1、中學數學競賽輔導資料二元一次方程組解的爭論甲內容提要1 二元一次方程組a1 x a2 xb1 y b2 yc1的解的情形有以下三種：c2a1b1當a2b2當 a1b1a2b2c1時，方程組有很多多解；（兩個方程等效）c2c1時，方程組無解； （兩個方程是沖突的）c2當 a1b1a2b2x c1b2 a1b2（即 a1b2 a2b1 0）時，方程組有唯獨的解：c2 b1 a2b1y c2 a1 a1 b2c1a2a2b1（這個解可用加減消元法求得）2 方程的個數少于未知數的個數時，一般是不定解，即有很多多解，如要求整數解，可按二元一次方程整數解的求法進行；3 求方程組中的待定系數的取值，一般是求

2、出方程組的解（把待定系數當己知數），再解含待定系數的不等式或加以爭論；（見例 2、3）乙例題例 1.挑選一組a,c 值使方程組5xy7ax2 yc有很多多解，無解，有唯獨的解解：當5 a=12=7 c 時，方程組有很多多解解比例得a=10,c=14；當5 a1 2 7c 時，方程組無解；解得 a=10,c 14；當5 a 1 2 時，方程組有唯獨的解，即當 a 10 時， c 不論取什么值，原方程組都有唯獨的解；例 2.a 取什么值時，方程組xya5x3y31的解是正數？解：把 a 作為已知數，解這個方程組x313a得2y5a312313a2x00y05a3102解不等式組得31a3a3151

3、解集是 6 1a5110 13答：當 a 的取值為65a 103時，原方程組的解是正數；例 3.m 取何整數值時，方程組2xmyx4 y4的解 x 和 y 都是整數？18x1解：把 m 作為已知數，解方程組得m8 y2m8x 是整數， m 8 取 8 的約數± 1，± 2，± 4，± 8；y 是整數， m 8 取 2 的約數± 1，± 2；取它們的公共部分，m 8± 1，± 2； 解得m=9 ， 7， 10， 6；經檢驗 m=9 ，7， 10，6 時，方程組的解都是整數；例 4（古代問題）用100 枚銅板買桃，李，

4、欖橄共100 粒，己知桃，李每粒分別是3， 4 枚銅板，而欖橄7 粒 1 枚銅板；問桃，李，欖橄各買幾粒？解：設桃，李，欖橄分別買x,y,z 粒,依題意得xyz3x4y1001 z711002由（ 1）得 x= 100 y z3把（ 3）代入（ 2），整理得zy= 200+3z7設 zk7k 為整數 得 z=7k,y= 200+20k,x=300 27kx,y,z 都是正整數30020027k020k0 解得k1009k.10（ k 是整數）7k0k.0110 k< 11, k 是整數， k=119即 x=3 （桃） ,y=20 （李） ,z=77（欖橄）答略 丙練習 111 不解方程組

5、，判定以下方程組解的情形：x2 y33x6 y92xy34x2 y33x5y13x5 y12 a 取什么值時方程組x3 y9 x6 ya 2a19a 22a2 的解是正數？3 a 取哪些正整數值，方程組x2 y5a的解 x 和 y 都是正整數？3x4 y2a4 要使方程組xkyx2 yk的解都是整數，k 應取哪些整數值？15 （古代問題）今有雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買百雞，雞翁，雞母，雞雛都買，可各買多少？中學數學競賽輔導資料（12）用交集解題甲內容提要1 某種對象的全體組成一個集合 ；組成集合的各個對象叫這個集合的元素； 例如 6 的正約數集合記作 6 的正約數1

6、， 2， 3，6，它有4 個元素 1， 2， 3，6；除以3 余 1的正整數集合是個無限集，記作除以3 余 1 的正整數1，4， 7， 10，它的個元素有很多多個；2 由兩個集合的全部公共元素組成的一個集合，叫做這兩個集合的交集例如 6 的正約數集合a 1， 2， 3， 6，10 的正約數集合b 1， 2， 5， 10， 6 與10 的公約數集合c 1， 2，集合 c 是集合 a 和集合 b 的交集；3 幾個集合的交集可用圖形形象地表示，數右圖中左邊的橢圓表示正數集合，正 正 整右邊的橢圓表示整數集合，中間兩個橢圓數 整 數的公共部分，是它們的交集正整數集； 集 集 集不等式組的解集是不等式組

