1、高中數學“統計”教學研究一、整體把握“統計”教學內容（一）統計的起源統計學的英文詞statistics源于拉丁文，是由status（狀態、國家）和statista（政治家）衍化而來的，可見統計與國家事務的管理需求有關.的確，統計起源于古代政府管理，例如統計人口、壽命等一些數字，但最重要的、超出描述性統計范圍的成就是高斯和勒讓德關于最小二乘法的工作，二人均獨立地發現了最小二乘法，并應用于觀測數據的誤差分析，導致統計思想上的重大進展:數據是來自服從一定概率分布的總體，而統計學就是用這些可觀察到的數據去推斷這個分布的未知屬性.這個觀點強調了推斷的地位，使統計學擺脫了單純描述的性質，是統計的基本的思想

2、.20世紀由于概率論的建立，數理統計才逐步形成一門應用數學學科（二）知識結構圖義務教育階段，學生已經學習了一些簡單的統計知識，了解簡單的收集、整理、描述和分析數據的方法，已經會用平均數、中位數、眾數等樣本數據特征和簡單的統計圖表（如扇形圖等）描述數據，高中階段，將在此基礎上進一步學習統計，不僅學習更多的統計知識和方法，更注重體會用樣本估計總體及其特征的統計思想，體會統計思維與確定性思維的差異順著這條線索，我們可以整理出高中階段統計學習的知識結構圖。（三）重點、難點分析統計所涉及的知識位于必修三和選修2-3的相關章節（對于文科來說，是必修三和選修1-2）.文理對于統計部分的要求相同統計在教學內容

3、中占有相當大的比重，課程標準中指出：統計，已成為高中數學的基礎知識之一而在新的高考考試大綱中也明確指出，高考考查的能力要求包括：“空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力”以及應用意識和創新意識.其中，“數據處理能力”是考綱中新增加的內容，怎么考查？考綱中也明確指出：主要依據統計或統計案例中的方法對數據進行整理、分析，并解決給定的實際問題.因此，在高中階段，我們應通過對統計知識的學習，不僅學會收集、整理、分析數據的方法，學會從大量數據中抽取對研究問題有用的信息，并作出準確的判斷；同時也要逐步培養數據意識，學會用數據說話，將統計知識主動運用于實踐這就是統計教學的重點而

4、統計不同于一般的數學內容，統計思維不同于確定性思維，統計推斷有可能犯錯，教學中如何把握統計思想，而不是把統計教成畫圖表、或按照公式計算，則是統計教學的難點突破難點，把握重點的關鍵在于統計教學，應采用案例教學的方式二、高中“統計”教與學的策略（一）從實例出發，幫助學生理解抽樣的重要性，掌握三種抽樣方法統計的特征之一是通過部分的數據來推測全體數據的性質，因此，樣本的選取就非常重要，如果樣本不具有代表性，統計推斷就必然要犯錯誤下面的例子容易說明抽樣的重要性1948年：杜魯門vs杜威民意調查落笑柄1948年的美國總統大選堪稱最出人意料的一次，輿論界一致認為必敗的杜魯門，竟以100多張選舉人票的優勢擊敗

5、了共和黨人托馬斯·杜威，蟬聯第二任，令許多人大跌眼鏡，也令許多美國媒體顏面掃地就大選前的形勢看，美國歷史上恐怕沒有哪位在職總統比杜魯門更不占優勢了作為富蘭克林羅斯福的繼承者，杜魯門注定了要生活在偉人的陰影下，加上民主黨已連續執政15年，積累了無數社會矛盾，人們對政府怨聲載道，輿論認為杜魯門必定下臺粗略統計，當時預言杜魯門失敗的就有紐約時報、紐約每日鏡報、芝加哥論壇報、生活周刊、讀者文摘等多家極富影響力的媒體，以及著名的蓋洛普民意測驗創始人喬治·蓋洛普，生活周刊干脆登出杜威的大幅照片，下面標注是“下屆美國總統”！他們為什么這么肯定呢？也不完全是主觀臆斷，主要原因是他們從事的民

