。功率越大，做同樣的功花費的時間就越少。同樣的功花費的時間就越少。3.3.功率功率4）功是相對量，與參考系的選擇有關。）功是相對量，與參考系的選擇有關。mmm對對m的支持力作功嗎？的支持力作功嗎？太原理工大學物理系太原理工大學物理系解：解： 這是變力做功的問題。以物體的起始位置為原這是變力做功的問題。以物體的起始位置為原點，向右為正取坐標如圖：點，向右為正取坐標如圖： 例例1 1 設作用在質量為設作用在質量為2kg物體上的力物體上的力f= 6tn,其中其中t為為時間時間.如果物體由靜止出發沿直線運動，求頭如果物體由靜止出發沿直線運動，求頭

5、2秒內該秒內該力所作的功？力所作的功？0fxppxxxtsfaood6d現需把現需把dx換成換成 t 的函數才能積分。的函數才能積分。tmfa3由牛頓第二定律由牛頓第二定律太原理工大學物理系太原理工大學物理系tdt3dvvv003ttdtd223tv223tdtdxdttdx223tdxa6因為因為兩邊積分兩邊積分得到得到由由得得外力在前外力在前2 2秒內作的功秒內作的功t dtt202236j36太原理工大學物理系太原理工大學物理系設質量為設質量為 m 的物體在合外力的作用下沿曲線的物體在合外力的作用下沿曲線 l 從從 ab，設初末速率分別為，設初末速率分別為 v0、v 物體在外力物體在外力

6、 作作用下發生位移用下發生位移 時，合外力所作的元功為：時，合外力所作的元功為： sdf二、二、 質點運動的動能定理質點運動的動能定理在自然坐標系中在自然坐標系中nnttefeffsfdadabsdftenetedssd太原理工大學物理系太原理工大學物理系dsfdatdsdtdmvvddtdsmvvdmdadtdmmafttvnnmaf 元功元功所以物體從所以物體從ab合外力合外力 所作的總功為所作的總功為 ： fvvvv0dmavv2v021m太原理工大學物理系太原理工大學物理系動能定理動能定理: 合外力對質點所作的功等于質點動合外力對質點所作的功等于質點動能的增量能的增量. . 功是一個過

7、程量，而動能是一個狀態量功是一個過程量，而動能是一個狀態量. .動能動能定理是過程量和狀態量增量的關系。定理是過程量和狀態量增量的關系。定義動能定義動能2vmek2112kkeea2022121vvmm太原理工大學物理系太原理工大學物理系4 4）質點速度接近光速，則動能定理的敘述不變，）質點速度接近光速，則動能定理的敘述不變，但但動能表達式改變動能表達式改變! !1 1）合力做正功時，質點動能增大；反之，質點）合力做正功時，質點動能增大；反之，質點動能減小。動能減小。2 2）動能的量值與）動能的量值與參考系參考系有關。有關。3 3）動能定理由牛頓第二定理推出，所以只適用于）動能定理由牛頓第二定

8、理推出，所以只適用于質點質點, ,只適用于只適用于慣性系慣性系。討論討論太原理工大學物理系太原理工大學物理系例例 質量質量m=1kg的質點，在的質點，在xoy平面內運動，已知運平面內運動，已知運動方程動方程x=5t，y=t2（si），在），在t=1s到到t=2s這段時間這段時間內外力對質點的功是多少。內外力對質點的功是多少。解：解：利用動能定理求解利用動能定理求解5xvty2v2722521v2942522vjma1)(212122vv太原理工大學物理系太原理工大學物理系 多個質點組成的質點系，既要考慮多個質點組成的質點系，既要考慮外力外力，又，又要考慮質點間的相互作用力（要考慮質點間的相互作

9、用力（內力內力）。）。兩個質點在外力及內力作用下如圖所示：兩個質點在外力及內力作用下如圖所示：三三 、質點系動能定理、質點系動能定理1f2f12f21fm1m2太原理工大學物理系太原理工大學物理系 對對m1 1運用質點動能定理：運用質點動能定理：對對m2 2運用質點動能定理：運用質點動能定理：111111211ddbabasfsf21012112121vvmm222222122ddbabasfsf22022222121vvmm1f2f12f21fm1m2太原理工大學物理系太原理工大學物理系作為系統考慮時，得到：作為系統考慮時，得到：外力對系統做功之和外力對系統做功之和內力對系統做功之和內力對系

