1、學習必備歡迎下載數學復習專題講座之數列一、知識梳理數列概念1.數列的定義：按照一定順序排列的一列數稱為數列，數列中的每個數稱為該數列的項.2.通項公式：如果數列an的第 n 項與序號之間可以用一個式子表示, 那么這個公式叫做這個數列的通項公式，即 anf (n) .3.遞推公式：如果已知數列an的第一項（或前幾項） ，且任何一項 an 與它的前一項 an 1 （或前幾項）間的關系可以用一個式子來表示，即anf (an 1 ) 或 an f (an1, an 2 ) ，那么這個式子叫做數列 an的遞推公式 .如數列 an中， a11, an 2an 1，其中 an2an1 是數列 an 的遞推公

2、式 .數列的前 n 項和與通項的公式4. Sn a1 a2an； anS1 (n1)Sn.Sn 1 (n 2)5.數列的表示方法：解析法、圖像法、列舉法、遞推法.6. 數列的分類：有窮數列，無窮數列；遞增數列，遞減數列，擺動數列，常數數列；有界數列，無界數列 .遞增數列 : 對于任何 nN , 均有 an 1an .遞減數列 : 對于任何 nN , 均有 an 1an .擺動數列 : 例如 :1,1, 1,1,1, .常數數列 : 例如 :6,6,6,6, .有界數列 : 存在正數 M使 anM , nN .無界數列 : 對于任何正數M ,總有項 a n 使得 an M .等差數列1. 等差數

3、列的概念如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數稱為等差數列的公差.d ，這個數列叫做等差數列，常數d2. 通項公式與前 n 項和公式通項公式 ana1(n1) d ，a1 為首項， d 為公差 .前 n 項和公式 Snn(a1an )或 Snna11 n(n1) d .223. 等差中項如果 a, A, b 成等差數列，那么A 叫做 a 與 b 的等差中項 .即： A 是 a 與 b 的等差中項2A a ba ， A ， b 成等差數列 .4. 等差數列的判定方法定義法： an 1and （ nN ， d 是常數）an 是等差數列；中項法： 2an1anan2 ( nN )

4、an是等差數列 .5. 等差數列的常用性質數列 an是等差數列，則數列anp 、 pan （ p 是常數）都是等差數列；在等差數列an中，等距離取出若干項也構成一個等差數列，即an , an k , an2k , an 3k ,為等差數列，公差為 kd . an am(nm)d ；ananb ( a , b 是常數 ) ；Snan2bn ( a ,b 是常數， a0 )學習必備歡迎下載(,q N) ，則manapaq ；若m n p q m n pa若等差數列an的前 n 項和 Sn ，則Sn是等差數列；n當項數為2n(nN) ，則偶奇S偶an1；SSnd,anS奇當項數為 2n1( nN )

5、，則奇偶an ,S偶n1 .SSS奇n等比數列1. 等比數列的概念如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數q(q0) ，這個數列叫做等比數列，常數 q 稱為等比數列的公比.2. 通項公式與前 n 項和公式通項公式： an a1qn1， a1為首項， q 為公比 .前 n 項和公式：當 q1時， Snna1當 q 1 時， Sna1 (1 q n ) a1an q .1 q1q3. 等比中項如果 a, G, b 成等比數列，那么 G 叫做 a 與 b 的等比中項 .即： G 是 a 與 b 的等差中項a ， A ， b 成等差數列G 2a b .4. 等比數列的判定方法an 1

6、q （ n N， q0 是常數）an是等比數列；定義法：an中項法： an 12an an 2 ( nN) 且 an 0an是等比數列 .5. 等比數列的常用性質數列an是等比數列，則數列pa n、pan（ q0 是常數）都是等比數列；在等比數列an中，等距離取出若干項也構成一個等比數列，即an , ank, an 2k, an 3k ,為等比數列，公比為qk. an am qn m (n, m N )(,q N) ，則 aaapaq；若m n p q m n pmn若等比數列 an 的前 n 項和 Sn ，則 Sk 、 S2kSk 、 S3 kS2 k 、 S4 kS3k 是等比數列 .二、