7、中各個不等式解集的交集；例如不等式組2x6x21 2解的集合就是不等式（ 1）的解集x>3 和不等式（ 2）的解集x2 的交集， x>3 .如數軸所示：0234一類問題，它的答案要同時符合幾個條件，一般可用交集來解答；把符合每個條件的全部的解（即解的集合）分別求出來，它們的公共部分（即交集）就是所求的答案；有時可以先求出其中的一個（一般是元素最多）的解集，再按其他條件逐一挑選、剔除，求得答案；（如例2）乙例題例 1. 一個自然數除以3 余 2，除以 5 余 3，除以7 余 2，求這個自然數的最小值； 解：除以3 余 2 的自然數集合a 2，5， 8，11， 14， 17， 20，

8、23， 26，除以 5 余 3 的自然數集b 3， 8， 13， 18， 23 ， 28，除以 7 余 2 自然數集合c 2， 9， 16， 23， 30，集合 a 、b、c 的公共元素的最小值23 就是所求的自然數；例2. 有兩個二位的質數，它們的差等于6，并且平方數的個位數字相同，求這兩個數；解：二位的質數共21 個，它們的個位數字只有1， 3， 7， 9，即符合條件的質數它們的個位數的集合是 1， 3，7， 9；其中差等于6 的有： 1 和 7； 3 和 9； 13 和 7，三組；平方數的個位數字相同的只有3 和 7； 1 和 9 二組；同時符合三個條件的個位數字是3 和 7 這一組故所

9、求質數是：23， 17 ；43 ， 37；53， 47；73， 67 共四組；例3. 數學愛好小組中訂閱a 種刊物的有28 人，訂閱b 種刊物的有21 人，其中6 人兩種都訂，只有一人兩種都沒有訂，問只訂a 種、只訂b 種的各幾人？數學愛好小組共有幾 人？解：如圖左、右兩橢圓分別表示訂閱a 種、 b 種刊物的人數集合，就兩圓重疊部分就是它們的交集（ a 、b 兩種都訂的人數集合） ；只訂 a 種刊物的人數是28 6 22 人；只訂 b 刊物的人數是21 6 15 人；小組總人數是22 15 6 144 人；a 28只ab 21a b只b22615設 n ，n （ a ），n （ b）， n（

10、ab ）， n分別表示總人數，訂a 種、 b 種、 ab 兩種、都不訂的人數，就得公式一 n n + n （ a ）+n （b） n （ ab ）；例4. 在 40 名同學中調查，會玩乒乓球的有24 人，籃球有18 人，排球有10 人，同時會玩乒乓球和籃球的有6 人，同時會玩乒乓球和排球的有4 人，三種球都會的只有1 人，問：有多少人只會打乒乓球同時會打籃球和排球只會打排球？解：仿公式一 ,得公式二 ：n n + n（ a） +n （ b） +nc n（ ab ） n（ ac ） nbc+nabc只會打乒乓球的是24 64 1 15（人）求 n （bc）可用公式二：40 2418 106 4

11、n（ bc ） 1n （ bc） 3，即同時會打籃球和排球的是3 人aab246b 18ac abc41c 10只會打排球的是10 3 1 6（人）例 5. 十進制中，六位數19xy87 能被 33 整除，求x 和 y 的值解： 0 x， y 9， 0 x+y 18， 9 x y 9， x+y>x y33 3×11，1 9 x+y+8 7 的和是 3 的倍數，故x+y=2,5,8,11,14,17 1+x+8 9+y+7 是 11 的倍數，故 x y= 4， 7xy8xy14xy11xy17xy4xy4xy7xy7x2x5x9x12y6y9y2y5x+y 和 x y 是同奇數或

12、同偶數，它們的交集是以下四個方程組的解：解得（ x=12 不合題意舍去）答：x=2,y=6 或 x=5,y=9 或 x=9,y=2丙練習 121 負數集合與分數集合的交集是2 等腰直角三角形集合是三角形集合與三角形集合的交集；3 12 的正約數集合a ，30 的正約數集合b12 和 30 的公約數集合c，集合 c 是集合 a 和集合 b 的4 解以下不等式組并把解集（不是空集）表示在數軸上：3x6x5x25x01 x132x2x20x205 某數除以3 余 1，除以 5 余 1，除以 7 余 2，求某數的最小值；6 九張紙各寫著1 到 9 中的一個自然數（不重復），甲拿的兩張數字和是10，乙拿

