1、 1、已知函數(shù)).0(3ln)(?aaxxaxf （I）求函數(shù))(xf的單調(diào)區(qū)間； （II）若函數(shù) )(xfy?的圖象在點(diǎn)（2，f（2）處的切線的傾斜角為45°，函數(shù) 2)(')(23mxfxxxg? ?在區(qū)間（1，3）上總是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍； （III）求證：*ln2ln3ln1(2,)23nnnNnn?L。 2已知函數(shù)2(),()2ln(xfxgxaxee?為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） （1）求()()()Fxfxgx?的單調(diào)區(qū)間，若()Fx有最值，請(qǐng)求出最值； （2）是否存在正常數(shù)a，使()()fxgx與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且在該公共點(diǎn)處有共同的切線？若存在，求出a

2、的值，以及公共點(diǎn)坐標(biāo)和公切線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由。 3設(shè)函數(shù)().xxfxee? （1）求證：()fx的導(dǎo)數(shù)'()2fx?；（2）若對(duì)任意0x?都有(),fxax?求a的取值范圍。 4,已知函數(shù)(1)()ln.1axfxxx?（)Ra? （1）若函數(shù)()fx在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍； （2）設(shè),:.lnln2mnmnmnmnmn?R且求證 5,已知f(x)xlnxax，g(x)x22， （）對(duì)一切x(0, +)，f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （）當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)在m，m3( m0)上的最值； （）證明：對(duì)一切x(0, +)，都有l(wèi)nx1exe

3、x21?成立。 6.（1）若(0,)2x?，求證:sinxx?； （2）設(shè)2()cos1fxxkx?，若12k?，判斷()fx在(0,)2?上的單調(diào)性； （3）求證:11111coscoscoscos(1,)2342nnNn?L. 1. 而函數(shù)234yxx?為(1,3)上遞減函數(shù)，則 3723453xx?,則5m?或373m?. 注：也可以考慮而函數(shù)()gx在區(qū)間（1,3）上總是單調(diào)函數(shù)，則(3)0(1)0gg?或, 可以得出373m? ?或5m? 令,2) 1(,3ln)(,1?fxxxfa所以此時(shí)由（I）知，),1(3ln)( ?在xxxf上單調(diào)遞,01ln),1()(),1(?xxfxf

4、x時(shí)當(dāng)成立對(duì)一切),1(1ln?xxx， ,1ln0,1ln0,2*nnnnnnNnn?時(shí)有當(dāng)).,2(113221ln33ln22ln*Nnnnnnnn? 2解：（1）3222()()()()(0)xaxeaFxfxgxxexex? 當(dāng)0,()0aFx?時(shí)恒成立()(0,)Fx?在上是增函數(shù)，()FxF只有一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間（0，-），沒有最值 當(dāng)0a?時(shí)，2()()(0)xeaxeaFxxex?， 若0xea?，則()0,()(0,)FxFxea?在上單調(diào)遞減；若xea?，則()0,()(,)FxFxea?在上單調(diào)遞增，xea?當(dāng)時(shí)，()Fx有極小值，也是最小值，即min()()2lnlnF

5、xFeaaaeaaa? 所以當(dāng)0a?時(shí)，()Fx的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,)ea,單調(diào)遞增區(qū)間為(,)ea?，最小值為lnaa?，無最大值 （2）方法一，若()fx與()gx的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則方程()()0fxgx?有且只有一解，所以函數(shù)()Fx有且只有一個(gè)零點(diǎn)由（1）的結(jié)論可知min()ln01Fxaaa?得 此時(shí)，2()()()2ln0xFxfxgxxe?,min()()0FxFe?()()1,()()fegefxgx?與的圖象的唯一公共點(diǎn)坐標(biāo)為(,1)e,又2()()fegee?Q,()()fxgx?與的圖象在點(diǎn)(,1)e處有共同的切線， 其方程為21()yxee?，即21yxe?

6、.綜上所述，存在a1?，使()()fxgx與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)(,1)e，且在該點(diǎn)處的公切線方程為21.yxe? 方法二：設(shè)()fx與g(x)圖象的公共點(diǎn)坐標(biāo)為00(,)xy，根據(jù)題意得0000()()()()fxgxfxgx?,即200002ln22xaxexaex? 由得20xae?，代入得021ln,2xxe?,從而1a?,此時(shí)由（1）可知min()()0FxFe? 0xxe?當(dāng)且時(shí)，()0,()()Fxfxgx?即,因此除0xe?外，再?zèng)]有其它0x，使00()()fxgx? 故存在1a?，使()()fxgx與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且在該公共點(diǎn)處有共同的切線，易求得公共點(diǎn)坐標(biāo)為

