1、南京市2018屆高三年級第三次模擬考試 數 學 2018.05注意事項：1本試卷共4頁，包括填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）兩部分本試卷滿分為160分，考試時間為120分鐘2答題前，請務必將自己的姓名、學校、班級、學號寫在答題紙的密封線內試題的答案寫在答題紙上對應題目的答案空格內考試結束后，交回答題紙一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計70分. 不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）1集合ax| x2x60，bx| x240，則ab=2已知復數z的共軛復數是若z(2i)5，其中i為虛數單位，則的模為s1i1whilei8 ss2 ii3end while

2、print s3某學校為了了解住校學生每天在校平均開銷情況，隨機抽取了500名學生，他們的每天在校平均開銷都不低于20元且不超過60元，其頻率分布直方圖如圖所示，則其中每天在校平均開銷在50，60元的學生人數為(第3題圖) (第4題圖)4根據如圖所示的偽代碼，可知輸出s的值為5已知a，b，c三人分別在連續三天中值班，每人值班一天，那么a與b在相鄰兩天值班的概率為6若實數x，y滿足則的取值范圍為7. 已知，是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，有如下四個命題：若l，l，則； 若l，則l； 若l，l，則； 若l，則l其中真命題為（填所有真命題的序號）8在平面直角坐標系xoy中，若雙曲線1(a0

3、，b0)的一個焦點到一條漸近線的距離為2a，則該雙曲線的離心率為9若等比數列an的前n項和為sn，nn*，且a1=1，s6=3s3，則a7的值為10若f(x)是定義在r上的周期為3的函數，且f(x)則f(a+1)的值為11在平面直角坐標系xoy中，圓m：x2y26x4y80與x軸的兩個交點分別為a，b，其中a在b的右側，以ab為直徑的圓記為圓n，過點a作直線l與圓m，圓n分別交于c，d兩點若d為線段ac的中點，則直線l的方程為12在abc中，ab=3，ac=2，d為邊bc上一點若·5， ·，則·的值為13若正數a，b，c成等差數列，則的最小值為14已知a，br，e

4、為自然對數的底數若存在b3e，e2，使得函數f (x)exaxb在1，3上存在零點，則a的取值范圍為二、解答題（本大題共6小題，計90分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題卡的指定區域內）15(本小題滿分14分)y在平面直角坐標系xoy中，銳角，的頂點為坐標原點o，始邊為x軸的正半軸，終邊與單位圓o的交點分別為p，q已知點p的橫坐標為，點q的縱坐標為（1）求cos2的值；qp（2）求2的值.xo(第15題圖)16.（本小題滿分14分）(第16題圖)acbmdep如圖，在三棱錐pabc中，pa，其余棱長均為2，m是棱pc上的一點，d，e分別為棱ab，bc的中點（1）求

5、證: 平面pbc平面abc；（2）若pd平面aem，求pm的長17(本小題滿分14分)abcdfe(第17題圖)如圖，公園里有一湖泊，其邊界由兩條線段ab，ac和以bc為直徑的半圓弧組成，其中ac為2百米，acbc，a為若在半圓弧，線段ac，線段ab上各建一個觀賞亭d，e，f，再修兩條棧道de，df，使deab，dfac. 記cbd（）（1）試用表示bd的長；（2）試確定點e的位置，使兩條棧道長度之和最大.18(本小題滿分16分)如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓c：1(ab0)經過點p(，)，離心率為. 已知過點m(，0)的直線l與橢圓c交于a，b兩點（1）求橢圓c的方程；xyo(第18題

6、圖)mba（2）試問x軸上是否存在定點n，使得·為定值若存在，求出點n的坐標；若不存在，請說明理由.19(本小題滿分16分)已知函數f (x)2x33ax23a2（a0），記f'(x)為f(x)的導函數（1）若f (x)的極大值為0，求實數a的值；（2）若函數g (x)f (x)6x，求g (x)在0，1上取到最大值時x的值；（3）若關于x的不等式f(x)f'(x)在，上有解，求滿足條件的正整數a的集合20(本小題滿分16分)若數列an滿足：對于任意nn*，an|an1an2|均為數列an中的項，則稱數列an為“t 數列” （1）若數列an的前n項和sn2n2，nn*

