1、一、平面圖形的面積 平面圖形面積可借助定積分幾何意義進(jìn)行求解。一條曲線情形：（積分變量為x）xOyabSxOyabS(1) f(x)0,(2) f(x)0,( )baSf x dx ( )baSf x dx |( )|baf xdx （3）一般情況123SSSS( )( )( )cdbacdf x dxf x dxf x dx|( )|baf xdx xOyab1S2S3Scd第1頁/共28頁( ),|( )|bayf xxa xbxSf xdx 由由及及 軸軸所所圍圍圖圖形形的的面面積積為為 第2頁/共28頁一條曲線（積分變量為一條曲線（積分變量為y）xyOcd(1)0)( y (2)0)(

2、 y (3)一般情況( )dcSy dy ( )|( )|ddccSy dyydy ( )( )|( )|eddcecSy dyy dyydy xyOcd)(yx xyOcde)(yx ( ),|( )|dcxyyc ydySydy 由由及及 軸軸所所圍圍圖圖形形的的面面積積為為 第3頁/共28頁ln ,0.1,10,0.yx xxy求求由由所所圍圍圖圖形形的的面面積積解解：100.1|ln|Sx dx xyolnyx 1100.11lnlnxdxxdx 110.10.1ln|lnxxxdx 101011ln|lnxxxdx 0.1ln0.110.1 10ln1090.1ln100.9 10l

3、n1099.9ln108.1第4頁/共28頁2條曲線（選擇合適的積分變量）條曲線（選擇合適的積分變量）)(1xfy )(2xfy abxyo21( )( )bbaaSfx dxfx dx21( )( )bafxfx dx 21( )( )fxfx )(1xfy )(2xfy abxyoc 1221( )( )( )( )cabcSfxfxdxfxfx dx 21( )( )bafxfx dx 21( )( )f cf c 選x作為變量上邊曲線減去下邊曲線注：求面積時(shí)保證被積函數(shù)的非負(fù)性第5頁/共28頁( )xy ( )xy dxyoce 當(dāng)兩條曲線相交時(shí)，應(yīng)求出其交點(diǎn)作為區(qū)間分段點(diǎn).選y作為變

4、量右邊曲線減去左邊曲線xOcd yx yxy dcdyyyS)()( deecdyyydyyyS)()()()( dcdyyy)()( 第6頁/共28頁畫草圖.例22,xy xy所圍成圖形的面積.計(jì)算由解 22xyxy得交點(diǎn) (0, 0) 和 (1, 1)解方程組xoyxy 22xy ) 1 , 1 (113 120()Sxxdx 33212330 xx 另解. 13 120()Syydy 33212330yy 選x為積分變量選y為積分變量求面積的解題步驟求面積的解題步驟2、聯(lián)立方程求交點(diǎn)4、確定被積函數(shù)，利用公式進(jìn)行求解第7頁/共28頁積分變量的選擇積分變量的選擇選取積分變量 x (y) 應(yīng)

5、滿足：過點(diǎn) x (y) 作垂直于 x (y) 軸的直線穿區(qū)域D, 是一進(jìn)一出，即最多兩個(gè)交點(diǎn)；)(1xfy )(2xfy abxyoc積分區(qū)間的確定積分區(qū)間的確定選取積分變量 x 應(yīng)為區(qū)域的左右兩個(gè)邊界點(diǎn)所確定的區(qū)間;選取積分變量 y 應(yīng)為區(qū)域的上下兩個(gè)邊界點(diǎn)所確定的區(qū)間;被積函數(shù)應(yīng)遵循的原則被積函數(shù)應(yīng)遵循的原則 -大減小大減小(x上減下上減下, y右減左右減左)理論上可以選理論上可以選擇任何一個(gè)變擇任何一個(gè)變?cè)獮榉e分變量元為積分變量. .第8頁/共28頁例：計(jì)算由曲線y=x3-6x和y=x2所圍成的圖形的面積. 解解).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy選 為積分

6、變量xxxy63 2xy 0322(6)Sxxxdx dxxxx)6(3230 .12253 第9頁/共28頁例：計(jì)算由曲線y2=2x和y=x-4直線所圍成的圖形的面積. 解：解：).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選 為積分變量y24242ySydy 18. xy22 4 xy)2, 2( )4 , 8(選x為積分變量 28022(2 )( 2(4)Sxxdxxxdx .18 第10頁/共28頁例： 求由曲線1,2yyx xx與與所圍面積。解：畫草圖，xyoyx 1yx 2x (1,1)1(2, )2(2,2)211()Sxdxx 2211ln2xx3ln221121(2)Sdyy

7、 21(2)y dy 第11頁/共28頁 例例 設(shè)曲線設(shè)曲線 x 軸與軸與 y 軸在第一象限所圍的圖形軸在第一象限所圍的圖形 被曲線被曲線 分為面積相等的兩部分，試確定分為面積相等的兩部分，試確定a的值的值. .2(0)yaxa 解解 如圖，如圖，解方程組解方程組 1(,)11aaa 而而122110(1)aSxaxdx 23 1a 再由再由112SS 12021(1)23 1xdxa 221yxyax 311(1)130 xa xa 得得3a 解解之之得得13得交點(diǎn)坐標(biāo)得交點(diǎn)坐標(biāo)21,yxxyo21yx2yax 1S2S第12頁/共28頁oxyabxS(x)二、平行截面面積已知的立體體積()

