1、2014年湖南省株洲市中考數學試卷、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分）1. （3 分）（2014?株洲）下列各數中，絕對值最大的數是（B. - 2C. 0D. 12. （3 分）（2014?株洲）x取下列各數中的哪個數時，二次根式B. 0C. 23. （3 分）（2014?株洲）下列說法錯誤的是（3有思義（）D. 4A.必然事件的概率為1B.數據1、2、2、3的平均數是C.數據5、2、- 3、0的極差是D.如果某種游戲活動的中獎率為40%,那么參加這種活動10次必有4次中獎4. （3分）（2014?株洲）已知反比例函數y二的圖象經過點（2, 3）,那么下列四個點中，也在這個函數圖象上的

2、是（A . （ 6, 1）B. （1,6）C. （2, - 3）D. （3, - 2）5. （3分）（2014琳洲）下列幾何體中，有一個幾何體的主視圖與俯視圖的形狀不一樣，這6.7.個幾何體是（A .正方體（3分）（3分）（2014?株洲）次不等式組2x+l>0工一 540的解集中,整數解的個數是（8. 5C. 6D. 7（2014?株洲）已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從 AB=BC ,/ ABC=90 °,AC=BD ,ACBD四個條件中,選兩個作為補充條件后， 使得四邊形ABCD是正方形,現有下列四種選法，其中錯誤的是（B.選C.選D.選8. （3分）（2014?株洲）

3、在平面直角坐標系中，孔明做走棋的游戲，其走法是：棋子從原點出發，第1步向右走1個單位，第2步向右走2個單位，第3步向上走1個單位，第4步向右走1個單位依此類推，第n步的走法是：當n能被3整除時，則向上走1個單位；當n 被3除，余數為1時，則向右走1個單位；當n被3除，余數為2時，則向右走2個單位，當走完第100步時，棋子所處位置的坐標是（）A. (66, 34)B. (67, 33)C. (100, 33)D. (99, 34)二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分)9. （3 分）（2014?株洲）計算：2m2?m8=10. （3分）（2014?株洲）據教育部統計，參加2014年全國高

4、等學校招生考試的考生約為9390000人，用科學記數法表示9390000是11. （3分）（2014?株洲）如圖，點 A、B、C都在圓 O上，如果/ AOB+ /ACB=84°,那么12. （3分）（2014?株洲）某校根據去年初三學生參加中考的數學成績的等級，繪制成如圖的扇形統計圖，則圖中表示 A等級的扇形的圓心角的大小為13. （3分）（2014?株洲）孔明同學在距某電視塔塔底水平距離500米處，看塔頂的仰角為20。（不考慮身高因素），則此塔高約為 米（結果保留整數，參考數據：sin20 0 03420, sin70° 0.9397, tan20° 0.364

5、0, tan70° 2.7475）.14. （3 分）（2014?株洲）分解因式：x2+3x （x3） - 9=.15. （3 分）（2014?株洲）直線 y=k1x+b1 （k1>0）與 y=k2x+b2 （k2v 0）相交于點（-2, 0）, 且兩直線與y軸圍城的三角形面積為4,那么b1-b2等于.16. （3分）（2014?株洲）如果函數y= （a-1） x2+3x+的圖象經過平面直角坐標系的四個象限，那么a的取值范圍是.三、解答題（共8小題，滿分52分）17. （4 分）（2014?株洲）計算：V16+ （兀3） 0- tan450.八 I 4J-118. 4分 201

6、4?株洲 先化簡，再求值：-?- 3 x-1 ,其中x=2.K-1219. （6分）（2014?株洲）我市通過網絡投票選出了一批最有孝心的美少年根據各縣市區的入選結果制作出如下統計表，后來發現，統計表中前三行的所有數據都是正確的，后三行中有一個數據是錯誤的.請回答下列問題：（1） 統計表中 a=, b=;（2）統計表后三行中哪一個數據是錯誤的？該數據的正確值是多少？（3）株洲市決定從來自炎陵縣的4位最有孝心的美少年”中，任選兩位作為市級形象代言人.A、B是炎陵縣 最有孝心的美少年”中的兩位，問A、B同時入選的概率是多少？區域頻數頻率炎陵縣4a茶陵縣50.125攸縣b0.15醴陵市80.2株洲縣