6、意調查無一例外地倒向了杜威根據民意測驗的結果，蓋洛普最后一次的預測是，杜威將贏得49%的普選票，杜魯門只能贏得44%而事實上，1948年大選的最后統計結果是：民主黨候選人杜魯門獲得49.5%的普選票，305張選舉人票；共和黨候選人、紐約州州長杜威獲得45.1%的普選票，187張選舉人票；這個結果與蓋洛普民意測驗的結果正好相反，這也是歷次蓋洛普民意測驗的最大誤差幾乎整整5個百分點當杜魯門贏得這次選舉，手持印有“杜威戰勝杜魯門”大幅標題的芝加哥論壇報回到華盛頓時，受到75萬人的熱烈歡迎，而新聞界則淪為全國的笑柄美國媒體在事后總結教訓時認為，民意測驗的失誤主要是忽略了普通民眾的看法這些調查大都采用電

7、話問詢的方式進行，在1948年的美國，電話還是個新鮮玩藝兒，遠沒有在消費者中得到普及，裝有電話的大都是富裕的上流人士這些人并不能代表美國廣大的普通民眾也就是說：樣本不具有代表性那么樣本應該如何選取呢？這樣的例子容易引發同學的興趣，就此引入抽樣方法在中學階段，我們主要學習三種抽樣方法：1.簡單隨機抽樣（抽簽法、隨機數表法）2.系統抽樣3.分層抽樣可以通過一些例子，說明三種抽樣方法的特點及適用范圍，并通過比較，分析三種抽樣方法的異同類別共同點各自特點聯系適用范圍簡單隨機抽樣（1）抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等（2）每次抽出個體后不再將它放回，即不放回抽樣從總體中逐個抽取 總體個數較

8、少系統抽樣將總體均分成幾部分，按預先制定的規則在各部分抽取在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣總體個數較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進行抽取分層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統抽樣總體由差異明顯的幾部分組成在學習三種抽樣方法之后，再通過一些簡單的實例讓同學去判斷和選擇方法簡單的實例如下：例1要考察某種品牌的850顆種子的發芽率，從中抽取50顆種子進行試驗隨機數表法例2某校高中三年級的2950名學生已經編號為1，2，2950，為了了解學生的學習情況，要按1：5的比例抽取一個樣本.系統抽樣例3一個城市有210家百貨商店，其中大型商店有20家，中型商店有40家，小型商店有150家，為掌握各商店的營業情況，

9、要從中抽取一個容量為21的樣本.前兩個例子中，總體沒有呈現明顯的差異，用簡單隨機抽樣（隨機數表法）或系統抽樣均可而第三個例子，必須用分層抽樣分層抽樣抽樣完成之后，則應該是整理數據，用樣本估計總體（二）教學要從具體問題入手，使學生經歷數據處理的過程要使學生接受統計基本思想，最有效的方法是讓他們真正投入到統計的全過程中去：提出問題，收集、整理數據，分析數據，作出決策，進行交流、評價與改進等例4中國香港風帆選手李麗珊，以驚人的耐力和斗志，勇奪奧運金牌，為香港體育史揭開了“突破零”的新頁在風帆比賽中，成績以低分為優勝比賽共11場，并以最佳的9場成績計算最終的名次前7場比賽結束后，排名前5位的選手積分如

10、下表所示：根據比賽結果，我們如何比較各選手之間的成績及穩定情況呢?如果此時讓你預測誰將獲得最后的勝利，你會怎么看？解：由上表，我們可以分別計算5位選手前7場比賽積分的平均數和標準差，分別量度各選手比賽的成績及穩定情況（結果如下表所示）培養學生的數據意識，讓學生學會用數據說話，不能從死記硬背入手，而應該從原始的數據出發，給學生較少的限制，使學生經歷較為系統的數據處理全過程，并在此過程中學習一些數據處理的方法下面的問題是較好的問題：例5：為了了解某地區高三學生的身體發育情況，抽查了地區內100名年齡為17.5歲18歲的男生的體重情況,結果如下(單位：kg)56.769.36561.564.566.

11、56464.57658.57273.656677057.265.56871756268.862.66659.363.364.567.57368557266.974636055.77064.5586470.85762.5656971.473625876716663.25659.463.5657074.868.66455.572.566.6687657.56071.25769.57464.65961.5676863.8585965.562.569.27264.575.568.5646265.458.667.170.5656666.5706359.5試根據上述數據對相應的這個年齡段男生的體重情況作出

12、估計選題目的：學會畫頻率分布直方圖，利用頻率分布直方圖對總體分布作出估計，并為隨機變量的密度函數做準備各類統計圖表的特點1頻率分布表：反映總體頻率分布的表格.編制頻率分布表的步驟如下：（1）計算極差（全距），（2）決定組數和組距，；（3）決定分點，分組，通常對組內數值所在區間取左閉右開區間，最后一組取閉區間；（4）登記頻數，計算頻率，列出頻率分布表.2頻率分布直方圖：反映樣本的頻率分布規律.作頻率分布直方圖的步驟如下：（1）把橫軸分成若干段，每一線段對應一個組的組距；（2）以此線段為底作矩形，它的高等于該組的（頻率密度），這樣得出一系列的矩形；（3）每個矩形的面積恰好是該組上的頻率.3頻率分布

