1、 線性代數 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第一章 行列式 § 1.1二階、三階行列式 § 1.2 n階行列式教學目的要求： 使學生掌握二、三階行列式的定義及計算方法；理解逆序數的定義及計算方法教學重點、難點： 二、三階行列式的定義及計算方法；逆序數的計算方法教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節內容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發思維等） 導入（10分鐘）本章主要內容和知識點 新授課內容（75分鐘）二、三階行列式的定義一、二階行列式的定義 從二元方程組的解的公式,引出二階行列式的概念。設二元線

2、性方程組 用消元法,當 時,解得 令 ,稱為二階行列式 ,則 如果將D中第一列的元素, 換成常數項, ,則可得到另一個行列式,用字母表示,于是有按二階行列式的定義,它等于兩項的代數和：,這就是公式（2）中的表達式的分子。同理將中第二列的元素a 12,a 22 換成常數項b1,b2 ,可得到另一個行列式,用字母表示,于是有 按二階行列式的定義,它等于兩項的代數和：,這就是公式（2）中的表達式的分子。于是二元方程組的解的公式又可寫為 其中例1. 解線性方程組 同樣,在解三元一次方程組時,要用到“三階行列式”,這里可采用如下的定義.二、三階行列式的定義 設三元線性方程組用消元法解得 定義 設有9個數

3、排成3行3列的數表 記 ,稱為三階行列式,則 三階行列式所表示的6項的代數和,也用對角線法則來記憶：從左上角到右下角三個元素相乘取正號,從右上角到左下角三個元素取負號,即例2. 計算三階行列式 .(-14)例3. 解線性方程組 解 先計算系數行列式 再計算 ,得 , 全排列及其逆序數引例：用1、2、3三個數字,可以組成多少個沒有重復的三位數？一、全排列 把n個不同的元素排成一列,叫做這個元素的全排列（簡稱排列）.可將個不同元素按進行編號,則個不同元素的全排列可看成這個自然數的全排列.個不同元素的全排列共有種. 二、逆序及逆序數 逆序的定義：取一個排列為標準排列,其它排列中某兩個元素的次序與標準

4、排列中這兩個元素的次序相反時,則稱有一個逆序.通常取從小到大的排列為標準排列,即的全排列中取為標準排列. 逆序數的定義：一個排列中所有逆序數的總數稱為這個排列的逆序數. 逆序數為偶數的排列稱為偶排列,逆序數為奇數的排列稱為奇排列,標準排列規定為偶排列. 例1: 討論的全排列. 全排列123231312132213321逆序數022113奇偶性偶奇逆序數的計算：設為的一個全排列,則其逆序數為 .其中為排在 前,且比大的數的個數. 定理1 任意一個排列經過一個對換后奇偶性改變。定理2 n個數碼（n>1）共有n！個n級排列，其中奇偶排列各占一半?？偨Y（5分鐘）討論、思考題、作業：教學總結： 線

5、性代數 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第一章 行列式 § 1.2 階行列式的定義(續)教學目的要求： 掌握階行列式的定義教學重點、難點： 階行列式的定義，特殊行列式的計算公式教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節內容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發思維等） 復習（5分鐘） 新授課內容（80分鐘）回顧二階,三階行列式的共同特點. 二階行列式 .其中： 是 的全排列,是的逆序數,是對所有的全排列求和. 三階行列式 其中:是的全排列,是的逆序數,是對所有的全排列求和. 其中: 是的全排列,是的逆序數, 是對所

6、有的全排列求和. 板書給出階行列式語言定義和計算定義： 舉例進行練習階行列式的等價定義為： 階行列式的等價定義為： 特殊公式1： , 特殊公式2：下三角行列式.總結（5分鐘）討論、思考題、作業：教學總結： 線性代數 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目：第一章 行列式 § 1.3 行列式的性質教學目的要求： 掌握階行列式的性質，會利用階行列式的性質計算階行列式的值；教學重點、難點： 行列式的性質教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節內容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發思維等） 復習（5分鐘） 新授課內容（80分鐘

7、）轉置行列式的定義 記 = ()行列式稱為行列式的轉置行列式（依次將行換成列）一、階行列式的性質性質 1：  行列式與它的轉置行列式相等.由此知，行與列具有同等地位.關于行的性質，對列也同樣成立，反之亦然.如: 以r表示第i行，表示第j列.交換兩行記為,交換i,j兩列記作.性質 2： 行列式互換兩行（列），行列式變號.   推論：  行列式有兩行（列）相同，則此行列式為零. 性質 3： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以數 ,等于用數乘以該行列式.   推論1：  行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以