13、的兩張 數字差是1，丙拿的兩張數字積是24，丁拿的兩張數字商是3，問剩下的一張是多少？7 求符合如下三條件的兩位數：能被3 整除它的平方、立方的個位數都不變兩個數位上的數字積的個位數與原兩位數的個位數字相同；8 據 30 名同學統計， 會打籃球的有22 人，其中 5 人仍會打排球； 有 2 人兩種球都不會打；那么會打排球有幾人？只會打排球是幾人？9 100 名同學代表選舉同學會正付主席，對侯選人a 和 b 進行表決，贊成a 的 有 52 票，贊成 b 的有 60 票，其中a 、b 都贊成的有36 人，問對a 、b 都不贊成的有幾人？10. 數、理、化三科競賽，參與人數按單科統計，數學24 人，

14、物理 18 人，化學10 人；按兩科統計，參與數理、數化、理化分別是13、 4、5 人，沒有三科都參與的人；求參賽的總 人數，只參與數學科的人數；（此題假如改為有2 人三科都參與呢？）11. xy3xy5012. 十進制中，六位數1xy285能被 21 整除，求x,y 的值（仿例5）中學數學競賽輔導資料（13）用枚舉法解題甲內容提要有一類問題的解答，可依題意一一列舉，并從中找出規律；列舉解答要留意：按肯定的次序，有系統地進行；分類列舉時，要做到既不重復又不違漏；遇到較大數字或抽象的字母，可從較小數字入手，由列舉中找到規律；乙例題例 1如圖由西向東走，a從 a 處到 b 處有幾種走法？11n34

15、11bc4p13m11解：我們在交叉路上有次序地標上不同走法的數目，例如從 a 到 c 有三種走法，在c 處標上 3，從 a 到 m （ n ）有 3 1 4 種，從 a 到 p 有 34 4 11 種，這樣逐步累計到 b ，可得 11 11 13（種走法）例2寫出由字母x ， y， z 中的一個或幾個組成的非同類項（系數為1）的全部四次單項式；解法一：按x 4， x 3， x 2，x ，以及不含x 的項的次序列出（如左）解法二：按x y z x 的次序輪換寫出（如右）x 4 ，x 4 ， y 4 ，z 4x 3y，x 3z，x 3y ， y 3z ， z 3xx 2y2 ， x 2z 2，

16、x 2yz ，x 3z ， y 3x ，z3y xy 3，xz 3，xy 2z， xyz 2，x2y 2， y 2z 2 ， z2x 2 y 4，z 4y 3z ，y 2z 2 ，yz 3 ；x 2yz ，y 2zx ， z2xy解法三：仍可按3 個字母， 2 個字母， 1 個字母的次序輪換寫出略例3爭論不等式ax<b 的解集；解：把 a、b、c 都以正、負、零三種不同取值，組合成九種情形列表ax<0 的解集b正負零a正負零當 a>0 時，解集是x<b b,當 a<0 時，解集是x>,aa當 a=0,b>0 時，解集是全部學過的數， 當 a=0,b 0

17、 時，解集是空集即無解 例 4如圖把等邊三角形各邊4 等分，分別連結對應點，試運算圖中全部的三角形個數解：設原等邊三角形邊長為4 個單位，就最小的等邊三角形邊長是1 個單位，再按頂點在上和頂點在下兩種情形，逐一統計：邊長 1 單位，頂點在上的有：1+2+3+4=10邊長 1 單位，頂點在下的有：1+2+3=6邊長 2 單位，頂點在上的有：1+2+3=6邊長 2 單位，頂點在下的有：1邊長 3 單位，頂點在上的有：1+2=3邊長 4 單位，頂點在上的有：1合計共 27 個丙練習 131 己知 x， y 都是整數，且xy=6 ，那么適合等式解共個，它們是2 a+b=37,適合等式的非負整數解共 組