13、折線圖：如果將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點順次連接起，就得到一條折線，稱這條折線為本組數據的頻率折線圖.4總體密度曲線：如果樣本容量越大，所分組數越多，上述圖中表示的頻率分布就越接近于總體在各個小組內所取值的個數與總數比值的大小設想如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷縮小，則頻率分布直方圖實際上越來越接近于總體的分布，它可以用一條光滑曲線y=f(x)來描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線總體密度曲線精確地反映了一個總體在各個區域內取值的規律落在(a，b)內的百分率就是圖中帶斜線部分的面積幾點說明：1在編制頻率分布表時，要選擇適當的組距和起始點才可以使頻率分布表更好地反映數據的分布

14、情況.2在編制頻率分布表時，如果取全距時不利于分組（如不能被組數整除），可適當增大全距，如在左右兩端各增加適當范圍（盡量使兩端增加的量相同）.選取決定分點一般比原始數據多一位小數，確保每個原始數據都落在某組內部，而不是邊界上.3頻率折線圖的優點是它反映了數據的變化趨勢，如果將樣本容量取得足夠大，分組的組距取得足夠小，則這條折線將趨于一條曲線，我們稱這一曲線為總體分布的密度曲線.例6從甲、乙兩品種的棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度（單位：mm），根據所得數據設計了如下莖葉圖：請根據莖葉圖，對甲、乙兩品種棉花的纖維長度作比較，寫出兩個統計結論：_；_.了解莖葉圖的特點（課標例題）作莖葉圖：將所有

15、三位數的百位、十位數字作為“莖”，個位數字作為“葉”，莖相同者共用一個莖，莖按從小到大的順序從上向下列出，共莖的葉一般由內到外按從小到大的順序同行列出.莖葉圖刻畫數據有兩個優點：一是所有的信息都可以從圖中得到，從統計圖上沒有信息的損失；二是莖葉圖便于記錄和表示，但數據位數較多時不夠方便統計結論：（1）乙品種棉花的纖維平均長度大于甲品種棉花的纖維平均長度（或：乙品種棉花的纖維長度普遍大于甲品種棉花的纖維長度）（2）甲品種棉花的纖維長度較乙品種棉花的纖維長度更分散（或：乙品種棉花的纖維長度較甲品種棉花的纖維長度更集中（穩定）甲品種棉花的纖維長度的分散程度比乙品種棉花的纖維長度的分散程度更大）（3）

16、甲品種棉花的纖維長度的中位數為307mm，乙品種棉花的纖維長度的中位數為318mm（4）乙品種棉花的纖維長度基本上是對稱的，而且大多集中在中間（均值附近）甲品種棉花的纖維長度除一個特殊值（352）外，也大致對稱，其分布較均勻（三）線性回歸方程和統計案例的教學中，適度說理，注重展現知識形成過程1.關于變量的相關性，課標要求通過收集現實問題中兩個有關聯變量的數據作出散點圖，并利用散點圖直觀認識變量間的相關關系經歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關的過程知道最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程通過前面的介紹我們已經知道：高斯和勒讓德發現了最小二乘法，并應用于觀測數據的誤

17、差分析，導致了統計思想上的重大進展，使統計學擺脫了單純描述的性質，強調了推斷的地位，是我們現在強調的統計的基本思想.因此，這一部分的教學，一定要注意的是：不要把統計教成根據公式運算學生在小學、初中就開始學習統計，對于統計的很多名詞、甚至方法都不陌生，如果只是為了應付考試，那么這一部分的教學就會成為記憶或單純的模仿，枯燥乏味應要求學生自己探索回歸直線的求法（事實上，通過老師啟發學生可以給出許多方法）在統計中，重要的是尋找好的方法，而不是套用公式計算從歷史上看，拉普拉斯、歐拉等許多大數學家都曾為尋找這一直線而努力，他們的做法并不成功后來，由勒讓德、高斯提出了最小二乘法套用公式計算回歸系數，對學生來