8、提到行列式符號外. 推論2：  行列式中有兩行（列）的元素對應成比例，則此行列式為零. 性質 4：  若行列式中某一行（列）的元素都是兩數之和，則此行列式等于兩個行列式之和. 即若 則 +.性質 5：  把行列式某一行（列）的元素乘以數再加到另一行（列）上，則該行列式不變. 二、階行列式的計算：例1. 計算.解： .例2. . (推廣至階，總結一般方法)例3. 證明：.證明： 左端.例4. 計算階行列式.(利用遞推法計算)例5. ， 則 .總結（5分鐘）討論、思考題、作業：教學總結： 線性代數 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課

9、其它題目： 第一章 行列式 § 1.4 行列式按行（列）展開教學目的要求： 了解余子式和代數余子式的概念；掌握行列式按行（列）展開；教學重點、難點： 行列式按行（列）展開教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節內容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發思維等） 復習（5分鐘） 新授課內容（80分鐘）定義 在階行列式中，把元素所處的第行、第列劃去，剩下的元素按原排列構成的階行列式，稱為的余子式，記為；而稱為的代數余子式. 引理 如果階行列式中的第行除外其余元素均為零，即： .則：. 定理  行列式等于它的任意一行（列）的各元素與對應的代數余子式乘積之和，

10、即 按行： 按列： 舉例講解并練習范德蒙行列式.其中，記號“”表示全體同類因子的乘積.定理的推論  行列式一行（列）的各元素與另一行（列）對應各元素的代數余子式乘積之和為零，即 按列： 結合定理及推論，得 ，其中總結（5分鐘）討論、思考題、作業：教學總結： 線性代數 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第一章 行列式 § 1.5 克萊姆法則教學目的要求： 了解克拉默法則的內容,了解克拉默法則的證明,會利用克拉默法則求解含有個未知數個方程的線性方程組的解；教學重點、難點： 克拉默法則的應用教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書

11、教學過程：（含復習上節內容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發思維等） 復習（5分鐘） 新授課內容（80分鐘）研究對象：含有個未知數的個方程的線性方程組 （1）與二、三元線性方程組相類似,它的解可以用階行列式表示.定理1（Cramer法則）如果線性方程組(1)的系數行列式不等于零 ,即 ,則方程組(1)有且僅有一組解： , , , (2)其中是把系數行列式中的第列的元素用方程組右端的常數列代替 ,而其余列不變所得到的階行列式.當全為零時,即 稱之為齊次線性方程組.顯然,齊次線性方程組必定有解(）.根據克拉默法則,有 1齊次線性方程組的

12、系數行列式時 ,則它只有零解（沒有非零解） 2反之,齊次線性方程組有非零解 ,則它的系數行列式. 例1求解線性方程組解:系數行列式同樣可以計算  ,  , , 所以 , , ,.注意： 1. 克萊姆法則的條件：個未知數 ,個方程 ,且2. 用克萊姆法則求解方程組運算量大一般不采用它求解方程組。3. 克萊姆法則具有重要的理論意義。4. 克萊姆法則說明線性方程組的解與它的系數、常數項之間的依存關系.例2. 用克拉默法則解方程組例3. 已知齊次線性方程組有非零解 ,問應取何值？解 系數行列式由：

13、60;,得總結（5分鐘）討論、思考題、作業：教學總結： 線性代數 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第二章 矩陣 § 2.1 矩陣的概念 § 2.2 矩陣的運算 § 2.3 階矩陣（方陣），方陣的行列式教學目的要求： 了解矩陣的概念；掌握矩陣的運算教學重點、難點： 矩陣的概念和矩陣的運算教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節內容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發思維等） 導入（10分鐘）本章主要內容和知識點 新授課內容（75分鐘）一、矩陣的定義   稱行、列的數表 為矩

14、陣，或簡稱為矩陣；表示為或簡記為,或或；其中表示中第行，第列的元素。  其中行列式為按行列式的運算規則所得到的一個數；而矩陣是 個數的整體,不對這些數作運算。 例如，公司的統計報表,學生成績登記表等,都可寫出相應的矩陣。設，都是 矩陣，當            則稱矩陣與相等,記成。二、特殊形式 階方陣： 矩陣 行矩陣 ：矩陣（以后又可叫做行向量），記為列矩陣 ：矩陣（以后又可叫做列向量），記為 零矩陣 ：所有元素為的矩陣,記為 矩陣的運算一、加法 設，,都是矩陣,則加法定義為 顯然, ， 二、

