1、第四節第四節 曲面及其方程曲面及其方程一、一、曲面方程的概念曲面方程的概念二、旋轉曲面二、旋轉曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面四、二次曲面一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到兩定點a(1,2,3) 和b(2,-1,4)等距離的點的222)3()2() 1(zyx07262zyx化簡得即說明說明: 動點軌跡為線段 ab 的垂直平分面.引例引例: :顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程, 不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.222)4() 1()2(zyx解解: :設軌跡上的動點為, ),(zyxm,bmam 則軌跡方程. 定義定義1. 1. 0),(zyxfszyxo如果曲面 s 與方程 f

2、( x, y, z ) = 0 有下述關系:(1) 曲面 s 上的任意點的坐標都滿足此方程;則 f( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 s 的的方程方程, 曲面 s 叫做方程 f( x, y, z ) = 0 的圖形圖形.兩個基本問題兩個基本問題 : :(1) 已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2) 不在曲面 s 上的點的坐標不滿足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程時 , 研究它所表示的幾何形狀( 必要時需作圖 ). 故所求方程為例例1. 求動點到定點),(zyxm),(0000zyxm方程. 特別,當m0在原點時,球面方程為解解: 設軌跡上動點為rmm0即依題意距離為 r 的軌跡xy

3、zom0m222yxrz表示上(下)球面 .rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(rzzyyxx2222rzyx例例2. 研究方程024222zxzyx解解: : 配方得5, )1, 0 , 2(0m此方程表示:說明說明: : 如下形式的三元二次方程 ( a 0 )都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面. . 表示怎樣半徑為的球面.0)(222gfzeydxzyxa球心為 一個球面球面, 或點點 , 或虛軌跡虛軌跡.5) 1()2(222zyx定義定義2. . 一條平面曲線二、旋轉曲面二、旋轉曲面 繞其平面上一條定直線定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面旋轉曲

4、面.該定直線稱為旋轉旋轉軸軸 . .例如例如 :機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 建立建立yoz面上曲線面上曲線c 繞繞 z 軸旋轉所成曲面軸旋轉所成曲面的的方程方程:故旋轉曲面方程為, ),(zyxm當繞 z 軸旋轉時,0),(11zyf,), 0(111czym若點給定 yoz 面上曲線 c: ), 0(111zym),(zyxm1221,yyxzz則有0),(22zyxf則有該點轉到0),(zyfozyxc思考：當曲線當曲線 c 繞繞 y 軸旋轉時，方程如何？軸旋轉時，方程如何？0),(:zyfcoyxz0),(22zxyf例例3. 求坐標面yoz 上的橢圓12222bzay繞 z 軸

5、旋轉一周所生成的旋轉曲面方程. 解解: :繞 z 軸旋轉122222bzayx即1222222bzayax這種曲面叫做旋轉橢球面.所成曲面方程為例例4. 求坐標面xoy 上的拋物線)0(22ppyx繞 y 軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程. 解解: :繞 y 軸旋轉pyzx222這種曲面叫做旋轉拋物面.所成曲面方程為例例5. 試建立頂點在原點, 旋轉軸為z 軸, 半頂角為的圓錐面方程. 解解: 在yoz面上直線l 的方程為cotyz 繞z 軸旋轉時,圓錐面的方程為cot22yxz)(2222yxazcota令xyz兩邊平方l), 0(zymxyz三、柱面三、柱面引例引例. 分析方程表示怎樣的曲面

6、 .的坐標也滿足方程222ryx解解: :在 xoy 面上，表示圓c, 222ryx222ryx沿曲線c平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓圓故在空間222ryx過此點作柱面柱面. .對任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面圓柱面oc在圓c上任取一點 , )0 ,(1yxmlm1m),(zyxm點其上所有點的坐標都滿足此方程,xyzxyzol定義3. 平行定直線并沿定曲線 c 移動的直線 l 形成的軌跡叫做柱面柱面. 表示拋物柱面拋物柱面,母線平行于 z 軸;準線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面橢圓柱面.xy2212222byaxz 軸的平面平面.0 yx表示母線平行

7、于 c(且 z 軸在平面上)表示母線平行于c 叫做準線準線, l 叫做母線母線.xyzooxzy2l一般地一般地, ,在三維空間在三維空間柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準線 xoy 面上的曲線 l1.母線準線 yoz 面上的曲線 l2. 母線表示方程0),(yxf表示方程0),(zyg表示方程0),(xzhxyz3lxyz1l例例7. 下列方程各表示何種曲面1) 3(1)2(149) 1 (22222xzzyyx解解: :（1 1）因為方程中缺z z,所以它表示母線平行于z軸的橢圓柱面。橢圓柱面。 （2 2）因為方程中缺x

8、 x,所以它表示母線平行于x軸的雙曲柱面。雙曲柱面。 （3 3）因為方程中缺y y,所以它表示母線平行于y軸的拋物柱面拋物柱面。四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅 就幾種常見標準型的特點進行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面二次曲面. fzxeyxdxyczbyax2220jizhygx(二次項系數不全為 0 )zyx1. 橢球面),(1222222為正數cbaczbyax(1)范圍：czbyax,(2)與坐標面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xc

9、zby 012222yczax1222222czbyax與)(11czzz的交線為橢圓：1zz (4) 當 ab 時為旋轉橢球面;同樣)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當abc 時為球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(為正數)z2. 拋物面zqypx2222(1) 橢圓拋物面( p , q 同號)(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特別,當 p = q 時為繞 z 軸的旋轉拋物面.( p , q 同號)zyx3. 雙曲面(1)(1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓.時, 截痕為2212

10、2221byczax(實軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）1yy zxy),(1222222為正數cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:雙曲線: 虛軸平行于x 軸）by 1)2時, 截痕為0czax)(bby或by 1)3時, 截痕為22122221byczax(實軸平行于z 軸;1yy zxyzxy相交直線: 雙曲線: 0(2) 雙葉雙曲面),(1222222為正數cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區別: 雙曲線zxyo222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面p18 目錄 上頁 下頁 返回 結束 圖形圖形4. 橢圓錐面),(22222為正數bazbyax上的截痕為在平面tz 橢圓在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點的兩直線 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以證明, 橢圓上任一點與原點的連線均在曲面上.xyz內容小結1. 空間曲面三元方程0),(zyxf 球面2202020)()()(rzzyyxx 旋轉曲面如, 曲線00),(xzyf繞 z 軸的旋轉曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxf表示