7、，求證：數列an為“t 數列”； （2）若公差為d的等差數列an為“t 數列”，求d的取值范圍；（3）若數列an為“t 數列”，a11，且對于任意nn*，均有anaaan1，求數列an的通項公式南京市2018屆高三年級第三次模擬考試 數學附加題 2018.05注意事項：1附加題供選修物理的考生使用2本試卷共40分，考試時間30分鐘3答題前，考生務必將自己的姓名、學校、班級、學號寫在答題紙的密封線內試題的答案寫在答題紙上對應題目的答案空格內考試結束后，交回答題紙21【選做題】在a、b、c、d四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分請在答卷紙指定區域內作答解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

8、驟a選修41：幾何證明選講cabmn(第21a題圖)在abc中， acab，m為邊ab上一點，amc的外接圓交bc邊于點n，bn2am，求證：cm是acb的平分線b選修42：矩陣與變換已知矩陣a，b，若直線l: xy20在矩陣ab對應的變換作用下得到直線l1，求直線l1的方程c選修44：坐標系與參數方程 在極坐標系中，已知圓c經過點p（2，），圓心c為直線rsin()與極軸的交點，求圓c 的極坐標方程d選修45：不等式選講已知a，b，c(0，)，且abc1，求的最大值【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答卷卡指定區域內作答解答應寫出 文字說明、證明過程或演算步驟22(本小題

9、滿分10分)在平面直角坐標系中，拋物線c：y22px(p0)的焦點為f，點a(1，a) (a0)是拋物線c上一點，且af2（1）求p的值；（2）若m，n為拋物線c上異于a的兩點，且aman記點m，n到直線y2的距離分別為d1，d2，求d1d2的值·f(第22題圖)xyoamn23(本小題滿分10分)已知fn(x)ax(x1)(xi1)，gn(x)ax(x1)(xn1)，其中xr，nn*且n2（1）若fn(1)7gn(1)，求n的值；（2）對于每一個給定的正整數n，求關于x的方程fn(x)gn(x)0所有解的集合南京市2018屆高三年級第三次模擬考試數學參考答案說明：1本解答給出的解法

10、供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則2對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后續部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分3解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數4只給整數分數，填空題不給中間分數一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計70分. 不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）13，2，2 2 3150 47 5 6，2 7 8 94 102 11x2y40 123 13 14e，4e二、解答題（本

11、大題共6小題，計90分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區域內）15(本小題滿分14分)解：（1）因為點p的橫坐標為，p在單位圓上，為銳角，所以cos， 2分所以cos22cos21 4分（2）因為點q的縱坐標為，所以sin 6分 又因為為銳角，所以cos 8分因為cos，且為銳角，所以sin，因此sin22sincos， 10分所以sin(2) ×× 12分因為為銳角，所以02又cos20，所以02，又為銳角，所以2，所以2 14分16(本小題滿分14分)(圖1)ocbpacbmde（1）證明：如圖1，連結pe因為pbc的邊長為2的正

12、三角形，e為bc中點，所以pebc， 2分且pe，同理ae因為pa，所以pe2ae2pa2，所以peae4分因為pebc，peae，bcaee，ae，bc Ì平面abc，所以pe 平面abc 因為peÌ平面pbc，所以平面pbc平面abc 7分（2）解法一如圖1，連接cd交ae于o，連接om因為pd平面aem，pdÌ平面pdc，平面aem平面pdcom，所以pdom， 9分所以 11分因為d，e分別為ab，bc的中點，cdaeo，所以o為dabc重心，所以，所以pmpc 14分(圖2)pacbmdecbn 解法二如圖2，取be的中點n，連接pn因為d，n分別為ab

13、，be的中點，所以dnae又dnË平面aem，aeÌ平面aem，所以dn平面aem 又因為pd平面aem，dnÌ平面pdn，pdÌ平面pdn，dnpdd，所以平面pdn平面aem 9分又因為平面aem平面pbcme，平面pdn平面pbcpn，所以mepn，所以 11分因為e，n分別為bc，be的中點，所以，所以pmpc 14分17(本小題滿分14分)解：（1）連結dc在abc中，ac為2百米，acbc，a為，所以cba，ab4，bc2 2分因為bc為直徑，所以bdc，所以bdbc cos2cos 4分（2）在bdf中，dbf，bfd，bd2cos，所以，

