1、圖形的相似全章復(fù)習(xí)與鞏固-知識(shí)講解(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解比例的基本性質(zhì)，線段的比、成比例線段；2、通過實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，理解相似多邊形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例、周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用這些性質(zhì)和判定方法解決生活中的一些實(shí)際問題；3、掌握三角形中位線以及梯形中位線、三角形重心的定義、性質(zhì)及應(yīng)用；4、相似圖形性質(zhì)和判定方法的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力，以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)解決問題的能力【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】佛形中位線【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似圖形及比例線段1.相

2、似圖形： 在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similar figures).要點(diǎn)詮釋：(1) 相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；(2) “全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩個(gè)圖形全等；2 .相似多邊形如果兩個(gè)多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形.要點(diǎn)詮釋：(1)相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì).(2)相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比.abcd,對于四條線段如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，、3.比例線段：abcd,我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.：=如要點(diǎn)詮釋：abcdad=bc；

3、 (d=也叫第四比例項(xiàng)):(1)若：，貝U 2bcab=bc =acba ,則的比例中項(xiàng))(稱為.、) 若(2:要點(diǎn)二、相似三角形：1.相似三角形的判定如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩 判定方法(一)：.個(gè)三角形相似 要點(diǎn)詮釋：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似判定方法(二)：如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三 角形相似.要點(diǎn)詮釋：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)

4、果可能是錯(cuò)誤的判定方法(三)：如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似相似三角形的性質(zhì)：2. (1)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；(2)相似三角形中的重要線段的比等于相似比；相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對應(yīng)線段(3)相似三角形周長的比等于相似比；(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方。3 .相似多邊形的性質(zhì)：(1)相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.(2)相似多邊形的周長比等于相似比.(3)相似多邊形的面積比等于相似比的平方.要點(diǎn)三、中位線1 .三角形的中位線： 連接三角形兩邊中

5、點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半要點(diǎn)詮釋：(1)三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系(2)三角形的三條中位線把原三角形分成全等的4個(gè)小三角形.因而每個(gè)小三角形的周長為11,每個(gè)小三角形的面積為原三角形面積的原三角形周長的.42 (3)三角形的中位線不同于三角形的中線.2 .梯形的中位線： 連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫梯形的中位線性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底，且等于兩底和的一半3 .三角形的重心概念：三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的重心.1.重心與一邊中點(diǎn)的連線的長是對應(yīng)中線長的性質(zhì)：一I 3要點(diǎn)四、位似1 .

6、位似圖形定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.2 .位似圖形的性質(zhì)：(1)位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；(2)位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；(3)位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行要點(diǎn)五、圖形與坐標(biāo)根據(jù)已知條件，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，是確定點(diǎn)的位置的必經(jīng)過程，只有建立了適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，點(diǎn)的位置才能得以確定，才能使數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合在一起.利用平面直角坐標(biāo)系繪制區(qū)域內(nèi)一些地點(diǎn)分布情況的過程：(1)建立坐標(biāo)系，選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)膮⒄拯c(diǎn)為原點(diǎn)，確定 x軸，y軸的正方向;)根據(jù)具體問

7、題確定適當(dāng)?shù)谋壤撸谧鴺?biāo)軸上標(biāo)出單位長度；2 (.(3)在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出這些點(diǎn)，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)和各個(gè)地點(diǎn)的名稱.1 .點(diǎn)的平移：在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn) (x, y)向右或向左平移 a個(gè)單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn) (x+a, y)或 (x a, y)；將點(diǎn)(x , y)向上或向下平移 b個(gè)單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)(x , y + b)或(x , y b). 要點(diǎn)詮釋：(1)在坐標(biāo)系內(nèi)，左右平移的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：右加左減；(2)在坐標(biāo)系內(nèi)，上下平移的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：上加下減；(3)在坐標(biāo)系內(nèi)，平移的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：沿x軸平移縱坐標(biāo)不變，沿y軸平移橫坐標(biāo)不變.2 .圖形的平移：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果把