18、說并不困難但這里應該讓學生體會到，數學中介紹的方法是前人經過長期探索才得到的體會在統計中尋找方法的重要作為老師應該清楚，之所以用最小二乘法，是因為這樣得到的估計量，在許多標準下是好的而這些標準我們在中學無法講授另外，根據實際問題的需要，完全可以用別的方法，例如，把誤差的平方改為誤差的絕對值，或把誤差改為求點到直線的距離等等人們現在正是這樣做的不應該讓學生錯誤地以為最小二乘法是絕對的、永遠是最優的例7線性回歸方程教學案例【統計問題】一般說來，一個人的身高越高，他的手就越大，相應地，他的右手一拃長就越長，因此，人的身高與右手一拃長之間存在著一定的關系這種說法正確嗎？【收集數據】為了回答這個問題，我

19、們首先需要收集數據，如何收集？分層抽樣？收集到的數據應如何整理？（散點圖）【整理數據】以下是某校高三年級96名男生的身高與右手一拃長的數據，制成散點圖你能從散點圖中發現身高與右手一拃長之間的近似關系嗎？【相關分析】如果近似成線性關系，請畫出一條直線來近似地表示這種線性關系從散點圖上可以發現，身高與右手一拃長之間的總體趨勢是成一直線，也就是說，它們之間是線性正相關的那么，怎樣確定這條直線呢？你是怎么想的？與同學進行交流如：方案1：選擇能反映直線變化的兩個點，例如（153，16），（191，23）二點確定一條直線方案2：取一條直線，使得它通過的點最多方案3：取一條直線，使得所有的點在它的兩側盡可能

20、均勻分布方案4：先求出相同身高同學右手一拃長的平均值，畫出散點圖，如下圖，再畫出近似的直線，使得在直線兩側的點數盡可能一樣多方案3：在方案二的基礎上，選一條直線通過盡可能多的點討論中，方案逐漸趨于：讓直線離這些點最近如何刻畫這個最近？介紹用最小二乘法確定回歸直線的方法【統計預測】如果一個學生的身高是188cm，你能估計他的右手一拃大概有多長嗎？“回歸”這個詞是由英國著名統計學家francilsgalton提出來的1889年，他在研究祖先與后代身高之間的關系時發現，身材較高的父母，他們的孩子也較高，但這些孩子的平均身高并沒有他們父母的平均身高高；身材較矮的父母，他們的孩子也較矮，但這些孩子的平均

21、身高卻比他們父母的平均身高高galton把這種后代的身高向中間值靠近的趨勢稱為“回歸現象”，后來，人們把由一個變量的變化去推測另一個變量的變化的方法稱為回歸方法適度說理，展現知識的形成過程，既可以讓學生了解歷史，也可以讓學生感受統計思維與確定性思維的差異在用不同的估算方法描述兩個變量線性相關的過程中，體會沒有最好，只有更好鼓勵學生探索用多種方法確定線性回歸直線，在此基礎上，引導學生體會最小二乘法的思想，根據給出的公式求線性回歸方程對感興趣的學生，可以鼓勵他們嘗試推導線性回歸方程在這里需要強調的是，身高和右手一拃長之間沒有函數關系我們得到的直線方程，只是對其變化趨勢的一個近似描述對一個給定身高的

22、人，人們可以用這個方程來估計這個人的右手一拃長這是十分有意義的這一部分內容的教學，還應該注意前后聯系，埋下伏筆函數應用題à線性回歸方程à回歸分析.這樣會讓統計的教學更有層次，更有意思2.關于統計案例，課標要求：通過典型案例，學習下列一些常見的統計方法，并能初步應用這些方法解決一些實際問題通過對典型案例（如“肺癌與吸煙有關嗎”等）的探究，了解獨立性檢驗（只要求2×2列聯表）的基本思想、方法及初步應用通過對典型案例（如“人的體重與身高的關系”等）的探究，進一步了解回歸的基本思想、方法及初步應用總體來說，統計案例的內容，只要求學生了解幾種統計方法的基本思想及其初步應用，

23、對于其理論基礎不做要求但為了避免學生單純記憶和機械套用公式進行計算，還需適度說理如：獨立性檢驗的理論基礎是概率中事件的獨立性，對理科同學來說，由于在選修2-3中學習了事件的獨立性，在此處不妨就“兩個事件相互獨立”的含義做一理解，知道公式的來源，但對于公式的推導過程則不必深究，公式的結果也不必記憶而對于文科同學，沒有相應的概率基礎，便不一定要補上相關的內容，加重學生負擔，只需對“兩個事件相互獨立”作模糊處理（四）通過案例教學，體會統計思想，體現統計的應用價值案例教學是統計教學的基本方式一方面，統計方法看起來不難，但是理解起來還是有困難的，通過大量的具體案例可以幫助學生理解；另一方面，在統計課程中

