1、3.2.23.2.2最大值、最小值問題最大值、最小值問題 求極值的步驟：求極值的步驟： 1. 求導數求導數 ；)(xf 2. 解方程解方程 ；0)( xf 3. 對于方程對于方程 的每一個解的每一個解 ，分析，分析 在在 左右兩側的符號，確定極值點：左右兩側的符號，確定極值點： 在在 兩側若兩側若 的符號的符號)(xf 0)( xf0 x0 x)(xf 0 x （1） “左正右負左正右負”，則，則 為為極大值極大值點；點；0 x （2） “左負右正左負右正”，則，則 為為極小值極小值點；點；0 x （3）相同，則）相同，則 不是極值點；不是極值點；0 x復習回顧復習回顧 極值是函數的局部性質，

2、而不是在整個定義域內極值是函數的局部性質，而不是在整個定義域內的性質，即：如果的性質，即：如果 是是 的極大的極大( (小小) )值點，那值點，那么在么在 附近找不到比附近找不到比 更大更大( (小小) )的值的值。 但是，解決實際問題或研究函數性質時，我們往但是，解決實際問題或研究函數性質時，我們往往更關心在某個區間上，函數的哪個值最大，哪個值往更關心在某個區間上，函數的哪個值最大，哪個值最小。最小。)(xfy 0 x)(0 xf0 x 若若 是是 在在 上的最大上的最大(小小)值點，則值點，則 不小不小 (大大)于于 在此區間上的所有函數值。在此區間上的所有函數值。)(xfy 0 x)(x

3、fy ba,)(0 xf 由圖知，最大由圖知，最大(小小)值在極大值在極大(小小)值點或區間的值點或區間的端端點處取得。點處取得。xyo ab0 xxyo a(b)0 x思考：如何求函數的最大思考：如何求函數的最大( (小小) )值？值？問題：問題：對于函數的最值概念的學習，你認為對于函數的最值概念的學習，你認為有哪些方面是值得注意的？有哪些方面是值得注意的？ 例例1 求函數求函數 在區間在區間 上的上的最值。最值。52)(23xxxf2 , 2 最值是在極值點或者區間的端點取得的，所以最值是在極值點或者區間的端點取得的，所以要想求最值，應首先求出函數的極值點，然后將要想求最值，應首先求出函數

4、的極值點，然后將所有的極大所有的極大(小小)值與端點的函數值進行比較，其值與端點的函數值進行比較，其中最大中最大(小小)的值即為函數的最大的值即為函數的最大(小小)值。值。分析：分析：+00+-解：解：求導得求導得xxxf43)(234, 021xx令令 ，得，得0)( xf5- -11 極大值極大值 極小值極小值xyo-234通過比較可知：通過比較可知：函數函數 在區間在區間 上的上的52)(23xxxf2 , 2最大值是最大值是 f (2)= 5 ；最小值是；最小值是 f (-2)= -11； 列表可知，列表可知， 是函數的極大值點，是函數的極大值點， 是是極小值點，計算極值和端點的函數值

5、得極小值點，計算極值和端點的函數值得0 x34x5)2(,11)2(,27103)34(, 5)0(ffff總結總結 若若 是是 在在 上的最大上的最大(小小)值點，則值點，則 不小不小 (大大)于于 在此區間上的所有函數值。在此區間上的所有函數值。)(xfy 0 x)(xfy ba,)(0 xf 函數的最大函數的最大( (小小) )值：值： 求最值的步驟：求最值的步驟： （1）求）求 f (x)在在 (a，b) 內的極值；內的極值； （2）將）將 f (x) 的各極值與的各極值與 f (a)，f (b) 進行比較，其進行比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。中最大的一個是最大值，

6、最小的一個是最小值。1. 求函數求函數 在區間在區間-1，2上的最值。上的最值。1223xxy2, 1minmaxyy 2. 已知函數已知函數 ， （1）求）求f (x) 單調單調減區間；減區間； （2）若）若f (x) 在在-2，2上的最大值是上的最大值是20，求它在該，求它在該區間上的最小值。區間上的最小值。axxxy9323), 3(),1,(7, 2minya動手做一做動手做一做例例2 邊長為邊長為 48 cm 的正方形鐵皮，四角各截去一個的正方形鐵皮，四角各截去一個大小相同的正方形，然后折起，可做成無蓋的長大小相同的正方形，然后折起，可做成無蓋的長方體容器，其容積方體容器，其容積 v