15、數乘   設是數,是矩陣,則數乘定義為   顯然 ， ， 三、乘法        設 ，,則乘法定義為 其中 注：兩個矩陣相乘要求前一個矩陣的列數等于后一個矩陣的行數；乘積矩陣的行數為前一個矩陣的行數,列數為后一個矩陣的列數；乘積矩陣的第行，第列元素為前一個矩陣的第行元素與后一個矩陣的第行元素對應相乘再相加。 例：設 , ，則 例:設，求及。解： ，由此發現：（1），（不滿足交換律） （2），但卻有。一個必須注意的問題 ： 1若，, ,則 成立,當 時, 不成立； 2即使，,則 是階方陣,而是階方陣；3.

16、 如果 , 都是階方陣,例如，則 ，而 綜上所述,一般 （即矩陣乘法不滿足交換率）。 下列性質顯然成立： ，,幾個運算結果： 1 . ；2. ；3 .若為矩陣,是階單位陣,則;若是階單位陣,則；4線性方程組的矩陣表示： ,則 矩陣的冪:.四、轉置 設 ，記則稱是的轉置矩陣。 顯然， ， ， ， 。 五、方陣的行列式 為階方陣，其元素構成的階行列式稱為方陣的行列式,記為或。 結論 ， ， ?？偨Y（5分鐘）討論、思考題、作業：教學總結： 線性代數 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目：第二章 矩陣 § 2.4 幾種特殊的矩陣教學目的要求： 掌握幾

17、個階特殊矩陣的定義和性質教學重點、難點： 三角形矩陣和對稱矩陣的相關定義和結論教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節內容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發思維等） 復習（5分鐘） 新授課內容（80分鐘）對角陣 ：對角線元素為,其余元素為的方陣，記為 結論：同階對角陣的和、數乘、乘積仍是同階對角矩陣數量矩陣：結論：同階數量陣的和、數乘、乘積仍是同階數量矩陣單位陣 ：對角線元素為1，其余元素為0的方陣，記為 三角形矩陣：上三角形矩陣下三角形矩陣同階同型三角陣的和、數乘、乘積仍是同階同型三角矩陣對稱矩陣:若矩陣滿足（即）,則稱是對稱陣 結論：設是矩陣,則是階對稱陣,是階對

18、稱陣.結論：數乘對稱矩陣及同階對稱矩陣之和仍為對稱矩陣，但是對稱矩陣的乘積未必對稱。兩個同階對稱矩陣，當且僅當二者可交換時，乘積才是對稱矩陣?？偨Y（5分鐘）討論、思考題、作業：教學總結： 線性代數 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目：第二章 矩陣 § 2.5分塊矩陣教學目的要求： 掌握矩陣分塊的運算和相關性質教學重點、難點： 矩陣分塊的運算教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節內容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發思維等） 復習（5分鐘） 新授課內容（80分鐘）引例：設 可按以下方式分塊，每塊均為小矩陣： ， ，

19、, 則。矩陣分塊法是用若干條橫線和若干條豎線將矩陣分割成幾個小矩陣。矩陣分塊法的運算及運算性質： 1加法： 設， 則.2數乘： 設 ，是數，則 . 3乘法： 設 ，則 其中， 4轉置： 設，則5對角分塊的性質：     設 ，其中均為方陣，則 。幾個矩陣分塊的應用：1矩陣按行分塊： 設，記 , 則 矩陣按列分塊： 記 則 。 2線性方程組的表示： 設 若記 ， 則線性方程組可表示為 ?？偨Y（5分鐘）討論、思考題、作業：教學總結： 線性代數 教 案編 號： 課時安排： 2學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第二章 矩陣 § 2.6 逆矩陣教學