14、 所以df4cossin()， 6分且bf4cos，所以deaf=44cos， 8分所以dedf44cos4 cossin()=sin2cos232 sin(2)3 12分因為，所以2，所以當2，即時，dedf有最大值5，此時e與c重合 13分答：當e與c重合時，兩條棧道長度之和最大 14分18(本小題滿分16分)解（1）離心率e，所以ca，ba， 2分所以橢圓c的方程為1因為橢圓c經過點p(，)，所以1，所以b21，所以橢圓c的方程為y21 4分（2）解法一設n(n，0)，當l斜率不存在時，a(，y)，b(，y)，則y21，則×(n)2y2(n)2n2n， 6分當l經過左右頂點時，

15、×(2n)(2n)n24令n2nn24，得n4 8分 下面證明當n為(4，0)時，對斜率為k的直線l：yk(x)，恒有×12設a(x1，y1)，b(x2，y2)，由消去y，得(4k21)x2k2xk240， 所以x1x2，x1x2， 10分所以×(x14)(x24)y1y2(x14)(x24)k2(x1)(x2)(k21)x1x2(4k2)(x1x2)16k2 12分 (k21)(4k2)16k2161612 所以在x軸上存在定點n(4，0)，使得×為定值 16分解法二設n(n，0)，當直線l斜率存在時，設l：yk(x)，設a(x1，y1)，b(x2，y

16、2)，由消去y，得(4k21)x2k2xk240， 所以x1x2，x1x2， 6分所以×(x1n)(x2n)y1y2(x1n)(x2n)k2(x1)(x2)(k21)x1x2(nk2)(x1x2)n2k2(k21)(nk2)n2k2 8分n2n2 12分若×為常數，則為常數，設，為常數，則(n)k244k2對任意的實數k恒成立， 所以所以n4，4， 此時×12 14分當直線l斜率不存在時，a(，y)，b(，y)，則y21，所以×(4)2y2(4)212，所以在x軸上存在定點n(4，0)，使得×為定值 16分19(本小題滿分16分)解：（1）因為

17、f (x)2x33ax23a2（a0），所以f'(x)6x26ax6x(xa) 令f'(x)0，得x0或a 2分當x(，0)時，f'(x)0，f (x)單調遞增；當x(0，a)時，f'(x)0，f (x)單調遞減；當x(a，)時，f'(x)0，f (x)單調遞增故f (x)極大值f (0)3a20，解得a 4分（2）g (x)f (x)6x2x33ax26x3a2（a0）， 則g(x)6x26ax66(x2ax1)，x0，1當0a2時，36(a24)0，所以g(x)0恒成立，g (x)在0，1上單調遞增，則g (x)取得最大值時x的值為1 6分當a2時，

18、g(x)的對稱軸x1，且36(a24)0，g(1)6(2a)0，g(0)60， 所以g(x)在(0，1)上存在唯一零點x0當x(0，x0)時，g(x)0，g (x)單調遞增，當x(x0，1)時，g(x)0，g (x)單調遞減，則g (x)取得最大值時x的值為x0 8分綜上，當0a2時，g (x)取得最大值時x的值為1；當a2時，g (x)取得最大值時x的值為 9分（3）設h (x)f (x)f (x)2x33(a2)x26ax3a2，則h (x)0在，有解 10分h(x)6x2(a2)xa6(x)2，因為h(x)在(，)上單調遞減，所以h(x)h()a20，所以h (x)在(，)上單調遞減，所

19、以h()0，即a33a26a40 12分設t (a)a33a26a4（a0），則t (a)3a26a6， 當a(0，1)時，t (a)0，t (a)單調遞減；當a(1，)時，t (a)0，t(a)單調遞增因為t (0)40，t (1)40，所以t (a)存在一個零點m(0，1)， 14分因為t (4)40，t (5)240，所以t (a)存在一個零點n(4，5)，所以t (a)0的解集為m，n，故滿足條件的正整數a的集合為1，2，3，4 16分20(本小題滿分16分)解：（1）當n2時，ansnsn12n22(n1)24n2， 又a1s124×12，所以an4n2 2分 所以an|a