7、50.125株洲市城區120.2520. （6分）（2014?株洲）家住山腳下的孔明同學想從家出發登山游玩，據以往的經驗，他獲得如下信息：（1）他下山時的速度比上山時的速度每小時快1千米；（2）他上山2小時到達的位置，離山頂還有 1千米；(3)抄近路下山，下山路程比上山路程近2千米；(4)下山用1個小時；根據上面信息，他作出如下計劃：(1)在山頂游覽1個小時；(2)中午12: 00回到家吃中餐.若依據以上信息和計劃登山游玩，請問：孔明同學應該在什么時間從家出發?21. (6分)(2014?株洲)已知關于 x的一元二次方程(a+c) x2+2bx+ (a-c) =0,其中a、 b、c分別為 AB

8、C三邊的長.(1)如果x=- 1是方程的根，試判斷 ABC的形狀，并說明理由；(2)如果方程有兩個相等的實數根，試判斷ABC的形狀，并說明理由；(3)如果 ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根.22. (8分)(2014?株洲)如圖，在 RtAABC中，/ C=90°, / A的平分線交 BC于點E,EFXAB于點F,點F恰好是AB的一個三等分點(AF>BF).(1)求證： ACEA AFE ;23. (8分)(2014琳洲)如圖，PQ為圓O的直徑，點B在線段PQ的延長線上，OQ=QB=1 ,動點A在圓O的上半圓運動(含 P、Q兩點)，以線段AB為邊向上作等邊三角形 A

9、BC .(1)當線段AB所在的直線與圓。相切時，求 ABC的面積(圖1);(2)設/ AOB= "，當線段AB、與圓。只有一個公共點(即 A點)時，求a的范圍(圖2,直接寫出答案)；(3)當線段AB與圓O有兩個公共點 A、M時，如果AO XPM于點N ,求CM的長度(圖3).C卻鄴郢224. (10分)(2014?株洲)已知拋物線 y=x -%+7 一一(k+2) x+ 和直線 y= (k+1) x+ (k+1)4(1)求證：無論k取何實數值，拋物線總與 x軸有兩個不同的交點;(2)拋物線于x軸交于點A、B,直線與x軸交于點C,設A、B、C三點的橫坐標分別是XI、x2、x3,求 X1

10、?X2?X3 的最大值；(3)如果拋物線與x軸的交點A、B在原點的右邊，直線與 x軸的交點C在原點的左邊， 又拋物線、直線分別交y軸于點D、E,直線AD交直線CE于點G(如圖)，且CA ?GE=CG ?AB , 求拋物線的解析式.2014年湖南省株洲市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分）1. （3分）（2014?株洲）下列各數中，絕對值最大的數是（）A . - 3B. -2C. 0D. 1考點：絕對值；有理數大小比較分析：根據絕對值是實數軸上的點到原點的距離，可得答案.解答：解：| 3|>| 2|>> |0|,故選：A .點評：本題考查

11、了絕對值，絕對值是實數軸上的點到原點的距離.2. （3分）（2014?株洲）x取下列各數中的哪個數時，二次根式_ 3有意義（）A . - 2B.0C. 2D. 4考點：二次根式有意義的條件.分析：二次根式的被開方數是非負數.解答：解：依題意，得x- 3池解得，xm.觀察選項，只有 D符合題意.故選：D.點評：考查了二次根式的意義和性質.概念：式子 Va （a%）叫二次根式.性質：二次根式 中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義.A.必然事件的概率為1B.數據1、2、2、3的平均數是C.數據5、2、- 3、0的極差是D.如果某種游戲活動的中獎率為3. （3分）（2014?株洲）下列說法錯誤

12、的是（ 2840%,那么參加這種活動 10次必有4次中獎考點：概率的意義；算術平均數；極差；隨機事件 分析：A .根據必然事件和概率的意義判斷即可；B.根據平均數的秋乏判斷即可；C.求出極差判斷即可；D.根據概率的意義判斷即可.解答：解：A.概率值反映了事件發生的機會的大小，必然事件是一定發生的事件，所以概 率為1,本項正確；1+2+2+3B.數據1、2、2、3的平均數是J =2,本項正確；C.這些數據的極差為 5-（-3） =8,故本項正確;D.某種游戲活動的中獎率為40%,屬于不確定事件，可能中獎，也可能不中獎，故本說法錯誤， 故選：D.點評：本題主要考查了概率的意義、求算術平均數以及極差

