1、機械振動本章內容Contentschapter 6簡諧振動的特征及其描述簡諧振動的特征及其描述characteristic and describe of simple harmonic motion 簡諧振動的能量簡諧振動的能量energy of simple harmonic motion compose of simple harmonic motion 阻尼振動，受迫阻尼振動，受迫 振動，共振振動，共振簡諧振動的合成簡諧振動的合成第一節 引言characteristic and describe of4 - 1simple harmonic motion 第一節 引言往復運動。如聲源的

2、振動、鐘擺的擺動等。機械振動 物體在它的平衡位置附近所作的物體發生機械振動的條件：物體受到始終指向平衡位置的回復力；物體具有慣性。掌握機械振動的基本規律是研究其它形式振動的基礎。簡諧振動（simple harmonic vibration) 是最簡單、最基本的振動理想模型。它是研究各種復雜振動的重要基礎。這里主要討論簡諧振動。動力學特征以物體受力為零的平衡位置為坐標原點水平光滑面，彈簧勁度 質量可忽略，物體質量物體在任一位置受的彈性力以鉛垂方向 為擺角參考軸線，單擺在任一角位置 所受的重力矩為則取擺幅很小X正X向反X向運動學特征簡諧振動的速度A簡諧振動的加速度A應用轉動定律，同理也可求得單擺的

3、角振動方程X簡諧振動微分方程對于給定的彈簧振子 為常量，其比值亦為常量。令則即得A為微分方程求解時的積分常量，由系統的初始條件決定。簡諧振動方程A該微分方程的解通常表成余弦函數續上簡諧振動的加速度AA簡諧振動的振動方程簡諧振動的速度AAA最大最大最大AAA簡諧振動參量XAA振幅 ： 的最大絕對值A周期：完成一次振動需時頻率：角頻率：彈簧振子單 擺AA相位 ：是界定振子在時刻 的運動狀態的物理量運動狀態要由位置 和速度 同時描述，而 和 的正負取決于 ，不是指開始振動，而是指開始觀測和計時。所謂時質點的運動狀態AA位置速度初始條件即為初相 ：是時，振子的相位。續上由 和 求給定振子的振幅AAAA

4、消去 得初相 由 和 求給定振子的AAA消去 得 但由于 在 0 2p 范圍內，同一正切值對應有兩個 值，因此，還必須再根據 和 的正負進行判斷。聯系振子運動狀態直觀圖不難作出判斷且若則若且則且若則且若則（第一象限）（第二象限）（第三象限）（第四象限）旋轉矢量法AAXXOjM ( 0 )Aj初相M ( t )twtwM ( t )twM ( t )twM ( t )M ( t )twM ( t )twM (T )Tw周期 TM ( t )twM ( t )twXOjM ( 0 )j初相M ( t )twA矢量端點在X 軸上的投影對應振子的位置坐標t 時刻的振動相位(w w tj j ) )旋轉

5、矢量A以勻角速逆時針轉動循環往復x = A cos (w w tj j ) )簡諧振動方程續上旋轉矢量端點 M 作勻速圓周運動振子的運動速度（與 X 軸同向為正）wA其 速率wAjtwAXAAXOwjtwO 旋轉矢量端點 M 的加速度為法向加速度，其大小為wA振子的運動加速度（與 X 軸同向為正）wAjtw和任一時刻的 和 值，其正負號僅表示方向。同號時為加速異號時為減速例一0.040.0412簡諧振動的曲線完成下述簡諧振動方程A = 0.04 (m)T = 2 (s)w w = 2 p / p / T T = p p (rad /s )0.04p pp p2Aw w= p p / 2 t =

6、 0v0 從 t = 0 作反時針旋轉時，A矢端的投影從x=0向X軸的負方運動，即 ，與 已知 X t 曲線一致。v0SI例三彈簧振子x0 = 0t = 0 時v0 = 0.4 ms -1m = 510 - -3 kgk = 210 - -4 Nm -1 完成下述簡諧振動方程v0mk0.2 (rad s 1)x0v02 (m)x0 = 0已知w w相應的旋轉矢量圖為20.2(SI)v0 試證明，若選取受力平衡點作為位置坐標原點，垂直彈簧振子與水平彈簧振子的動力學方程和振動方程相同。平衡點在受力平衡點小球受彈性力大小選取受力平衡點作為位置坐標原點小球在為置坐標 處所受彈性力合外力振動方程A動力學

7、方程微分方程的解：均與水平彈簧振子結果相同例二例四某物體沿 X 軸作簡諧運動， 振幅 A = 0.12 m，周期周期 T = 2 s，t = 0 時x0 = 0.06 m處初相 j j , ,t = 0 .5 s 時的位置 x, 速度 v, 加速度 a物體背離原點移動到位置A = 0.12 m，T = 2 s , w w = 2p / p / T = p p rad s - -1 , 將j j = p / 3 p / 3 rad 及 t = 0 .5 s 代入諧振動的 x, v, a 定義式得x A cos (w w tj j ) )0.104 (m)A0.19 ( m s - -1 )A1.