20、目的要求： 掌握逆矩陣、伴隨矩陣的定義和性質；能夠利用公式計算逆矩陣教學重點、難點： 逆矩陣概念和計算教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節內容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發思維等） 復習（5分鐘） 新授課內容（80分鐘）一、逆矩陣定義 設為階方陣,若存在一個階方陣，使得,則稱方陣可逆,并稱方陣為的逆矩陣,記作， 若,則性質1 若存在,則必唯一.性質2 若可逆，則也可逆，且性質3 若可逆,則可逆,且性質4 若同階方陣、都可逆，則也可逆，且 二、逆陣存在的條件及逆陣的求法定義. 由的行列式中元素的代數余子式構成的階方陣,記作,即 稱為的伴隨矩陣.定理 方陣可逆 且

21、 推論 設為階方陣,若存在階方陣,使得，(或)，則。 注：求時，只需要驗算，計算量減半。 例. 判斷下列方陣,是否可逆? 若可逆，求其逆陣。解：，所以不可逆，可逆，并且三、用逆矩陣法解線性方程組例：解線性方程組解：其矩陣式為 因 , 所以 所以其解為 四、分塊矩陣的逆矩陣 結論：若 可逆，則結論： 設，為可逆方陣,則。 總結（5分鐘）討論、思考題、作業：教學總結：線性代數 教 案 編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第二章 矩陣 § 2.7 矩陣的初等變換教學目的要求： 了解矩陣的三種初等變換，熟悉初等矩陣的定義，掌握矩陣初等變換與對應初等矩陣

22、運算上的關系，能夠將給定的矩陣利用初等變換化簡成階梯形，標準形；掌握利用初等變換求逆矩陣的方法教學重點、難點： 矩陣的初等變換，利用初等變換求逆矩陣教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書在本章的§2.6節中給出了矩陣可逆的充分必要條件，并同時給出了求逆矩陣的一種方法伴隨矩陣法但是利用伴隨矩陣法求逆矩陣，當矩陣的階數較高時計算量是很大的這一節將介紹求逆矩陣的另一種方法初等變換法為此我們先介紹初等矩陣的概念，并建立矩陣的初等變換與矩陣乘法的聯系一、初等變換1) 交換矩陣的某兩行的位置；2) 用一個非零的數去乘矩陣的某一行；3) 用一個數乘某一行后加到另一行上這三種變換稱為矩陣的初等行

23、變換類似地，有1 交換矩陣的某兩列的位置；2) 用一個非零的數去乘矩陣的某一列；3) 用一個數乘某一列后加到另一列上1) ，2) ，3)稱為矩陣的初等列變換矩陣的初等行變換和矩陣的初等列變換統稱為矩陣的初等變換定義1 由單位矩陣I經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣顯然，初等矩陣都是方陣，并且每個初等變換都有一個與之相應的初等矩陣互換矩陣I的第i行(列)與第j行(列)的位置，得I(i，j)= 用非零數c乘I的第i行(列)，得I(i(c)=(3)將I的第j行的k倍加到第i行上，得I(i，j(k)=該矩陣也是I的第i列的k倍加到第j列所得的初等矩陣顯然，上述三種初等矩陣就是全部的初等矩陣初等矩陣

24、具有下列性質：初等矩陣都是可逆的這是因為|I(i，j)|=10|I(i(c)|=c0|I(i ， j(k)|=10初等矩陣的逆矩陣仍是同類型的初等矩陣，且有I(i，j)1=I(i，j)I(i(c)1=I(i()I(i，j(k) 1=I(i，j(k)引入初等矩陣后，使得矩陣的初等變換可用初等矩陣與該矩陣的乘積來實現定理1 對一個m×n矩陣A施行一次初等行變換就相當于對A左乘一個相應的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換就相當于對A右乘一個相應的n階初等矩陣這說明：把A的第j行的k倍加到第i行上就相當于在A的左邊乘上一個相應的初等矩陣I(i， j(k)其它兩種初等行變換可類似證明二、利用

25、初等變換求矩陣的逆利用矩陣的初等變換，可以把任一矩陣化為最簡單的形式定理2 任意一個m×n矩陣A經過一系列初等變換，總可以化成形如=的矩陣，D稱為矩陣A的等價標準形補充矩陣行階梯形的定義并講授如何利用初等行變換化簡矩陣為行階梯形根據定理1，對于一個矩陣A作初等行(列)變換就相當于用相應的初等矩陣去左(右)乘這個矩陣因此，矩陣與它的標準形 D有如下關系：D=PsP2P1AQ1Q2Qt (1)其中P1，P2，Ps和Q1，Q2，Qt是初等矩陣由于初等矩陣都是可逆的，所以(1)式又可寫成：A=P11P21 Ps1DQt1 Q21Q11 (2)推論 n階方陣A可逆的充分必要條件是A的標準形為單