13、的方法，比較簡單.4. （3分）（2014?株洲）已知反比例函數 y=的圖象經過點（2, 3）,那么下列四個點中，也在這個函數圖象上的是（）A. （-6, 1）B. （1, 6）C. （2, -3）D, （3, -2）考點：反比例函數圖象上點的坐標特征.分析：先根據點（2, 3）,在反比例函數y=的圖象上求出k的值，再根據k=xy的特點對各 選項進行逐一判斷.解答：解：.反比例函數y=的圖象經過點（2, 3）,k=2 X3=6,A、6） X1= - 6布，此點不在反比例函數圖象上；B、14=6, 此點在反比例函數圖象上；C> 2X（ - 3） =-6方，此點不在反比例函數圖象上；D、,3

14、X（-2） =- 6布，此點不在反比例函數圖象上.故選B.點評：本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數中 k=xy的特點是解 答此題的關鍵.5. （3分）（2014琳洲）下列幾何體中，有一個幾何體的主視圖與俯視圖的形狀不一樣，這D.球考點：簡單幾何體的三視圖.分析：根據從正面看得到的圖形是主視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案.解答：解：A、主視圖、俯視圖都是正方形，故 A不符合題意；B、主視圖、俯視圖都是矩形，故B不符合題意；C、主視圖是三角形、俯視圖是圓形，故C符合題意；D、主視圖、俯視圖都是圓，故 D不符合題意；故選：C.點評：本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面

15、看得到的圖形是主視圖，從上面看得到的圖 形是俯視圖.6. （3分）（2014?株洲）一元一次不等式組pK+l>0I k- 540的解集中，整數解的個數是（）A 4B 5C 6D 7考點： 一 元一次不等式組的整數解分析：先 求出不等式的解集，再求出不等式組的解集，找出不等式組的整數解即可解答：解：,解不等式2x+1>0得：x>-, 解不等式x-5碼得：x苞，不等式組的解集是-v x通，整數解為0， 1 ， 2， 3， 4， 5，共 6 個，故選C點評： 本 題考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式組的應用，解此題的關鍵是求出不等式組的解集7 （ 3 分） （ 2014?株洲

16、）已知四邊形AC=BD ,ACBD四個條件中, 現有下列四種選法，其中錯誤的是（ABCD是平行四邊形，再從 AB=BC ,/ ABC=90 °, 選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD 是正方形，）A 選 B 選 C 選 D 選 考點： 正 方形的判定；平行四邊形的性質分析：要 判定是正方形，則需能判定它既是菱形又是矩形解答：解：A、由得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD 是正方形，正確，故本選項不符合題意；B、由得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以不能得出平行四邊形ABCD 是正方形

17、，錯誤，故本選項符合題意；C、由得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD 是正方形，正確，故本選項不符合題意；D、由得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由得對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以平行四邊形ABCD 是正方形，正確，故本選項不符合題意故選B點評： 本 題考查了正方形的判定方法：先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角.還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定.8 （ 3 分） （ 2014 ?株洲）在平面直角坐標系中，孔明做走棋的游戲，其走法是：棋子從原點出發，

18、 第 1 步向右走1 個單位，第 2 步向右走2 個單位，第 3 步向上走1 個單位， 第 4步向右走1個單位依此類推，第n步的走法是：當n能被3整除時，則向上走1個單位；當n被 3 除，余數為1 時，則向右走1 個單位；當n 被 3 除，余數為2 時，則向右走2 個單位，當走完第100 步時，棋子所處位置的坐標是（）A （66，34）B（67，33）C（100，33）D（99，34）考點 ： 坐 標確定位置；規律型：點的坐標分析： 根 據走法，每3 步為一個循環組依次循環，且一個循環組內向右3 個單位，向上1 個單位，用100 除以3，然后根據商和余數的情況確定出所處位置的橫坐標與縱坐標即可

19、解答：解：由題意得，每3步為一個循環組依次循環，且一個循環組內向右3個單位，向上1個單位，1003=33 余 1,，走完第100步，為第34個循環組的第1步，所處位置的橫坐標為 33X3+1=100,縱坐標為33X1=33,，棋子所處位置的坐標是（100, 33）.故選C.點評：本題考查了坐標確定位置，點的坐標的規律變化，讀懂題目信息并理解每3步為一個循環組依次循環是解題的關鍵.二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）9. （3 分）（2014?株洲）計算：2m2?m8= 2m10 .考點：單項式乘單項式.分析：先求出結果的系數，再根據同底數哥的乘法進行計算即可.解答：解：2m2?m8=