8、03 ( m s - -2 )x = A cos (w w tj j ) )由簡諧振動方程t = 0 時0.06 = 0.12 cos j j 得 j j =p / 3p / 3再由題意知 t = 0 時物體正向運動，即A0且j j = p / 3p / 3，則 j j 在第四象限，故取例五周期均為 T = 8.5s 用旋轉矢量法兩質點振動相位差兩質點第一次通過平衡點的時刻兩質點 1、2同在 X 軸上作簡諧振動t = 0 時 在 處 質點2 AA向平衡點運動質點1在 處向平衡點運動振幅 A 相同Acos Acos 或因且在第一象限應取Acos Acos 兩質點振動相位差AA從旋轉矢量圖可以看出

9、：時，質點1第一次通過平衡點A轉過1.06 (s)A轉過時，質點2第一次通過平衡點2.13(s)第二節 振動能量4 - 2energy of simple harmonic motion 第二節 振動能量 （以x x= =0 0處為零勢點）系統的 動能A系統的 勢能A系統的 機械能AA振子運動速度AA簡諧振動方程振動系統： 彈簧勁度振子質量振動角頻率如 水平彈簧振子均隨時間而變且能量相互轉換變到最大時變為零系統的機械能守恒。及A變為零變到最大時時 間能 量例六動能A 勢能A當時則其中得振動相位或一水平彈簧振子彈簧勁度振子質量振幅 A沿 X X 軸振動 當振動系統的以平衡點為原點位置坐標 x 相

10、等時 動能值與勢能值 振子的A代入中，解得能量位置例七該擺動系統的機械能守恒數學表達式該擺的運動學微分方程及擺動周期動能 剛體（直棒）轉動動能 勢能 系統的重力勢能以垂態直棒中心點 C 為重力零勢點令機械能機械能守恒，即 為恒量，即得 簡諧角振動微分方程該擺的振動周期勻質細直懸棒質量 m、長 L在鉛直面內擺動擺幅很小轉動慣量第三節 振動合成4 - 3compose of simple harmonic motion 第三節 振動合成且 相同同在 X X 軸合成振動用旋轉矢量法可求得合成振動方程與計時起始時刻有關合成初相分振動初相差與計時起始時刻無關，但它對合成振幅屬相長還是相消合成起決定作用續

11、上合振動分振動；其中，合振幅若則為合振幅可能達到的最大值若則若為其它值，則 處于與之間若則為合振幅可能達到的最小值若則例八0.050.060.07簡諧振動(SI)(SI)(SI)合成的和合成的 最大時合成的 最小時8.9210 2 (m)0.92868 12248 12(舍去）時當得合成的 達到最小當時合成的 達到最大得振動合成二為了突出重點，設兩分振動的振幅相等且初相均為零。合振動此合振動不是簡諧振動，一般比較復雜，只介紹一種常見現象：頻率為 的簡諧振動頻率為 的簡諧振動續上385 Hz383 Hz聽到的音頻384 Hz強度節拍性變化2 Hz若與相差不大，可看作呈周期性慢變的振幅合振動頻率相

12、對較高的簡諧振動1 秒秒9 Hz8 Hz合振動振幅 （包絡線） 變化的頻率稱為兩分振動的頻率1 Hz“ 拍頻 ”合振動頻率8.5 Hz例如：振動合成三消去 得軌跡方程：該方程為橢圓的普遍方程，若或得直線或得直線若若介紹幾種特殊情況：得正橢圓續上或振動合成四其合運動一般較復雜，且軌跡不穩定。但當 為兩個簡單的整數之比時可以得到穩定軌跡圖形，稱為李薩如圖形例如選講：阻尼振動稱為阻尼振動或衰減振動振幅逐漸衰減的振動形成阻尼振動的原因：振動系統受摩擦、粘滯等阻力作用，造成熱損耗；振動能量轉變為波的能量向周圍傳播或輻射。以第一種原因為例，建立阻尼振動的力學模型。續上以液體中的水平彈簧振子為例：摩擦阻力彈

13、性力振動速度不太大時受：阻力系數摩擦阻力與 反向負號：彈性力振子 受合外力即令稱為振動系統的固有角頻率得稱為阻尼系數若阻尼較弱，且時，上述微分方程的解為續上和取決于初始狀態。為振動角頻率，為阻尼振動的振幅，隨時間的增大而指數衰減。本圖設越大，振幅衰減越快，且振動周期 越長。周期續上 相對較大的阻尼振動，其振幅衰減較快，但只要滿足，振子仍可出現往復運動的特征，仍屬阻尼振動。若阻尼過大，以致，用此條件求解微分方程，其結果表明（數學表達從略）振子不能作往復運動，而是從開始的最大位置緩慢地回到平衡位置。此情況稱為過阻尼。若，振子從開始的最大位置較快地回到平衡位置，并處于往復運動的臨界狀態。此情況稱為臨界阻尼。臨界阻尼過阻尼阻尼振動受迫振動 系統在周期性外力的持續作用下所作的等幅振動稱為受迫振動。幅 值角頻率周期性外力（強迫力）彈性力示意建立動力學方程即表成此微分方程的解為續上受迫振動進入穩定振動狀態后，其振動角頻率為強迫力的角頻率 ，其振幅為 受迫振