26、位矩陣I定理3 n階方陣A可逆的充分必要條件是A可以表示成一些初等矩陣的乘積即 A=Q1Q2 Qm (3)這里Q1，Q2， Qm為初等矩陣推論 若n階方陣A可逆，則總可以經過一系列初等行變換將A化成單位矩陣以上的討論提供了一個求逆矩陣的方法，設A為一個n階可逆矩陣，由上述推論，存在一系列初等矩陣P1，P2，Pm，使得PmP2P1A=I (5)由(5)式右乘A1得 A1=PmP2P1I (6)(5)(6)兩個式子說明，如果用一系列初等行變換將可逆矩陣A化成單位矩陣，那么同樣地用這一系列初等行變換就可將單位矩陣I化成A1于是得到了一個求逆矩陣的方法：作n×2n矩陣(AI)，對此矩陣作初等

27、行變換，使左邊子塊A化為I，同時右邊子塊I就化成了A1簡示為：(AI) (IA1)總結（5分鐘）討論、思考題、作業：教學總結： 線性代數 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第二章 矩陣 § 2.8矩陣的秩教學目的要求： 掌握矩陣秩的定義,會求矩陣的秩.教學重點、難點： 求矩陣的秩教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節內容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發思維等） 復習（5分鐘） 新授課內容（80分鐘）定義1.在矩陣中任取行列,位于這些行列交叉處的個元素,不改變它們在中所處的位置次序而得到的階行列式,稱為矩陣的

28、階子式.矩陣A的k階子式共個.定義2 如果在矩陣中有一個不等于零的階子式 ，且所有的階子式都等于, 則稱 D為的一個最高階非零子式.數 稱為矩陣的秩，矩陣的秩記成. 零矩陣的秩規定為0 . 注解: 1.規定零矩陣的秩規定為0. 2.若稱為滿秩矩陣. 3.若稱為降秩矩陣. 4. 問題：經過初等變換矩陣的秩變嗎？ 定理 若則.初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數就是矩陣的秩.矩陣的秩的性質(1).(2).;(3).若則(4).若可逆,則.(5).(6).(7).(8).若則求秩方法：用初等變換把矩陣化成行階梯形矩陣，矩陣的秩 = 此行階梯形矩陣的

29、秩（據定理1 ）行階梯形矩陣的秩 = 其非零行的行數（定義2）滿秩陣總結（5分鐘）討論、思考題、作業：教學總結： 線性代數 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第三章 線性方程組 § 3.1線性方程組的消元解法教學目的要求： 掌握線性方程組消元與增廣矩陣初等行變換化簡階梯形的關系，掌握一般線性方程組解的判別定理；教學重點、難點： 利用初等變換求線性方程組的解教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節內容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發思維等） 導入（10分鐘）本章主要內容和知識點 新授課內容（75分鐘）消元法解二

30、元、三元線性方程組時曾用過加減消元法，實際上這個方法比用行列式求解更具有普遍性，是解一般n元線性方程組的最有效的方法通過例子介紹如何用消元法解一般的線性方程組 消元方法具有一般性，即無論方程組只有一個解或有無窮個解還是沒有解，都可用消元法將其化為一個階梯形方程組，從而判斷出它是否有解分析一下消元法，不難看出，它實際上是反復地對方程組進行變換，而所作的變換，也只是由以下三種基本的變換所構成：1.交換方程組中某兩個方程的位置；2.用一個非零數乘某一個方程；3.用一個數乘某一個方程后加到另一個方程上這三種變換稱為線性方程組的初等變換用消元法解線性方程組的過程就是對線性方程組反復地實行初等變換的過程考

31、慮線性方程組(I)方程組(I)的全部解稱為(I)的解集合如果兩個方程組有相同的解集合，就稱它們是同解的或等價的方程組下面來說明，如何利用初等變換來解一般的線性方程組對于方程組(I)，首先檢查x1的系數如果x1的系數a11， a21， ， am1全為零，那么方程組(I)對x1沒有任何限制，x1就可以任意取值，而方程組(I)可看作x2， ， xn的方程組來解如果x1的系數不全為零，不妨設a110不等于零，否則可利用初等變換1，交換第一個方程與另一個方程的位置，使得第一個方程中x1的系數不為零然后利用初等變換3，分別把第一個方程的倍加到第i個(i=2，3， m)方程，于是方程組(I)變成 ()其中