10、統做功之和內力之和一定為零，而內力做功之和不一定為零內力之和一定為零，而內力做功之和不一定為零221122112211122211ddddbabababasfsfsfsf)2121()2121(22022101222211vvvvmmmm22112211ddbabasfsf2211221112ddbabasfsf太原理工大學物理系太原理工大學物理系質點系動能定理：質點系動能定理：所有外力與所有內力對質點所有外力與所有內力對質點系做功之和等于質點系總動能的增量。系做功之和等于質點系總動能的增量。令令內力做功也會改變系統的總動能內力做功也會改變系統的總動能! kkakbeeeaa內外2211221

11、1ddbabasfsfa外2211221112ddbabasfsfa內太原理工大學物理系太原理工大學物理系 本節討論在由若干個物體組成的系統中本節討論在由若干個物體組成的系統中, ,由于由于系統中各物體有相互作用而存在的能量系統中各物體有相互作用而存在的能量勢能勢能. .四、勢能四、勢能1.1.保守力保守力 功是過程量功是過程量. .一般地，沿不同路徑做功的大小一般地，沿不同路徑做功的大小是不同的是不同的. .按做功的特點，把力分為保守力和非按做功的特點，把力分為保守力和非保守力保守力. . 我們把做功僅與始末狀態有關，而與路徑無關我們把做功僅與始末狀態有關，而與路徑無關的力稱為的力稱為保守力

12、保守力。太原理工大學物理系太原理工大學物理系blasdf)(12l1labblasdf)(20)()(21albblasdfsdfalbblasdfsdf)()(21保守力的保守力的環流環流為零為零,該結論具有普遍意義該結論具有普遍意義. 保守力的保守力的另一種表述：另一種表述：沿任意閉合的路徑移動沿任意閉合的路徑移動一周做功為零。一周做功為零。0lsdf太原理工大學物理系太原理工大學物理系2. 幾種保守力的功幾種保守力的功 1 1）重力所作的功）重力所作的功 取物體與地球組成一取物體與地球組成一個個系統系統，重力是兩者之重力是兩者之間的內力，物體從間的內力，物體從 a 點點運動到運動到 b

13、點的過程中，點的過程中，計算重力所作的功計算重力所作的功. .yxhbha0abmgsdsdgmda 在元位移在元位移 中，重力中，重力 所做的元功是所做的元功是 gmsd太原理工大學物理系太原理工大學物理系mgmgj ymgabahhd)(abmghmgh kdzjdyidxsd在直角坐標系中在直角坐標系中yxhbha0abmgsdsdgmdamgdy太原理工大學物理系太原理工大學物理系r0r2 2）萬有引力的功）萬有引力的功 兩個物體的質量分別為兩個物體的質量分別為m 和和m，它們之間有萬有，它們之間有萬有引力作用。引力作用。m 靜止，以靜止，以 m 為原點為原點o 建立坐標系，研建立坐標

14、系，研究究m 相對相對m 的運動。的運動。rdfbabrarommsdsfadd02rrmmgfcos00sdrsdrdrdscos太原理工大學物理系太原理工大學物理系rrmmgd2baaad)()(abrmmgrmmgsdrrmmg02sfaddm 在在m的作用下，從的作用下，從a移動到移動到b，萬有引力所做的功，萬有引力所做的功barrrrmmgd2太原理工大學物理系太原理工大學物理系3 3） 彈性力的功彈性力的功如圖所示的彈簧振子，彈簧原長如圖所示的彈簧振子，彈簧原長l0，質點位于，質點位于o點。點。取取o點為坐標原點，水平向右為點為坐標原點，水平向右為x軸。軸。由胡克定律由胡克定律xx

15、boxax0l設設 兩點為彈簧伸長后物體的兩個位置，兩點為彈簧伸長后物體的兩個位置， 和和 分別表示物體的位移。分別表示物體的位移。ba、axbxkxf太原理工大學物理系太原理工大學物理系baxfadbaxxxkxd)2121(22abkxkx 共同特征共同特征1 1 做功與相對路徑無關，只與始末位置做功與相對路徑無關，只與始末位置有關。有關。共同特征共同特征2 2 這些力所做的功都可以表示為某個這些力所做的功都可以表示為某個函數的末態值與初態值之差的負值。函數的末態值與初態值之差的負值。這個函數稱為勢能函數，簡稱這個函數稱為勢能函數，簡稱勢能勢能. .重力、萬有引力、彈性力都是保守力。重力、