8、一個(gè)圖形各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加上(或減去)一個(gè)正數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個(gè)單位長度；如果把它各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加上(或減去)一個(gè)正數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個(gè)單位長度.要點(diǎn)詮釋：(1)平移是圖形的整體位置的移動(dòng)，圖形上各點(diǎn)都發(fā)生相同性質(zhì)的變化，因此圖形的平移問題 可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的平移問題來解決.(2)平移只改變圖形的位置，圖形的大小和形狀不發(fā)生變化【典型例題】類型一、相似圖形及比例線段DE=21. (2016?崇明縣一模)如圖，已知AD II BE II CF,它們依次交直線1、l于點(diǎn)A、B、21EF 5AC=14 ; ED、F C 和點(diǎn)(1)求 AB

9、、BC 的長；(2)如果 AD=7 , CF=14,求 BE 的長.nAB 2而不)由平行線分線段成比例定理和比例的性質(zhì)得出，即可求出AB (1的【思路點(diǎn)撥】 長，彳導(dǎo)出BC的長；(2)過點(diǎn)A作AG II DF交BE于點(diǎn)H,交CF于點(diǎn)G,得出AD=HE=GF=7 ,由平行線分線段成比例定理得出比例式求出 BH,即可得出結(jié)果.【答案與解析】AB_DE 2解：(1) AD / BE / CF, BC , AB 2而7AC=14 , AB=4 ,.BC=144=10;(2)過點(diǎn)A作AG II DF交BE于點(diǎn)H ,交CF于點(diǎn)G,如圖所示:又 AD II BE II CF, AD=7 ,AD=HE=GF

10、=7 ,. CF=14 ,2 .CG=147=7,BH 二 AB /3 . BE II CF, CG -AC 14 .BH=2 ,BE=2 +7=9 .BH【總結(jié)升華】 本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成是解熟練掌握平行線分線段成比例，比例；通過作輔助線運(yùn)用平行線分線段成比例求出決問題的關(guān)鍵.舉一反三BF =【變式】如圖，已知直線 a / b / c,直線mi n與a、b、c分別交于點(diǎn) A、C、E、B、D F, ().36, BD=,則 4AC=, CE=A . 7 B . 7.5 C .8 D . 8.5【答案】B.類型二、相似三角形【高清課堂：相似專題復(fù)習(xí)

11、 關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）ID 號：394502:一一線三等角”問題及例5】2.【答案與解析】 是CD的中點(diǎn)，BP=3PCQ1CPCQABCDPBCBPPCQCQC吃AADg求證：的中點(diǎn)，是，=3上的點(diǎn)，是中，在正方形/QCP=90又ADQ=,. A AD(Q QCP.【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，以及相似三角形的判定A 作 AF II BC3.如圖所示，在 ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是線段BC延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn) 交ED的延長線于點(diǎn) F,連接AE , CF.求證：（1）四邊形AFCE是平行四邊形； FG?BE=CE?AE.【答案與解析】(1)證明：: AF II BC

12、, ./ AFD= / DEC , ,/ FDA= / CDE , D 是 AC 的中點(diǎn)， A ADFA EDC ,AF=CE ,AF II BC ,.四邊形AFCE是平行四邊形；(2)證明：.四邊形 AFCE是平行四邊形, / AFC= / AEC , AF=CE ,AF II BC , ./ FAB= / ABE , . afgs bea , AE BE,AE?BE=AF ?FG：.AE.FG?BE=CE?根據(jù)已【總結(jié)升華】 此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，BEA是解決問題的關(guān)鍵.知得出證明等積式需證明AFGA 舉一反三AE .中，E為BC邊上的一點(diǎn).連結(jié)【變

13、式】在平行四邊形ABCD D ; AB=AE ,求證：/ DAE=/ （1）若FA的值.F,求EF:）若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接 BD ,交AE于（2答案與解析】，中，AD / BC證明：（1 ）在平行四邊形 ABCD ,/ AEB= / EAD，: AE=AB ,;DAE= / D . . /EFBE 二武誣是平行四邊形，2） .四邊,BC, AD=BC .AD II BEFAFD ,的中點(diǎn)，.BC=ADBE= , : 2. EF: FA=1 類型三、中位線與重心D為AC的4.在 ABC中,AC=BC / ACB=90 , (1)如圖1, E為線段DC上任意一點(diǎn)，將線段 DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9