32、顯然方程組()與()是同解的對方程組()再按上面的考慮進行變換，并且這樣一步一步做下去，必要時改變未知量的次序，最后就得到一個階梯形方程組為了討論方便，不妨設所得到的階梯形方程組為()其中cii0， i=1，2，r方程組()中“0 = 0”是一些恒等式，可以去掉，并不影響方程組的解我們知道，(I)與()是同解的，根據上面的分析，方程組()是否有解就取決于第r+1個方程0 = dr+1是否矛盾，于是方程組(I)有解的充分必要條件為dr+1= 0在方程組有解時，分兩種情形：1) 當r=n時，階梯形方程組為()其中cii0， i=1，2， n由克萊姆法則()有唯一解，從而(I)有唯一解()其中cii

33、0， i=1，2，r方程組()中“0 = 0”是一些恒等式，可以去掉，并不影響方程組的解2) 當 r<n時，這時階梯形方程組為其中 cii0， i=1，2， r， 寫成如下形式()由克萊姆法則，當xr+1，xn任意取定一組值，就唯一確定出x1，xr值，也就是定出方程組()的一個解，一般地，由()可以把x1，x2，xr的值由xr+1，xn表示出來這樣表示出來的解稱為方程組(I)的一般解，因xr+1，xn可以任意取值，故稱它們為自由未知量顯然，()有無窮多個解，即(I)有無窮多個解定理：非齊次線性方程組， 方程組無解充分必要條件是) 方程組有唯一解的充分必要條件是) 方程組有無窮多組解的充分

34、必要條件是),且在任 一解中含有個任意常數 . 用消元法解線性方程組的過程，歸納起來就是，首先用初等變換把方程組化為階梯形方程組，若最后出現一些等式“0 = 0”，則將其去掉如果剩下的方程當中最后一個方程是零等于一個非零的數，那么方程組無解，否則有解方程組有解時，如果階梯形方程組中方程的個數等于未知量的個數，則方程組有唯一解；如果階梯形方程組中方程個數小于未知量的個數，則方程組有無窮多個解當線性方程組(1)中的常數項b1= b2= bm= 0時，即()稱為齊次線性方程組顯然，齊次線性方程組是一定有解的因為x1= x2= xn=0就是它的一個解這個解稱為齊次方程組的零解我們所關心的是它除了零解之

35、外，還有沒有非零解？把上述對非齊次線性方程組討論的結果應用到齊次線性方程組，就有如下定理定理 在齊次線性方程組()中，如果m<n，則它必有非零解總結（5分鐘）討論、思考題、作業：教學總結： 線性代數 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目：第三章 線性方程組 § 3.2 向量與向量組的線性組合教學目的要求： 了解n維向量的基本概念，理解線性組合、線性表示、向量組等價的定義；教學重點、難點： 線性表示和向量組等價的定義、定理教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節內容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發思維等） 復習

36、（5分鐘） 新授課內容（80分鐘）一、維向量 定義1 個有次序的數所組成的數組稱為維向量, 這個數稱為該向量的個分量, 第個數稱為第個分量. 維向量可寫成一行, 也可寫成一列. 按第二章中的規定, 分別稱為行向量和列向量, 也就是行矩陣和列矩陣, 并規定行向量與列向量都按矩陣的運算規則進行運算. 因此維列向量與維行向量總看作是兩個不同的向量本書中, 列向量用黑體小寫字母等表示, 行向量則用等表示. 所討論的向量在沒有指明是行向量還是列向量時, 都當作列向量. 向量的運算類似于矩陣的運算，也有類似的運算性質 二、向量組的概念若干個同維數的列向量(或同維數的行向量)所組成的集合叫做向量組. 矩陣與

37、向量組的對應: 一個矩陣的全體列向量是一個含個m維列向量的向量組, 它的全體行向量是一個含m個維行向量的向量組. . 個維列向量所組成的向量組構成一個矩陣 ; 個維行向量所組成的向量組構成一個矩陣. 又如線性方程的全體解當時是一個含無限多個維列向量的向量組. 三、向量組的線性組合與線性表示定義2 給定向量組對于任何一組實數表達式 稱為向量組的一個線性組合, 稱為這線性組合的系數. 給定向量組和向量，如果存在一組數 使則向量是向量組的線性組合, 這時稱向量能由向量組線性表示. 向量能由向量組線性表示，也就是方程組 有解. 定理1 向量能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩, 即.