16、萬有引力、彈性力都是保守力。 以上討論的三種情況，都不是單個力的功，而以上討論的三種情況，都不是單個力的功，而是一對內力的總功。其共同特征有：是一對內力的總功。其共同特征有：太原理工大學物理系太原理工大學物理系重力勢能重力勢能保守力做功等于勢能增量的負值。保守力做功等于勢能增量的負值。保守力做功和勢能增量的關系保守力做功和勢能增量的關系basdf萬有引力勢能萬有引力勢能彈性勢能彈性勢能mghhep)(rmmgrep)(221)(kxxep)(ppabeepe3.3.勢能勢能太原理工大學物理系太原理工大學物理系1）根據動能定理，保守力做功使動能增加根據動能定理，保守力做功使動能增加.保守保守力做

17、功，將系統的勢能力做功，將系統的勢能轉化轉化為等量的動能為等量的動能.討論討論2) 勢能屬于相互作用物體之間，即勢能屬于相互作用物體之間，即屬于相互作屬于相互作用的系統用的系統，不為單個物體所具有。，不為單個物體所具有。3）系統內物體之間相互作用的形式不同，勢能系統內物體之間相互作用的形式不同，勢能表達式不同。表達式不同。4）勢能之差等于是絕對量勢能之差等于是絕對量basdf)(ppabeebaeepp太原理工大學物理系太原理工大學物理系5）要給出某點的勢能值是多少，必須規定要給出某點的勢能值是多少，必須規定勢能勢能零點零點（勢能參考點）。（勢能參考點）。若選末態若選末態b為勢能零點為勢能零點

18、,任意點任意點a的勢能為的勢能為0peapasdfe勢能等于從勢能等于從a點到勢能零點點到勢能零點b，保守力所做的功。，保守力所做的功。6）勢能零點可以任意選取，習慣的取法是使勢能勢能零點可以任意選取，習慣的取法是使勢能函數的形式最簡單。函數的形式最簡單。太原理工大學物理系太原理工大學物理系7 7）常見的勢能的勢能零點常見的勢能的勢能零點重力（系統）勢能：重力（系統）勢能：通常選取地面處為重力勢能零點通常選取地面處為重力勢能零點引力（系統）勢能：引力（系統）勢能：通常選取無窮遠處為萬有引力勢能零點通常選取無窮遠處為萬有引力勢能零點mghhep)(rmmgrep)(彈性（系統）勢能：彈性（系統）

19、勢能：通常選取彈簧沒有形變處為彈性勢能零點通常選取彈簧沒有形變處為彈性勢能零點221)(kxxep太原理工大學物理系太原理工大學物理系8 8）勢能曲線勢能曲線o重力勢能重力勢能)(xepxabo彈性勢能彈性勢能)(repo引力勢能引力勢能h)(hepr太原理工大學物理系太原理工大學物理系例例 某彈性力與彈簧伸長量的關系為某彈性力與彈簧伸長量的關系為 )(352sixxf求（求（1）彈簧從）彈簧從x1伸長到伸長到x2時，外力需做的功時，外力需做的功21)35(2xxdxxxfdxa（2）此彈簧力是保守力嗎？）此彈簧力是保守力嗎？答：答：此彈簧力做功只與彈簧的初末狀態有關，該此彈簧力做功只與彈簧的

20、初末狀態有關，該彈簧力是保守力。彈簧力是保守力。解：解：21)25(32xxxx )25()25(31213222xxxx太原理工大學物理系太原理工大學物理系五、機械能守恒定律五、機械能守恒定律1.功能原理功能原理 對質點系，由質點系動能定理對質點系，由質點系動能定理內力分為保守內力與非保守內力內力分為保守內力與非保守內力kakbeeaa內外kakbeeaaa內非保內保外由保守力的功和勢能增量的關系由保守力的功和勢能增量的關系)(ppabeea內保太原理工大學物理系太原理工大學物理系引入機械能引入機械能 pkeee 質點系的功能原理：質點系的功能原理：質點系所受的外力的功與質點系所受的外力的功與非保守內力的功之和等于系統機械能的增量。非保守內力的功之和等于系統機械能的增量。)()(pakapbkbeeeeaa非保內外abeeaa非保內外2.2.機械能守恒定律機械能守恒定律 當當abee 時，時，有