7、典型例題A、求值類的計算題（多關于等差等比數列）1）根據基本量求解（方程的思想）1、已知 Sn 為等差數列 an的前 n 項和， a49, a96, Sn 63 ，求 n ；2、等差數列 an 中， a410 且 a3，a6， a10成等比數列，求數列an前 20 項的和 S20 3、設 an 是公比為正數的等比數列，若a11, a516 ，求數列an前 7項的和.學習必備歡迎下載4、已知四個實數，前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，首末兩數之和為 37 ，中間兩數之和為 36 ，求這四個數 .2）根據數列的性質求解（整體思想）1、已知 Sn 為等差數列an的前 n 項和， a6100，則

8、 S11；2、設 Sn 、 Tn 分別是等差數列an、 an 的前 n 項和， Sn7n2 ，則 a5.Tnn3b5a55S9（）3、設 Sn 是等差數列 a n 的前 n 項和，若, 則S5a394、等差數列 an , bn 的前 n 項和分別為 Sn , Tn ,若 Sn2n,則 an =（）Tn3n 1bn5、已知 Sn 為等差數列an的前 n 項和， Snm, Smn(nm) ，則 Sm n.6、在正項等比數列an中， a1a52a3a5 a3a725 ，則 a3a5_ _。7、已知數列an是等差數列，若a4a7 a1017 , a4a5a6a12a13a1477 且 ak13 , 則

9、 k_。8、已知 Sn 為等比數列an前 n 項和， Sn54 ， S2 n60 ，則 S3 n.9、在等差數列an 中，若 S41, S84 ，則 a17a18a19a20 的值為（）10、在等比數列中，已知a9a10a(a0) ， a19a20b ，則 a99a100.11、已知 an為等差數列， a158,a6020 ，則 a7512、等差數列an中，已知 S41, 求S8 .S83S16B、求數列通項公式1） 給出前幾項，求通項公式1,0,1,0,1,3,6,10,15,21,3，-33,333 ，-3333,33333 2）給出前n 項和求通項公式1、 Sn2n23n ； Sn3n1

10、 .2、設數列an滿足 a1 3a232 a3 +3n-1 ann (n N * ) ，求數列an 的通項公式33）給出遞推公式求通項公式a、已知關系式an 1anf (n) ，可利用累加法或迭代法；an (an an 1 ) (an 1 an 2 ) (an 2 an 3 )(a2 a1 ) a1學習必備歡迎下載例：已知數列 an中， a12, anan 12n 1(n2) ，求數列an的通項公式；b、已知關系式 an1anf (n) ，可利用累乘法 . ananan 1an2a3a2a1an 1 an 2an 3a2a1例、已知數列 a滿足：ann1( n2), a12 ，求求數列an的通

11、項公式；nann11c、構造新數列1°遞推關系形如“an 1panq ”，利用待定系數法求解例、已知數列 an中， a11, an12an3，求數列an的通項公式 .2°遞推關系形如“，兩邊同除pn1 或待定系數法求解例、a1 1, an 12an 3n ，求數列 an的通項公式 .3°遞推已知數列an 中，關系形如“ an2pan1qan ”，利用待定系數法求解例、已知數列 an中， a11, a22, an23an12an ，求數列an的通項公式 .4°遞推關系形如 " an pan 1qan an （1 p,q0) , 兩邊同除以 ana

12、n 1例 1、已知數列an 中， anan12anan （1n2),a 12 ，求數列an 的通項公式 .例 2、數列 an中， a1 2, an 12an( nN) ，求數列 an的通項公式 .4 and、給出關于 Sn 和 am 的關系例 1、設數列 an 的前 n 項和為 Sn ，已知 a1a, an 1Sn3n (nN) ，設 bnSn3n ，求數列 bn 的通項公式例 2、設 Sn 是數列 an 的前 n 項和， a11， Sn2anSn1 (n 2) .2求 an 的通項；設 bnSn，求數列 bn的前 n 項和 Tn .2n1C、證明數列是等差或等比數列1)證明數列等差例 1、已