38、 四、向量組的等價性定義3 設有兩個向量組及 , 若B組中的每個向量都能由向量組線性表示, 則稱向量組能由向量組線性表示. 若向量組與向量組能相互表示, 則稱這兩個向量組等價. 總結（5分鐘）討論、思考題、作業：教學總結： 線性代數 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第三章 線性方程組 § 3.3 向量組的線性相關性教學目的要求： 了 理解向量組的線性相關與線性無關的定義及對應的判定定理教學重點、難點： 判斷給定向量組的線性相關性。教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節內容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發思

39、維等） 復習（5分鐘） 新授課內容（80分鐘）定義1 對于向量組a1，a2，am，如果存在一組不全為零的數k1，k2，km，使得k1a1+ k2a2+ kmam=0 (2)則稱向量組a1，a2，am是線性相關的定義2 一個向量組如果不是線性相關就稱為線性無關也就是當且僅當k1=k2=km=0時，才有k1a1+ k2a2+ kmam=0成立，則稱a1，a2，am線性無關換句話說，向量組a1，a2，am線性無關是指對任意一組不全為零的數k1，k2，km 都有 k1a1+ k2a2+ kmam0說向量組線性相關, 通常是指的情形, 但定義也適用于的情形. 當時, 向量組只含一個向量, 對于只含一個向

40、量的向量組, 當時是線性相關的, 當時是線性無關的. 對于含個向量的向量組, 它線性相關的充分必要條件是的分量對應成比例, 其幾何意義是兩個向量共線. 個向量線性相關的幾何意義是三向量共面. 結論：(1) 一個零向量必線性相關，而一個非零向量必線性無關；(2) 含有零向量的任意一個向量組必線性相關；(3) n維基本單位向量組e1， e2， en線性無關定理1 m個n維向量組 a1=，a2=，am=線性相關的充分必要條件是齊次線性方程組(3)有非零解推論1 向量組a1，a2，am線性無關的充分必要條件是齊次線性方程組(3)只有零解推論2 當m=n時，即n個n維向量a1=，a2=，an=線性無關的

41、充分條件是行列式D=0推論3 m>n時，任意m個n維向量都線性相關即 當向量組中所含向量個數大于向量的維數時，此向量組線性相關定理2 向量組a1，a2，am(m2)線性相關的充分必要條件是其中至少有一個向量可由其余m1個向量線性表出推論 向量組a1，a2，am(m2)線性無關的充分必要條件是其中每一個向量都不能由其余m1個向量線性表出定理3 若向量組a1，a2，am線性無關，而向量組，a1，a2，am線性相關，則可由a1，a2，am線性表出，且表達式唯一 定理4 若向量組中有一部分向量組(稱為部分組)線性相關，則整個向量組線性相關例如，含有兩個成比例的向量的向量組是線性相關的因為兩個成比

42、例的向量是線性相關的，由定理5知該向量組線性相關推論 若向量組線性無關，則它的任意一個部分組線性無關如，n維單位向量組1，2，n線性無關，因此它的任意一個部分組線性無關定理5 如果n維向量組a1，a2，as線性無關，則在每個向量上都添加m個分量，所得到的n+m維向量組a1*，a2*，as*也線性無關 推論 如果n維向量組a1，a2，as線性相關，則在每一個向量上都去掉m(m<n)個分量，所得的nm維向量組a1*，a2*，as*也線性相關定理6 設有兩個向量組（A）及 （B）向量組（B）可由向量組（A）線性表示，如果，則向量組（B）線性相關推論向量組（A）與向量組（B）等價，如果向量組（A

43、）（B）都是線性無關的，則 總結（5分鐘）討論、思考題、作業：教學總結： 線性代數 教 案編 號： 課時安排： 2學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第三章 線性方程組 § 3.4 向量組的秩教學目的要求： 掌握極大無關組與向量組的秩的概念，能求給定向量組的極大無關組及秩教學重點、難點： 向量組的極大無關組及秩教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節內容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發思維等） 復習（5分鐘） 新授課內容（80分鐘）一、向量組的極大無關組定義1 設有向量組a1，a2，am，如果它的一個部分組ai1，ai2，air，滿足：(1)