18、，它們是3 xyz=6, 寫出全部的正整數解有：4 如圖線段 af 上有 b ，c，d ，e 四點 ,試分別寫出以a ，b ，c， d，e 為一端且不重復的全部線段，并統計總條數；abcdef5. 寫出以 a,b,c 中的一個或幾個字母組成的非同類項（系數為1）的全部三次單項式；6. 除以 4 余 1 兩位數共有幾個？7. 從 1 到 10 這十個自然數中每次取兩個，其和要大于10，共有幾種不同取法？8. 把 邊長等于4 的正方形各邊4 等分，連結各對應點成16 個小正方形，試用枚舉法，運算共有幾個正方形？假如改為5 等分呢？ 10 等分呢？9. 右圖是街道的一部分，縱橫各有5 條路，假如從a

19、a 到 b 只能從北向南，從西向東，有幾種走法？10. 列表爭論不等式ax>b 的解集 .11. 一個正整數加上3 是 5 的倍數，減去3 是 6 的倍數，就這個正整數的最小值是b中學數學競賽輔導資料（14）體會歸納法甲內容提要1通常我們把“從特殊到一般”的推理方法、爭論問題的方法叫做歸納法；通過有限的幾個特例，觀看其一般規律，得出結論，它是一種不完全的歸納法，也叫做體會歸納法；例如由 12 1 ，（1 ） 3 1 ，（1 ） 4 1 ，歸納出 1 的奇次冪是1，而1 的偶次冪是 1 ；由兩位數從10 到 99 共 90 個（9 × 10 ），三位數從100 到 999 共 9

20、00 個（ 9× 102），四位數有 9× 103 9000 個（ 9× 103），歸納出 n 位數共有9× 10n-1 個由 1+3=22,1+3+5=322,1+3+5+7=4推斷出從1 開頭的 n 個連續奇數的和等于n2 等；可以看出體會歸納法是獵取新學問的重要手段，是學問攀緣前進的階梯；2.體會歸納法是通過少數特例的試驗，發覺規律，猜想結論，要使規律明朗化，必需進行足夠次數的試驗；由于觀看產生的片面性，所猜想的結論， 有可能是錯誤的，所以確定或否定猜想的結論，都必需進行嚴格地證明；（到高中，大都是用數學歸納法證明）乙例題例1平面內 n 條直線，每

21、兩條直線都相交，問最多有幾個交點？解：兩條直線只有一個交點，12第 3 條直線和前兩條直線都相交，增加了2 個交點，得1 23第 4 條直線和前3 條直線都相交，增加了3 個交點，得1 2 3第 5 條直線和前4 條直線都相交，增加了4 個交點，得1 2 3 4第 n 條直線和前n1 條直線都相交，增加了n1 個交點由此確定 n 條直線兩兩相交，最多有交點1 2 3n 1（個），這里 n 2，其和可表示為1+（ n+1 ）×n1nn,即221 個交點；例 2符號 n！表示正整數從1 到 n 的連乘積，讀作n 的階乘；例如5！ 1×2× 3× 4×

22、; 5；試比較3n 與（ n+1）！的大小（ n 是正整數）解：當 n 1 時， 3n 3,（ n 1）！ 1× 2 2當 n 2 時， 3n 9，（ n 1）！ 1× 2× 3 6當 n 3 時， 3n 27,（ n 1）！ 1× 2×3× 4 24當 n 4 時， 3n 81,（ n 1）！ 1× 2×3× 4× 5 120當 n 5 時， 3n 243,（ n 1）！ 6！ 720猜想其結論是：當n 1， 2， 3 時， 3n（ n 1）！，當 n>3 時 3n（ n1）！；例 3求

23、適合等式x1+x 2+x 3+x 2003=x 1x 2x 3x 2003 的正整數解；分析：這2003 個正整數的和正好與它們的積相等，要確定每一個正整數的值，我們采納體會歸納法從2 個， 3 個， 4 個直到發覺規律為止；解： x1+x 2=x 1x2 的正整數解是x 1=x 2=2x1+x 2+x 3=x 1x 2x 3 的正整數解是x1=1,x2=2,x3=3x1+x 2+x 3+x 4=x 1x 2x3 x4 的正整數解是x 1=x 2=1,x 3=2,x4=4x1+x 2+x 3+x 4+x 5=x 1x2 x3 x4x 5 的正整數解是x1=x 2=x 3=1,x 4=2,x 5