24、，通過對案例的學習，易于體會統計思想統計的核心思想是：歸納的思想和隨機的思想前面已經說過：處理統計問題的思維方式和傳統的數學思維方式有所不同，它是一種歸納的思維方式，傳統的數學思維則更強調演繹在統計教學中，通過收集樣本數據、利用圖表整理和分析數據、求出數據的數字特征、對總體進行統計推斷，這個過程，實際是通過對樣本數據的處理，歸納出總體數據的特征，是一種歸納的思維方式用樣本估計總體是統計的核心方法，而樣本來源于隨機抽樣的結果，因此，統計結果具有隨機性，統計推斷是有可能犯錯誤的，但是，在自然界和人類事物中，隨機現象是大量存在的，概率統計正是對隨機變化的數學描述，它能夠幫助我們作出合理的決策，并能告

25、訴我們犯錯誤的概率隨機思想是理解統計問題的一個基本思想讓學生經歷統計過程，才能培養他們對數據的直觀感覺，認識統計方法的特點不僅如此，大量與生活有關的案例，還能體現統計與生活的密切聯系，體會統計應用的廣泛性在統計案例的教學中，應盡量給學生提供一定的實踐活動機會，可結合數學建模的活動，選擇一個案例，要求學生親自實踐特別地，教師應獨立或與同事合作，親自解決一些實際問題，從事實踐活動，以積累經驗，并獲得對基本思想的直觀體驗如處理成績：經歷數據處理的過程，并根據實際問題選擇合適的方法平均數、標準差、頻率分布、從評價自己到評價試卷數學成績與物理成績是否相關？（五）在統計教學中，恰當運用現代教育技術，簡化運

26、算excel應用舉例相關系數與線性回歸步驟一：進入excel，并輸入如下圖所示資料步驟二：點擊“插入”，再選擇函數步驟三：在插入函數視窗中，類別項目中選擇“統計”，在選取函數項目中選擇“correl”，按確定步驟四：array1（輸入資料x），以鼠標左鍵圈選范圍a1：a6array2（輸入資料y），以鼠標左鍵圈選范圍b1：b6按確定，得出r=0.842873，如圖步驟五：點擊工具，再選擇數據分析，在數據分析視窗中選擇回歸，按確定，如圖若“工具”菜單中沒有“數據分析”，按如下步驟執行：工具 加載宏在列表中，選中“分析工具庫”框，再單擊確定步驟六：在回歸視窗中，輸入y范圍，用鼠標左鍵圈選b1：b6

27、；輸入x范圍，用鼠標左鍵圈選a1：a6；點選標志，輸出選項點選新工作表，線性擬合圖按確定，如圖輸出結果如圖三、學生學習目標檢測分析（用二級標題劃分）（一）課程標準與高考對“平面向量專題”的要求結合課標和考試說明，本專題的主要檢測內容與標準如下：1必修部分（1）隨機抽樣理解隨機抽樣的必要性和重要性.會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統抽樣方法.（2）總體估計了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點.理解樣本數據標準差的意義和作用，會計算數據標準差.能從樣本數據中提取基本的數字特征（如平均數、標準差），并作出合理的解釋.會

28、用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征，理解用樣本估計總體的思想.會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.（3）變量的相關性會作兩個有關聯變量的數據的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系.了解最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程.2選修部分統計案例：了解下列一些常見的統計方法，并能應用這些方法解決一些實際問題.（1）獨立性檢驗：了解獨立性檢驗（只要求2×2列聯表）的基本思想、方法及其簡單應用.（2）回歸分析：了解回歸的基本思想、方法及其簡單應用.（二）典型題目的檢測分析由于在高考中不能使用計算器、是否給出公式等諸多限制，所以，考試中的統計并不完全等同于應用于生活的統計其次，考試中，統計問題及其答案一般是唯一的，確定的；而生活應用中的統計卻有其多樣性和不確定性因此，作為目標檢測來說，最好的方法是要求學生親自實踐，（從抽樣開始，處理數據，最后到預測和估計，）提交一個完整的統計案例在考試中，則可以檢測學生對于統計方法的掌握情況為目的，如：例1.某區高二年級的一次數學統考中，隨機抽取m