20、n1an2|4n244(n1)2為數列an的第n1項， 因此數列an為“t 數列” 4分 （2）因為數列an是公差為d的等差數列， 所以an|an1an2|a1(n1) d|d| 因為數列an為“t 數列”， 所以任意nn*，存在mn*，使得a1(n1) d|d|am，即有(mn) d|d|6分 若d0，則存在mn1n*，使得(mn) d|d|， 若d0，則mn1此時，當n1時，m0不為正整數，所以d0不符合題意 綜上，d0 8分 （3）因為anan1，所以an|an1an2|anan2an1 又因為ananan2an1an2(an1an)an2，且數列an為“t數列”， 所以anan2an1

21、an1，即anan22an1， 所以數列an為等差數列 10分 設數列an的公差為t(t0)，則有an1(n1)t， 由anaaan1，得1(n1)tt2(2n1)t1nt，12分 整理得n(2t2t)t23t1， n(t2t2)2tt21 若2t2t0，取正整數n0，則當nn0時，n(2t2t)(2t2t) n0t23t1，與式對于任意nn*恒成立相矛盾，因此2t2t0同樣根據式可得t2t20，所以2t2t0又t0，所以t經檢驗當t時，兩式對于任意nn*恒成立， 所以數列an的通項公式為an1(n1) 16分南京市2018屆高三年級第三次模擬考試 數學附加題參考答案及評分標準 2018.05

22、 說明：1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則2對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后續部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分3解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數4只給整數分數，填空題不給中間分數21【選做題】在a、b、c、d四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分請在答卷卡指定區域內作答解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟a選修41：幾何證明選講證明：連結mn，則bmnbca， 2分又

23、mbncba，因此mbncba 4分所以 6分又因為acab，所以2，即bn2mn 8分又因為bn2am，所以ammn， 所以cm是acb的平分線 10分b選修42：矩陣與變換解：因為a，b，所以ab 4分設點p0(x0，y0)是l上任意一點，p0在矩陣ab對應的變換作用下得到p(x，y)因為p0(x0，y0)在直線l: xy20上，所以x0y020 由ab，即 ，得 6分即將代入得x4y40，所以直線l1的方程為x4y40 10分c選修44：坐標系與參數方程解：解法一在直線rsin()中，令0，得r2. 所以圓c的圓心坐標為c(2，0) 4分因為圓c經過點p(2，)，所以圓c的半徑pc2，

24、6分所以圓c的極坐標方程r4cos 10分解法二以極點為坐標原點，極軸為x軸建立平面直角坐標系，則直線方程為yx2，p的直角坐標為(1，)， 令y0，得x2，所以c(2，0)， 4分所以圓c的半徑pc=2， 6分所以圓c的方程為(x2)2(y0)24，即x2y24x0， 8分所以圓c的極坐標方程r4cos. 10分d選修45：不等式選講解：因為(121212)()2()2()2(1·1·1·)2，即()29(abc) 4分因為abc1，所以()29， 6分所以3，當且僅當，即abc時等號成立 所以的最大值為3. 10分【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計

25、20分 22（本小題滿分10分）解：（1）因為點a(1，a) (a0)是拋物線c上一點，且af=2， 所以12，所以p2. 3分（2）解法一由(1)得拋物線方程為y24x因為點a(1，a) (a0)是拋物線c上一點，所以a2 4分設直線am方程為x1m (y2) (m0)，m(x1，y1)，n(x2，y2)由消去x，得y24m y8m40，即(y2)( y4m2)0，所以y14m2 6分因為aman，所以代m，得y22， 8分所以d1d2|(y12) (y22)|4m×()|16 10分解法二由(1)得拋物線方程為y24x因為點a(1，a) (a0)是拋物線c上一點，所以a2 4分設m(x1，y1)，n(x2，y2)，則·(x11)(