24、=5x1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6=x 1x 2x 3x4x5x 6 的正整數解是x 1=x 2=x 3=x 4=1,x 5=2,x 6=6由此猜想結論是：適合等式x1+x 2+x 3+x 2003=x 1x 2x 3x 2003 的正整數解為x 1=x2 =x3=x2001=1,x 2002=2，x2003=2003 ；丙練習 141 除以 3 余 1 的正整數中，一位數有個，二位數有個，三位數有個，n 位數有個；2 十 進 制 的 兩 位 數a1 a2可 記 作10a1 a2, 三 位 數a1 a2 a3記 作100a1+10a2+a3, 四 位 數a1a2 a3 a4記作，

25、n 位數記作3 由 13 23（ 1 2） 2， 13 23 33（ 1 2 3） 2，13 23 33 43（）2 ,13152， 13 23 n3=2；4 用體會歸納法猜想以下各數的結論（是什么正整數的平方） 111110個 12225個 22 （）2； 1112n個 11 222n個 22 （） 2 ； 1119位1 559位56 （）2； 11n位1155n 位56 （）25 把自然數1 到 100 一個個地排下去：1239101199100這是一個幾位數？這個數的各位上的各個數字和是多少6運算11111121213131411920（提示把每個分數寫成兩個分數的差）7a 是正整數，試

26、比較aa+1 和a+1 a 的大小 .8 . 如圖把長方形的四條邊涂上紅色，然后把寬 3 等分，把長8 等分，分成24 個小長方形，那么這24 個長方形中，兩邊涂色的有個，一邊涂色的有個，四邊都不著色的有個；此題假如改為把寬m 等分 ,長 n 等分 m,n 都是大于1 的自然數 那么這 mn 個長方形中， 兩邊涂色的有個，一邊涂色的有個，四邊都不著色的有個 9把表面涂有紅色的正方體的各棱都4 等分，切成64 個小正方體，那么這64 個中，三面涂色的有個，兩面涂色的有個，一面涂色的有個，四周都不涂色的有個；此題假如改為把長m 等分 ,寬 n 等分 ,高 p 等分，（ m,n,p 都是大于2 的自

27、然數）那么這mnp個正方體中，三面涂色的有個，兩面涂色的有個，一面涂色的有個，四周都不涂色的有個；10一個西瓜按橫， 縱，垂直三個方向各切三刀，共分成塊，其中不帶皮的有塊；11已知兩個正整數的積等于11112222，它們分別是，；中學數學競賽輔導資料（15）乘法公式甲內容提要1 乘法公式也叫做簡乘公式，就是把一些特殊的多項式相乘的結果加以總結，直接應用；公式中的每一個字母，一般可以表示數字、單項式、多項式，有的仍可以推廣到分式、根式；公式的應用不僅可從左到右的順用（乘法綻開），仍可以由右到左逆用（因式分解），仍要記住一些重要的變形及其逆運算除法等；2 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以

28、由此而推導出其他公式；完全平方公式：a± b2=a2± 2ab+b2,平方差公式： （ a+b） ab=a 2 b2立方和（差）公式：a±ba2ab+b2 =a3± b33.公式的推廣：多項式平方公式：a+b+c+d22=a +b22+c +d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多項式平方等于各項平方和加上每兩項積的2 倍；二項式定理：a± b3=a3± 3a2b+3ab2± b3a± b4=a4± 4a3b+6a2b2± 4ab3+b4）（ a± b） 5=a5&#

29、177; 5a4b+10a3b2 ± 10a2b3 5ab4± b5）留意觀看右邊綻開式的項數、指數、系數、符號的規律由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b） a3 a2b+ab2 b3=a4 b4 a+ba4 a3b+a2b2 ab3+b4=a5+b5a+ba5 a4b+a3b2 a2b3+ab4 b5=a 6 b6留意觀看左邊其次個因式的項數、指數、系數、符號的規律 在正整數指數的條件下，可歸納如下：設n 為正整數a+ba 2n 1 a2n 2b+a2n 3b2 ab2n2 b2n 1=a2n b2na+ba 2n a2n 1b+a2n 2b2 ab2n1+b2n

