1、1 第 7 講輔助圓知識(shí)點(diǎn)歸納在處理平面幾何中許多問(wèn)題時(shí)，常需要借助于圓的性質(zhì)，問(wèn)題才得以解決。而我們需要的圓并不存在 （有時(shí)題設(shè)中沒有涉及圓；有時(shí)雖然題設(shè)涉及圓，但是此圓并不是我們需要的圓），這就需要我們利用已知條件，借助圖形把需要的實(shí)際存在的圓找出來(lái)，添補(bǔ)輔助圓的常見方法有：1、利用圓的定義添補(bǔ)輔助線；2、作三角形的外接圓；3、運(yùn)用四點(diǎn)共圓的判定方法：（1）若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。（2）同底同側(cè)張等角的三角形，個(gè)頂點(diǎn)共圓。（3）若四邊形abcd的對(duì)角線相交于p，且pdpbpcpa，則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。（4）若四邊形abcd的一組對(duì)邊ab 、cd的延長(zhǎng)線相交于p，且p

2、dpcpbpa, 則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。例題精講【 例1 】 如 圖 ， 四 邊 形abcd中， ab=ac=ad,e 是cb 的 中 點(diǎn) ， ae=ec。,6626,3bddbcbac則 ab= 。（鄂州市中考題）思路點(diǎn)撥adacab,有共同端點(diǎn)且相等，可用圓的定義畫出圖中隱藏的圓，從而可推導(dǎo)bac、dbc為特殊角。【例 2】如圖，若pa=pb ，acacbapb,2與pb交于點(diǎn)d，且,3,4 pdpb則dcad( ). a.6 b.7 c.12 d.16 （ “ti ”杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥作出以 p點(diǎn)為圓心、 pa長(zhǎng)為半徑的圓，為相交弦定理的應(yīng)用創(chuàng)設(shè)了條件。【例 3】 如圖，在ab

3、c中，acab， 任意延長(zhǎng)ac到p， 再延長(zhǎng)ab到q， 使bqap，2 求證：abc的外心o與a、p、q四點(diǎn)共圓。思路點(diǎn)撥先作出abc的外心o，連接pq、oq，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明角相等。【例 4】 如圖，,bccdbcab垂足分別為b、c。（1）4ab1dc，4bc時(shí)，在線段bc上是否存在點(diǎn)p, 使pdap？若存在，求線段bp的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）設(shè)aab,bdc,cad，那么當(dāng)a、b、c之間滿足什么關(guān)系時(shí)，在直線bc上存在點(diǎn)p，使pdap? （南京市中考題）思路點(diǎn)撥對(duì)于（ 2） ，點(diǎn) p在以 ad為直徑的o上，又點(diǎn)p在 bc上，表明o與 bc相交或相切。旋轉(zhuǎn)與圓【例 5】如圖，已知

4、正方形oabc在直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)a、c分別在x軸、y軸的正3 半軸上， 點(diǎn)o在坐標(biāo)原點(diǎn)。 等腰直角三角板oef的直角頂點(diǎn)o在原點(diǎn)，e、f分別在oa、oc上， 且4oa，2oe。 將三角板oef繞 o點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至11foe的位置，連接1cf、1ae。（1）求證：11ocfoae; （2）若三角板oef繞 o點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，是否存在某一位置，使得cfoe /?若存在，請(qǐng)求出此時(shí)e點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（濰坊市中考題）【例 6】 如圖，p是o外一點(diǎn)， pa切o于a，pbc是o的割線，poad于d。求證：cdpcbdpb. （四川省聯(lián)賽題）分析因所證比例線段不是對(duì)應(yīng)邊，故不能通過(guò)判