14、0° 得到線段DF,連接CF,過點(diǎn)F作FH, FC,交直線AB于點(diǎn)H.判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證 明；(2)如圖2,若E為線段DC的延長線上任意一點(diǎn)，(1)中的其他條件不變，.明證必不，論結(jié)的你出寫接直，變改生發(fā)否是論結(jié)的出得中)1 (在你.G為定得出點(diǎn)三角形中位線的判于【思路點(diǎn)撥】(1)延長DF交AB點(diǎn)G,根據(jù)位線的性質(zhì)及已知條件AC=BC得出AB的中點(diǎn)，根據(jù)中 DC=DG從而EC=FG易證/ 1 = 2 2=90° -/DFC / CEF=Z FGH=135 ,由 AAS證出 CEF FGH .CF=FH (2)通過證明 CEF FGH導(dǎo)出.【答案與解析】由題意，

15、知/ EDF=/ ACB=90 , DE=DF .DG/ CB, 點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，1AC,且 DC=為 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn)G2 的，中位線DG 為 ABdBCDG. z. 2/AC=BC .DC=DG.DC-DE=DG-DF即 EC=FGEDF=90° , Fhl± FC,. / 1+/CFD=90° , / 2+/CFD=90° , ./ 1=/2. DEF與 ADGIB是等腰直角三角形， DGA=45° , / DEF=/.FGH=135° , ./ CEF之，.CEF FGHCF=FH等.FH與 FC仍然相（2）綜知識(shí)位線， 定

16、理等的判定和性質(zhì)、三角形中等【總結(jié)升華】 考查了全三角形 較大.合性強(qiáng)，難度 舉一反三垂線的平分 BC上，/ ABC為26,點(diǎn)D, E都在邊【變式】如圖， ABC的周長ACB的平分線垂直 于AD,垂足為P,若BC=10,則直于AE,垂足為Q, / PQ的長為（）.35 B.A.C.3 D. 422【答案】C. BQ平分 / ABC, BQL AE,.BAE是等腰三角形，同理 CAD是等腰三角形， 點(diǎn)Q是AE中點(diǎn)，點(diǎn) P是AD中點(diǎn)（三線合一）， .PQ是 ADE的中位線，BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16 .DE=BE+CD-BC=6歌1DE=3.故選C：PQ三2， 5.如圖，

17、梯形ABCD中，AD/ BG E為BC上任意一點(diǎn)，連接AE、 DB G G G分別為 ABE, ADE, DEC的重心，BC=2AD=12梯形的高為 6,求4 32GGG勺面【答案與解析】連接AG并延長交 BC于點(diǎn)F,連接DG并延長交BC于點(diǎn)K,連接EG并延班長交AD于點(diǎn)Q, 交 GG于點(diǎn) P, 31 G G、G分別為 ABE, AADE ADEC的重心，32/lBE, CK=EF= G/ II A ADFKGEC22EF E 長 CFK=BE+ECECBBEBC=2AD=1FK=AAFK=AD=FK=QDK=EEEQ=E6=PE 6X 2=62 質(zhì)性邊行四形的行線的性質(zhì)以及平心 【總結(jié)升華】 考查了三角形重的性質(zhì)、平 用想的應(yīng)合，注意數(shù)形結(jié)思注題難度較大，意掌握輔助線的作法.與判定此類型四、圖形與坐標(biāo) 55BC=6,知 ABC中，AB=2AC=46.已（1）如圖1,點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，在線段 AC上取點(diǎn)N,使 AMN 與 ABC相似，求線段MN的長；（2）如圖2,是由100個(gè)邊長為1的小正方形組成的 10X10的正方形網(wǎng)格，設(shè)頂點(diǎn)在這些小正 方形頂點(diǎn)的三角形為格點(diǎn)三角形.請你在所給的網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)ABC與 ABC全等（畫出一個(gè)即可，不需證