44、ai1，ai2，air線性無關；(2)向量組a1，a2，am中的任意一個向量都可由部分組ai1，ai2，air線性表出則稱部分組ai1，ai2，air是向量組a1，a2，am的一個極大線性無關組，簡稱為極大無關組從定義可看出，一個線性無關的向量組的極大無關組就是這個向量組本身顯然，僅有零向量組成的向量組沒有極大無關組為了更深入地討論向量組的極大無關組的性質，我們先來討論兩個向量組之間的關系極大線性無關組有下列性質：性質1 向量組a1，a2，am與它的極大無關組ai1，ai2，air等價推論 向量組的任意兩個極大無關組等價性質2 向量組的任意兩個極大無關組所含向量的個數相同定理1 矩陣的秩等于它

45、的列向量組的秩,也等于它的行量組的秩.定理2 對一個矩陣進行初等行變換，不改變對應列向量組之間的線性關系。二、向量組的秩由于一個向量組的所有極大無關組含有相同個數的向量，這說明極大無關組所含向量的個數反映了向量組本身的性質因此，我們引進如下概念：定義2 向量組的極大無關組所含向量的個數，稱為該向量組的秩，記作r(a1，a2，am)規定零向量組成的向量組的秩為零n維基本單位向量組e1， e2， en是線性無關的，它的極大無關組就是它本身，因此，r(e1， e2， en)=n定理3 向量組線性無關的充分必要條件是：它的秩等于它所含向量的個數定理4 相互等價的向量組的秩相等定理4的逆定理并不成立即兩

46、個向量組的秩相等時，它們未必是等價的例如向量組a1=(1，0，0，0)，a2=(0，1，0，0)與向量組b1=(0，0，1，0)，b2=(0，0，0，1)有r(a1，a2)=r(b1， b2)=2，而這兩個向量組顯然不是等價的定理5 如果兩個向量組的秩相等且其中一個向量組可由另一個線性表出，則這兩個向量組等價 總結（5分鐘）討論、思考題、作業：教學總結： 線性代數 教 案編 號： 課時安排： 2學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第三章 線性方程組 § 3.5 線性方程組解的結構教學目的要求： 掌握齊次線性方程組解的性質和基礎解系的概念；會求齊次線性方程組的基礎解系和通

47、解；教學重點、難點： 求解齊次線性方程組的基礎解系及通解；教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節內容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發思維等） 復習（5分鐘） 新授課內容（80分鐘）一、齊次方程組的解的性質：設有元齊次線性方程組 若是 的解，記稱為方程組 的解向量.性質 1 若為（1）的兩個解（向量），則也是（1）的解. 性質 2 若為（1）的解（向量），為任意實數，則也是（1）的解. 如果的全體解向量所組成的集合稱為齊次方程組 的通解. 定義：具體說，如果是的一組解向量，且滿足1 向量組線性無關；2 齊次方程組的每個解都可由線性表示；那么稱為齊次方程組的一個基礎解

48、系. 如果是齊次方程組的一個基礎解系，那么的所有解都可表為 其中為任意實數,稱上式為齊次方程組的通解.定理 1 元齊次線性方程組 的基礎解系含個解，其中.證明 設，用初等行變換化系數矩陣為行最簡形矩陣,不妨令為 于是得到與同解的方程組：對自由未知量分別取值 代入的右端依次可得： 于是得到的個解: 下面證明解向量組是的一個基礎解系，從而它們也是的一個基礎解系.首先，線性無關.其次證明的任意解都可由線性表示.設是的一個解.根據齊次方程組解的性質可知，向量也是的一個解，由于與的后面的個分量對應相等，因此即可由線性表示. 這就證明了,是方程組（3），從而也是齊次方程組（1）的一個基礎解系， 所以， 的

49、基礎解系含個解.例 1. 求下列齊次線性方程組的基礎解系與通解.解: 對系數矩陣作初等行變換,將其變為行最簡形矩陣,得于是得同解方程組令 可得即得基礎解系：并得方程組的通解 總結（5分鐘）討論、思考題、作業：教學總結： 線性代數 教 案編 號： 課時安排： 2學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第三章 線性方程組 § 3.5 線性方程組解的結構（續）教學目的要求：掌握非齊次線性方程組解的結構并會求解非齊次線性方程組；教學重點、難點： 求解非齊次線性方程組的通解；教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節內容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發思維等） 復習（5分鐘） 新授課