5、定pbd與pcd相似證明。pcpbpopdpa2，b、c、o、d共圓，這樣連接ob ，就得到多對(duì)相似三角形，以此達(dá)到證明的目的。4 基礎(chǔ)練習(xí)1、如圖， 已知矩形)(bcababcg和矩形cdef全等，點(diǎn)b、c、d在同一條直線上，ape的頂點(diǎn)p在線段bd上移動(dòng)，使ape為直角的點(diǎn)p的個(gè)數(shù)是個(gè)。（陜西省中考題）第 1 題第 2 題第 3 題2、如圖，1o和2o的半徑分別為1 和 2， 連接21oo， 交2o于點(diǎn) p，21oo=5. 若將1o繞點(diǎn) p按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)360, 則1o和2o共相切次。（鄂爾多斯中考題）3、如圖， 已知ocoboa，且bockaob，則acb是bac的倍。4、如圖，鐵路m

6、n和公路pq在點(diǎn)o處交匯，30qon，公路pq上a處距離o點(diǎn)240 米。如果火車行駛時(shí)， 周圍 200 米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么火車在鐵路mn上沿on方向以 73 千米 / 時(shí)的速度行駛時(shí)，a處受噪音影響的時(shí)間為（） 。a.12 秒 b.16秒 c.20秒 d.24秒（武漢市中考題）5 5、如圖，矩形abcd中，4ab，bc34, 點(diǎn)e是折線段cda上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)e與點(diǎn)a不重合），點(diǎn)p是點(diǎn)a關(guān)于be的對(duì)稱點(diǎn)。 在點(diǎn) e運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中， 使pcb為等腰三角形的點(diǎn)e的位置共有（） 。a.2 個(gè) b.3個(gè) c.4個(gè) d.5個(gè)（濟(jì)南市中考題）6、如圖，在o中，弦cdab于 e點(diǎn)，弦bcag于 f，

7、連接ef，cd與ag相交于 點(diǎn)m， 則 下 列 結(jié) 論 ： 弧bd弧bg; mede; afeacd; bfaf。其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)有（） 。a.1 個(gè) b.2個(gè) c.3個(gè) d.4個(gè)emofgbdac7、如圖， 已知abcrt中，5ab，12bc，90acb,p是ab邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)a、b不重合），q是bc邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)b、c不重合）。（1）當(dāng)acpq /，且q為bc的中點(diǎn)時(shí)，求線段pc的長(zhǎng)；（2）當(dāng)pq與ac不平行時(shí)，cpq可能為直角三角形嗎？若有可能，求出線段cq的長(zhǎng)的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由。（廣州市中考題）6 8、如圖，已知abc中，ah是高，at是角平分線，且abtd，ac

8、te。求證：（1）aheahd； （2）cechbdbh。（陜西省競(jìng)賽題）能力拓展9、如 圖 ， 正 方 形abc d的 中 心o， 面 積 為19892cm，p為 正 方 形 內(nèi) 一 點(diǎn) ， 且45opb,14:5: pbpa則pb的長(zhǎng)為。（北京市競(jìng)賽題）10、如圖，在abc中，bcacab,2邊上有100 個(gè)不同的點(diǎn)1p、2p、.100p，記)100.3 ,2, 1(2icpbpapmiiii，則10021.mmm。11、如圖，在四邊形abcd中，adacab，若25bac，,75cad則7 bdc；dbc。（第 20 屆江蘇省競(jìng)賽題）12、如圖，ab為半圓o的直徑，c為半圓上一點(diǎn)，,60aoc點(diǎn)p在ab的延長(zhǎng)線上，且.3cmbopb連接pc交半圓于點(diǎn)d，過(guò)p作paph交ad的延長(zhǎng)線于點(diǎn)h，則phcm. （第 19 屆江蘇省競(jìng)賽題）13、如圖 ， 已 知 在 凸 五 邊 形abcde中 ，,3decdbcbae且.2180cdebcd求證：.dpocadbac（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）14、如圖，p是o外一點(diǎn)，pa和pb是o的切線，a、b為切點(diǎn)，op與ab交于點(diǎn)m，過(guò)m任作o的弦cd。求證：dpocpo。綜合創(chuàng)新8 15、如圖，ad