7、 是關于截去的小正方形的邊是關于截去的小正方形的邊長長 x 的函數。的函數。（1）隨）隨 x 的變化，容積的變化，容積 v 如何變化？如何變化？（2）截去的小正方形邊長為多少時，容器的容積最）截去的小正方形邊長為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？大？最大容積是多少？分析：分析： 解決實際應用問題，首先要分析并列出函數關解決實際應用問題，首先要分析并列出函數關系，要注意根據實際意義寫出定義域。求函數值的系，要注意根據實際意義寫出定義域。求函數值的變化情況即單調性，求導判斷導數符號即可，求最變化情況即單調性，求導判斷導數符號即可，求最值就是求導、解方程求出極值點，最后通過比較函值就是求導、解

8、方程求出極值點，最后通過比較函數值寫出最值。數值寫出最值。解：解：求導得求導得24, 0 xxxxfv2)248()(，2)248()248(4)(xxxxf)8)(24(12)48)(248(xxxx -6令令 ，得，得0)( xf24, 821xx+ 0極大值極大值- vo248192x8分析可知，分析可知，x = 8 是極大值點，極大值為是極大值點，極大值為)(81928)1648()8(32cmvv= f (x)在在 上遞增，在上遞增，在 上遞減。上遞減。8 , 0()24, 8由表知：由表知：（2）由函數的單調性和圖像可知，）由函數的單調性和圖像可知，x = 8時最大時最大值點，值點

9、，此時此時38192cmv = f (8) = 即當截去小正方形邊長為即當截去小正方形邊長為 8 cm時，得到最大容時，得到最大容積為積為 。38192cm 日常生活中，人們常常會遇到這樣的一些問題，日常生活中，人們常常會遇到這樣的一些問題，在一定條件下，怎樣使得在一定條件下，怎樣使得“用料最省用料最省”“”“利潤最利潤最大大”“”“成本最低成本最低”“”“選址最優選址最優”等等。這類問題一等等。這類問題一般都可以利用導數的知識得到解決。般都可以利用導數的知識得到解決。概括總結概括總結 3. 設一容積設一容積 v 一定的有鋁合金蓋的圓柱形鐵桶，一定的有鋁合金蓋的圓柱形鐵桶，已知單位面積鋁合金的

10、價格是鐵的已知單位面積鋁合金的價格是鐵的 3 倍，倍，問如何設問如何設計使得總造價最小？計使得總造價最小？提示：提示：設圓柱高設圓柱高 h ，底半徑，底半徑 r ，單位面積鐵的造價，單位面積鐵的造價 為為 m ，桶總造價為，桶總造價為 y ，則，則rh4時總造價最小。時總造價最小。)0(242rrmvrmy動手做一做動手做一做 （1）函數的最值是一個整體性概念，最大值必須）函數的最值是一個整體性概念，最大值必須是整個區間上所有函數值中的最大者，最小值必須是整個區間上所有函數值中的最大者，最小值必須是整個區間上所有函數值中的最小者。是整個區間上所有函數值中的最小者。 （2）函數的最大值和最小值是

11、比較整個定義區間）函數的最大值和最小值是比較整個定義區間的所有函數值得到的；極大值和極小值是比較極值的所有函數值得到的；極大值和極小值是比較極值點附近的函數值得出的。點附近的函數值得出的。 極值可以有多個，但最值只能有一個；極值只極值可以有多個，但最值只能有一個；極值只能在區間內取得，最值可以在端點取得。能在區間內取得，最值可以在端點取得。注意：注意：概括總結概括總結小結小結 若若 是是 在在 上的最大上的最大(小小)值點，則值點，則 不小不小 (大大)于于 在此區間上的所有函數值。在此區間上的所有函數值。)(xfy 0 x)(xfy ba,)(0 xf 函數的最大函數的最大( (小小) )值：