30、=a2n+1+b2n+1類似地：（ a b） an 1n 2n3 2n 2n1nbn+a4.公式的變形及其逆運算b+ab + ab+b=a由（ a+b） 2=a2+2ab+b2得 a2+b2=a+b 2 2ab由 a+b 3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3 +3aba+b得 a3+b3=a+b 3 3aba+b由公式的推廣可知：當n 為正整數時an bn 能被 a b 整除 ,a2n+1+b2n+1 能被 a+b 整除 ,a2n b2n 能被 a+b 及 a b 整除；乙例題例 1. 己知 x+y=axy=b求 x2+y 2 x3+y 3 x4+y4 x 5+y 5解： x2+y2

31、 x+y 2 2xy a2 2b x3+y3 x+y 3 3xy（ x+y） a3 3ab x4+y4 x+y 4 4xy（ x2+y 2） 6x 2y2 a4 4a2b2b2y+x x5+y5（ x+y ） x 4 x 32 2 xy 34 +yy=x+y x4+y 4 xyx 2+y 2+x 2 y2=aa44a2b+2b2 ba2 2b+b 2a5 5a3b+5ab2例2.求證：四個連續整數的積加上1 的和，肯定是整數的平方；證明：設這四個數分別為a, a+1, a+2, a+3a 為整數 aa+1a+2a+3+1=aa+3a+1a+2+1=a 2+3aa2+3a+2+1=a2+3a2+

32、2a2+3a+1=a22+3a+1 a 是整數，整數的和、差、積、商也是整數 a2+3a+1 是整數證畢 例3.求證： 2222 3111 能被 7 整除證明： 2222 3111（ 22） 111 3111 41113111依據a2n+1+b2n+1 能被 a+b 整除，（見內容提要4） 4111 3111 能被4 3 整除 2222 3111 能被 7 整除例4. 由完全平方公式推導“個位數字為5 的兩位數的平方數”的運算規律解：10a+5 2=100a2 +2× 10a× 5+25=100aa+1+25“個位數字為5 的兩位數的平方數”的特點是：冪的末兩位數字是底數個

33、位數字5如： 152=225冪的百位上的數字2=1 × 2，252=6256=2× 3，352=122512=3 × 4452 =202520=4× 5的平方，冪的百位以上的數字是底數十位上數字乘以比它大1 的數的積；丙練習 151 填空： a2+b2=a+b 2 +ba+b 2=a b2+ a3+b3=a+b3 3ab a44=a22+b 2 , a5+b5=a+ba 4+b4 2 填空： a5+b5=a2+b2a3+b 3 x+y =x 4 y4 x y =x 4 y4x+y =x 5+y5（ x y ） =x 5 y 53.運算：552=652=

34、752= 852= 952=4. 運算以下各題，你發覺什么規律111× 19=22× 28= 34× 36=43× 47= 76×74=5.已知 x+=3,求 x2+1 xx2 x 3+1x 3 x 4+ 1的值x46.化簡：（ a+b） 2a b2 a+ba2 ab+b2 aba+b 3 2aba2 b2 a+b+ca+b cab+c a+b+c7.己知 a+b=1,求證： a3+b33ab=18.己知2a =a+1，求代數式55a+2 的值a9.求證： 233 1 能被 9 整除10.求證：兩個連續整數的積加上其中較大的一個數的和等于較大的

35、數的平方11如圖三個小圓圓心都在大圓的直徑上，它們的直徑分別是a,b,c求證：三個小圓周長的和等于大圓的周長求：大圓面積減去三個小圓面積和的差；abc中學數學競賽輔導資料（16）整數的一種分類甲內容提要1 余數的定義：在等式a mb r 中，假如a 、b 是整數， m 是正整數，r 為小于 m 的非負整數，那么我們稱r 是 a 除以 m 的余數；即：在整數集合中被除數除數×商余數0余數 <除數 例如： 13，0， 1， 9 除以 5 的余數分別是3，0， 4， 1（ 1 5（ 1） 4； 9 5（ 2） 1；）2 明顯，整數除以正整數m ,它的余數只有m 種；例如整數除以2，余

36、數只有0 和 1 兩種，除以3 就余數有0、1、2 三種；3 整數的一種分類：按整數除以正整數m 的余數，分為m 類，稱為按模m 分類；例如：m=2 時，分為偶數、奇數兩類，記作2k , 2k 1（ k 為整數）m=3 時，分為三類，記作3k ,3k+1 ,3k+2 .或 3k , 3k+1 ， 3k 1其中 3k 1表示除以3 余 2；m=5 時，分為五類， 5k . 5k+1 , 5k+2 , 5k+3 , 5k+4 或 5k, 5k ± 1 , 5k±2，其中 5k 2 表示除以5 余 3；4 余數的性質：整數按某個模m 分類，它的余數有可加，可乘，可乘方的運算規律；