8、, , ( )( )baxaxb abxa bxS xVS x dx 設(shè)設(shè)為為一一空空間間立立體體，夾夾在在平平面面和和之之間間過過任任意意點(diǎn)點(diǎn)作作垂垂直直于于 軸軸的的平平面面, ,它它截截立立體體的的截截平平面面的的面面積積為為（連連續(xù)續(xù)）, ,則則該該立立體體的的體體積積為為 第13頁/共28頁oxyabiV 具體求法如下：1.分割01naxxxb 1iiixxx 1|maxiinx 1ix ix2.近似求和i ()iS ()iiiVSx 11()nniiiiiVVSx 3.求極限| |01lim()niiiVSx ()baS x dx 第14頁/共28頁旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積是由某平

9、面內(nèi)一個(gè)圖形繞平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。圓柱圓錐圓臺(tái)第15頁/共28頁xOyab xfy x 2( )S xfx 2bxaVfx dx l 由連續(xù)曲線y=f(x), x=a, x=b, y=0 所圍圖形繞繞x軸軸旋轉(zhuǎn)一周生成旋轉(zhuǎn)體的體積為：l 由連續(xù)曲線x= (y), y=c, y=d, x=0 所圍圖形繞繞y軸軸旋轉(zhuǎn)一周生成旋轉(zhuǎn)體的體積為：xOycd xy 2dycVy dy 2( )S yy 第16頁/共28頁 一般地一般地, , 由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線 y =(x) 、 y =g(x) 和直線和直線 x = a 、x = b所圍成的平面圖形繞所圍成的平面

10、圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積為的立體的體積為oxyy=(x)abx x+dxy=g(x)22( )( )bxaVfxgx dx 第17頁/共28頁例：求由橢圓22221xyab旋轉(zhuǎn)橢球體的體積旋轉(zhuǎn)橢球體可看作由上半橢圓旋轉(zhuǎn)橢球體可看作由上半橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)。22byaxa222axabVaxdxa 所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的x243ab 222202abaxdxa 解：xOya22xaaby第18頁/共28頁例：求由y=x2,x=y2所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積。解：解：畫圖，xOy2xy 2yx )(yx 求交點(diǎn)： (0,0)(0,1)1 , 0 y積分變量：yV

11、 1220ydy 210ydy 10ydy15015y 120125y 32510第19頁/共28頁 例：求由y=x2,y=x,y=2x所圍成的圖形繞x,y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積。解：解： 畫圖，xOyyx 2yx 2yx (1,1)(2,4)xV 2202xdx 120 xdx 2221xdx 32043x 3 1013x 52115x 323 13 315 6215 第20頁/共28頁xOyyx 2yx 2yx (1,1)(2,4)yV 120ydy 241ydy 2402ydy 3 152 163 52 第21頁/共28頁xOy21yx (0, 1) 2,21,xyyxxy求求由由所所圍圍圖圖

12、形形的的面面積積，及及繞繞 軸軸軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)生生成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積. .2xy 1(,0)2解：解： 畫圖，221xyyx 11(1,1),( ,).42 交交點(diǎn)點(diǎn)為為(1,1)11( ,)42 S 112dy 1(2y 2)y 116 xV 210 xdx 211221xdx 3 yV 211212ydy 21212ydy 920 第22頁/共28頁三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例（一）已知總產(chǎn)量的變化率求總產(chǎn)量已知總產(chǎn)量的變化率求總產(chǎn)量已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量Q的變化率是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)f(t),且時(shí)刻t0的產(chǎn)量Q0,即Q(t)=f(t), Q0=Q(t0) .則產(chǎn)品在t時(shí)刻的總產(chǎn)量函數(shù)可表示為000(

13、 )()( )(0)ttQ tQ tf t dtt 000( )( )( )(0)ttQ tQ tf t dtt 注：通常假設(shè)t0=0時(shí)，Q0=0即Q(t0)=0。第23頁/共28頁l 例：某產(chǎn)品總產(chǎn)量變化率為f(t)=100+10t-0.45t2 (噸/小時(shí)),求總產(chǎn)量函數(shù)Q(t);從t0=4到t1=8這段時(shí)間內(nèi)的總產(chǎn)量 Q。l 解： tdssftQ0)()()(15. 0510032噸ttt)4()8(QQQ )815. 0858100(32)415. 0454100(32 tdsss02)45. 010100(第24頁/共28頁經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例之二已知邊際函數(shù)求總量函數(shù)已知邊際函數(shù)求總量函數(shù)

14、( )160.002().200,200.001 ,(1)( );(2)( )(3)(4)xC xxpxpxxC xxL x 例例：某某廠廠生生產(chǎn)產(chǎn)某某產(chǎn)產(chǎn)品品 單單位位的的邊邊際際成成本本是是元元/ /單單位位 固固定定成成本本為為元元 此此種種產(chǎn)產(chǎn)品品的的價(jià)價(jià)格格 是是產(chǎn)產(chǎn)量量 的的函函數(shù)數(shù)：求求：生生產(chǎn)產(chǎn) 單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品的的總總成成本本生生產(chǎn)產(chǎn) 單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品的的總總利利潤潤；生生產(chǎn)產(chǎn)多多少少單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品才才能能獲獲得得最最大大利利潤潤；最最大大利利潤潤是是多多少少? ?0(1)( )(0)( )xC xCC t dt 解解：0200(160.002 )xt dt 2160.001200 xx第25頁/共28頁(2)( )( )( )L xR xC x( )pxC x2(200.001 )(160.001200)x xxx20.002