7、(,1)e，公切線方程為21yxe? 3解：（1）()fx的導(dǎo)數(shù)()eexxfx?，由于ee2ee2x-xxx?g，故()2fx?， 當(dāng)且僅當(dāng)0x?時(shí)，等號(hào)成立；4分 （2）令()()gxfxax?，則()()eexxgxfxaa?， （）若2a?，當(dāng)0x?時(shí)，()ee20xxgxaa?， 故()gx在(0)?，上為增函數(shù)， 所以，0x?時(shí)，()(0)0gxg?，即()fxax?8分 （）若2a?，解方程()0gx? 得，122244,22xxaaaaee?， 所以214ln2aax? ，222422lnlnln0224aaxaa?（舍去）， 此時(shí)，若1(0)xx?，則()0gx?，故()gx

8、在該區(qū)間為減函數(shù)， 所以，1(0)xx?，時(shí)，()(0)0gxg?，即()fxax?，與題設(shè)()fxax?相矛盾。 綜上，滿足條件的a的取值范圍是?2?，。13分 4.解：（1 ）21(1)(1)()(1)axaxfxxx? ?2222(1)2(22)1.(1)(1)xaxxaxxxxx? ()fx的定義域是(0,)?，所以()0fx?在(0,)?上恒成立. 2(22)10(0,).xax?即在上恒成立 3分 21(0,),(22)10,22.111(),(0,).()22.1,1,()2.xxaxaxxgxxxgxxxxxxxxgxx?當(dāng)時(shí)由得設(shè)所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)有最小值 2222.aa?所以

9、所以a的取值范圍是(,2.? 6分 （2 ）,lnln2mnmnmn?要證不妨設(shè)mn?，（若mn?交換順序即可） 11,2lnmmnnmn?只需證 即證2(1)ln.1mmnmnn? 只需證2(1)ln0.1mmnmnn? 9分 2(1)()ln.1xhxxx?設(shè) 由（1）知()(1,)hx?在 上是單調(diào)增函數(shù)，又1mn?，11分 2(1)()(1)0.ln0.1mmmnhhmnnn?所以即成立 所以.lnln2mnmnmn? 13分 5.（本小題滿分13分） 解：（）對(duì)一切)()(),0(xgxfx?恒成立，即2ln2?xaxxx恒成立. 也就是?xxa lnx2在),0(?x恒成立.1分

10、令xxxxF2ln)(? ， 則F ?2222)1)(2(2211)(xxxxxxxxx?，2分 在)10(，上F?0)(?x，在上，)1(?上F?0)(?x，因此，)(xF在1?x處取極小值，也是最小值，即3)1()(min?FxF，所以3?a.4分 （）當(dāng)時(shí)，1?axxxxf?ln)( ， f?2ln)(?xx，由f?0)(?x 得21ex?. 6分 當(dāng)210em? 時(shí)，在上)1,2emx?上f?0)(?x ，在上3,1(2?mex上f?0)(?x 因此，)(xf 在21ex?處取得極小值，也是最小值 . 2min1)(exf? . 由于01)3)ln(3()3(,0)(?mmmfmf 因

11、此，1)3)ln(3()3()(max?mmmfxf 8分 當(dāng)時(shí)21em?，0)('?xf，因此3,)(?mmxf在上單調(diào)遞增，所以)1(ln)()(min?mmmfxf，1)3)ln(3()3()(max?mmmfxf 9分 （）證明：問題等價(jià)于證明),0(2ln?xeexxxxx,10分 由()知1?a時(shí)，xxxxf?ln)( 的最小值是21e? ，當(dāng)且僅當(dāng)21ex?時(shí)取得， 11分 設(shè)),0(2)(?xeexxGx，則G ?xexx?1)(，易知 eGxG1)1()(max?，當(dāng)且僅當(dāng)1x?時(shí)取到， 12分 但，ee112?從而可知對(duì)一切(0,)x? ，都有exexx211ln?成立. 13分 6（1）證明：設(shè)()singxxx? ，則()1cos0,(0,)2gxxx? 所以，()gx 在(0,)2?上是增函數(shù)，()(0)0gxg?，即sinxx? ，(0,)2x? （2 ）解：12k?Q，21k?，()sin2sin0fxxkxxx? ()fx? 在(0,)2?上是增函數(shù) （3）由（2）可知，12k?時(shí)，()fx 在(0,)2?上是增函數(shù)， 21()cos1(0)02fxxxf? ，即21()cos1(0,)22fxxxx? 令1(1,)xkkNk?，可得 22222211212(1)(1)(1)cos1