37、舉例如下：（ 3k1+1） +3k 2+1=3k 1+k 2+2（余數 1 1 2）（ 4k1+1）4k 2+3=44k 1k2 +3k 1+k2 +3（余數 1× 3 3）（ 5k± 2） 225k 2± 20k+4=55k 2± 4k+4（余數 224）以上等式可表達為：兩個整數除以3 都余 1，就它們的和除以3 必余 2；兩個整數除以4，分別余1 和 3，就它們的積除以4 必余 3；假如整數除以5，余數是2 或 3，那么它的平方數除以5，余數必是4 或 9 ；余數的乘方，包括一切正整數次冪；如： 17 除以 5 余 2 176 除以 5 的余數是4

38、 （ 26 64）5 運用整數分類解題時，它的關鍵是正確選用模m；乙例題例 1. 今日是星期日，99 天后是星期幾？分析：一星期是7 天，選用模m=7, 求 99 除以 7 的余數解： 99（ 7 2） 9，它的余數與29 的余數相同，29（ 23） 3 83（ 7 1） 3 它的余數與13 相同， 99 天后是星期一；又解：設 a 表示 a 除以 7 的余數，99（ 72） 9 29 83（ 7 1）3 13 1例 2. 設 n 為正整數，求43 n+1 除以 9 的余數；分析：設法把冪的底數化為9k r 形式解： 43 n+1 4× 43n=4× 43n=4×

39、（ 64）n 4× 9× 71 n9× 7 1n 除以 9 的余數是1n=1 43 n+1 除以 9 的余數是4；例 3. 求證三個連續整數的立方和是9 的倍數解：設三個連續整數為n 1,n,n+13m=n 1 +n3+n+13=3nn2+2把整數 n 按模 3，分為三類爭論；當 n=3k（k 為整數，下同）時，m 3× 3k 3k 2+2 =9k9k 2+2當 n=3k+1 時，m 3（ 3k+1 ）3k+1 2 +2 3（ 3k+1） 9k 2+6k+3=93k+13k 2+2k+1當 n=3k+2 時，m 3（ 3k+2 ）3k+2 2 +2 3（

40、 3k+2） 9k 2+12k+6 93k+23k 2+4k+2對任意整數n， m 都是 9 的倍數； 例 4. 求證：方程x 2 3y2=17 沒有整數解證明：設整數x 按模 3 分類爭論，=17,33k當 x 3k 時，（ 3k） 2 3y22 y2=17當 x=3k ± 1 時，（ 3k± 1） 2 3y2=1733k2± 2k y 2=16由左邊的整數是3 的倍數，而右邊的17 和 16 都不是 3 的倍數，上述等式都不能成立，因此，方程x23y2=17 沒有整數解例 5. 求證：不論n 取什么整數值，n2+n+1 都不能被5 整除 證明：把n 按模 5

41、分類爭論，當 n=5k 時， n2+n+1=5k 2+5k+1=55k 2+k+1當 n=5k ±1 時， n2+n+1（ 5k±1） 2 5k± 1 1 25k2±10k+1+5k ± 1 15（ 5k2± 2kk ） 2±1當 n=5k ±2 時， n2+n+1（ 5k± 2） 2 5k± 21 25k2±20k+4+5k ± 2 15（ 5k2± 4k+k+1 ）± 2 綜上所述，不論n 取什么整數值，n2+n+1 都不能被 5 整除又證： n2+n

42、+1 nn+1+1 nn+1 是兩個連續整數的積，其個位數只能是0， 2， 6 n2+n+1 的個位數只能是1， 3， 7，故都不能被5 整除；丙練習 161.已知 a=3k+1, b=3k+2, c=3ka,b,c,k 都是整數 填寫表中各數除以3 的余數；a+ba+cabac2a2ba2b2b3b5a+b52.376÷ 7 的余數是天是星期幾？1113今日是星期日，第2 天是星期一，那么第24已知 m,n 都是正整數，求證：3nmn2+25. 已知 a 是奇數但不是3 的倍數，求證：24（a2 1）（提示 a 可表示為除以6 余 1 或 5，即 a=6k± 1）一二三四