13、知 S 為等差數列 an的前 n 項和，bnSn(n N ). 求證：數列b 是等差數列 .nnn1例 2、已知數列 an 的前 n 項和為 Sn，且滿足an+2Sn·Sn 1=0 （ n 2）， a1= .2求證： 1 是等差數列；Sn2）證明數列等比an例 1、設 an 是等差數列， bn 1，求證：數列 bn 是等比數列；2學習必備歡迎下載例 2、數列 an 的前 n 項和為 Sn，數列 bn 中，若 an+Sn=n.設 cn=an1，求證：數列 cn 是等比數列；例 3、已知 Sn 為數列 an 的前 n 項和， a1 1， Sn4an 2 .設數列 bn中， bnan12a

14、n ，求證： bn是等比數列；設數列 cn中， cnann，求證： cn是等差數列；求數列an 的通項公式及前n 項和 .2例 4、設 Sn 為數列an 的前 n 項和，已知 ban2nb 1 Sn證明：當 b 2 時， ann 2n 1是等比數列；求 an 的通項公式例 5、已知數列 an滿足 a11,a23, an 23an 12an (n N * ).證明：數列an 1an 是等比數列；求數列an的通項公式；若數列bn 滿足 4b1 14b2 1.4bn 1(an1)bn ( nN * ), 證明bn 是等差數列 .D、求數列的前 n 項和基本方法：1）公式法，2）分組求和法 .例 1、

15、求數列 2 n2n3 的前 n 項和 Sn .例 2、求數列1，1 ，1， ，1)， 的前n項和Sn .1238( n2n24例 3、求和： 2× 5+3× 6+4× 7+ +n（ n+3）2）裂項相消法，數列的常見拆項有：11 ( 11 ) ；n( n k )k nn k1n1n ；nn 1例 1、求和： S=1+11112123123n例 2、求和：1111213243n.1n3）倒序相加法，例、設f ( x)x 21x2 ，求： f ( 41 )f ( 31 )f ( 12 )f (2)f (3)f (4) ； f ( 20101 )f ( 20091 )f

16、 ( 31 )f ( 21 )f (2)f (2009) f ( 2010).4）錯位相減法，3n ，求此數列的前例、若數列 an的通項 an(2n 1)n 項和 Sn .學習必備歡迎下載5）對于數列等差和等比混合數列分組求和例、已知數列 an 的前 n 項和 Sn=12n n2，求數列 | an| 的前 n 項和 Tn.E、數列單調性最值問題例 1、數列 an中， an2n49 ，當數列an 的前 n 項和 Sn 取得最小值時， n.例 2、已知 Sn 為等差數列an的前 n 項和， a125, a4 16. 當 n 為何值時， Sn 取得最大值；例 3、數列an中， an3n 228n1，

17、求 an 取最小值時 n 的值 .例 4、數列an中， annn22 ，求數列an 的最大項和最小項 .例 5、設數列ann*的前 n項和為Sa1 a， an 1 Sn 3，nNn 已知（）設 bnSn 3n ，求數列b的通項公式；n（）若 an1 an ， nN* ，求 a 的取值范圍例 6、已知求數列數列 anSn 為數列an 的前 n 項和， a13 ， Sn Sn 12an (n2) .an 的通項公式；中是否存在正整數k ，使得不等式akak 1 對任意不小于k 的正整數都成立？若存在，求最小的正整數k ，若不存在，說明理由 .例 7、非等比數列 an 中，前 n 項和n1(an2 ，S41)（1）求數列 an 的通項公式；（2）設 bn1N*) ，Tnb1b2bn ，是否存在最大的整數m，使得對任意( nn(3an)的 n 均有 Tnm 總成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由。32F、有關數列的實際問題例 1、用磚砌墻 , 第一層 ( 底層 ) 用去了全部磚塊的一半多一塊 , 第二層用去了剩下的一半多一塊, 依