43、五123487659101112161514136 把正整數按表中的規律排下去，問100將排在哪一列？答：7 已知正整數n 不是 4 的倍數求證： 1n 2n3n 4n 是 10 的倍數8. 任給 5 個整數，必能從中找到3 個，其和能被10 整除，這是為什么？9 對任意兩個整數，它們的和、差、積中至少有一個是3 的倍數，試說明理由；10任意10 個整數中，必有兩個,它們的差是9 的倍數；這是為什么？假如改為任意n 1個，就必有兩個,它們的差是n 的倍數，試說明理由；11.證明x 2+y 2-8z=6 沒有整數解（ 1990 年德化縣中學數學競賽題）12.從 1 開頭的正整數依次寫下去，直到第

44、198 位為止即1234198位那么這個數用9 除之，余數是（ 1987 年全國中學數學聯賽題）內容提要中學數學競賽輔導資料（17） 奇數偶數1 奇數和偶數是在整數集合里定義的，能被2 整除的整數是偶數，如2， 02，不能被2 整除的整數是奇數，如1， 1， 3；假如 n 是整數，那么2n 是偶數， 2n 1 或 2n+1 是奇數；假如n 是正整數，那么2n 是正偶數， 2n-1 是正奇數；2 奇數、偶數是整數的一種分類；可表示為：奇數整數或 整數集合偶數奇數集偶數集這就是說， 在整數集合中是偶數就不是奇數，不是偶數就是奇數，假如既不是偶數又不是奇數，那么它就不是整數；3 奇數偶數的運算性質：

45、奇數±奇數偶數，奇數±偶數奇數，偶數±偶數偶數 奇數×奇數奇數奇數×偶數偶數，偶數×偶數偶數奇數的正整數次冪是奇數，偶數的正整數次冪是偶數，兩個連續整數的和是奇數，積是偶數；例題例1求證：任意奇數的平方減去1 是 8 的倍數證明：設k 為整數，那么2k1 是任意奇數，（2k 1） 2 1 4k2 4k 1 1 4kk 1 kk 1是兩個連續整數的積，必是偶數 4kk 1是 8 的倍數即任意奇數的平方減去1 是 8 的倍數例2已知：有n 個整數它們的積等于n，和等于0求證： n 是 4 的倍數證明：設n個整數為x1,x2,x3,xn根據

46、題意得x1 x2 x3xnnx1x2x3xn0假如 n 為正奇數，由方程（ 1）可知 x 1,x2,x3,x n 都只能是奇數，而奇數個奇數的和必是奇數，這不適合方程（2）右邊的0，所以 n 肯定是偶數；當 n 為正偶數時，方程（1）左邊的 x 1,x2,x3,x n 中，至少有一個是偶數，而要滿意方程（2）右邊的0，左邊的奇數必湏是偶數個，偶數至少有2 個；所以 n 是 4 的倍數；例 3 己知： a,b,c 都是奇數求證：方程ax2+bx+c=0 沒有整數解證明：設方程的有整數解x ，如它是奇數，這時方程左邊的ax2 ，bx，c 都是奇數，而右邊 0 是偶數，故不能成立；如方程的整數解x

47、是偶數，那么ax2,bx, 都是偶數， c 是奇數，所以左邊仍舊是奇數，不行能等于0；既然方程的解不行能是奇數，也不能是偶數，方程 ax2+bx+c=0 沒有整數解以上的證明方法是反證法例 4 求方程 x 2 y 2 60 的正整數解解： x+yx y=60，60 可分解為： 1× 60， 2× 30，3× 20，4× 15， 5× 12， 6×10左邊兩個因式 x+y ， x y 至少有一個是偶數因此 x, y 必湏是同奇數或同偶數，且x>y>0, 適合條件的只有兩組xy30xy2xy10xy6x 16x8解得y 14y2方程 x2 y2 60 的正整數解是x 16x8y 14y2練習 171 挑選題設 n 是正整數，那么n2+n-1 的值是（）（a ）偶數（ b）奇數（ c）可能是奇數也可能是偶數求方程85x 324y=101 的整數解，以下哪一個解是錯誤的？（）x（ a