20、2m10, 故答案為：2m10.點評：本題考查了單項式乘以單項式，同底數哥的乘法的應用，主要考查學生的計算能力.10. （3分）（2014?株洲）據教育部統計，參加2014年全國高等學校招生考試的考生約為9390000人，用科學記數法表示 9390000是 9.39M06 .考點：科學記數法一表示較大的數.分析：科學記數法的表示形式為 aM0n的形式，其中10a|v 10, n為整數.確定n的值時， 要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值1時，n是正數；當原數的絕對值v 1時，n是負數.解答：解：將9390000用科學記數法表示為：9.39M06

21、.故答案為：9.39X106.點評：此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為aM0n的形式，其中1ga|<10, n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.11. （3分）（2014?株洲）如圖，點 A、B、C都在圓 O上，如果/ AOB+ /ACB=84°,那么 /ACB的大小是 28° .考點：圓周角定理.分析：根據圓周角定理即可推出/ AOB=2 /ACB ,再代入/ AOB+ / ACB=84。通過計算即可 得出結果.解答：解：/ AOB=2 / ACB , / AOB+ / ACB=84 ° 3/ACB=84 ° ./

22、ACB=28 °.故答案為：28°.點評：此題主要考查圓周角定理，關鍵在于找出兩個角之間的關系，利用代換的方法結論.12. （3分）（2014?株洲）某校根據去年初三學生參加中考的數學成績的等級，繪制成如圖 的扇形統計圖，則圖中表示 A等級的扇形的圓心角的大小為108。 .考點：扇形統計圖.分析：根據C等級的人數與所占的百分比計算出參加中考的人數，再求出 A等級所占的百分比，然后乘以360。計算即可得解.解答：解：參加中考的人數為：60妥0%=300人，A等級所占的百分比為： 素M00%=30% ,所以，表示 A等級的扇形的圓心角的大小為360°X30%=108&

23、#176;.故答案為：108°.點評：本題考查扇形統計圖及相關計算.在扇形統計圖中，每部分占總部分的百分比等于該部分所對應的扇形圓心角的度數與360°的比.13. （3分）（2014?株洲）孔明同學在距某電視塔塔底水平距離500米處，看塔頂的仰角為20° （不考慮身高因素），則此塔高約為 182米（結果保留整數，參考數據：sin20 ° 0.3420, sin70° 0.9397, tan20° 0.3640, tan70° 2.7475）.考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題.分析：作出圖形，可得 AB=500米，/A=

24、20°,在RtAABC中，利用三角函數即可求得BC的長度.解答：解：在RtAABC中，AB=500 米，/ BAC=20 °,4=tan20ALBC=ACtan20 =500 >0.3640=182 （米）.故答案為：182.點評：本題考查了解直角三角形的應用，關鍵是根據仰角構造直角三角形，利用三角函數求 解.14. (3 分)(2014?株洲)分解因式：x2+3x (x3) - 9=(x - 3) (4x+3)考點：因式分解-十字相乘法等.分析：首先將首尾兩項分解因式，進而提取公因式合并同類項得出即可.解答：解：x2+3x (x 3)9=x2 - 9+3x (x -

25、 3)=(x-3) (x+3) +3x (x-3)=(x - 3) (x+3+3x )=(x - 3) (4x+3).故答案為：(x-3) (4x+3).點評：此題主要考查了分組分解法分解因式，正確分組得出是解題關鍵.15. (3 分)(2014?株洲)直線 y=kix+bi (ki>0)與 y=k2x+b2 (k2V 0)相交于點(-2, 0), 且兩直線與y軸圍城的三角形面積為4,那么b1-b2等于 4 .考點：兩條直線相交或平行問題.分析：根據解析式求得與坐標軸的交點，從而求得三角形的邊長，然后依據三角形的面積公 式即可求得.解答：解：如圖，直線 y=k 1x+b 1 (k1>

26、;0)與y軸交于B點，貝U OB=b1，直線y=k2x+b2 ( k2 v 0)與y軸交于C,則OC= - b2,.ABC的面積為4,OA?OB+曰><2電+=乂2（b?） =4,解得：b1 - b2=4.故答案為4.r點評：本題考查了一次函數與坐標軸的交點以及數形結合思想的應用.解決此類問題關鍵是仔細觀察圖形，注意幾個關鍵點(交點、原點等),做到數形結合.16. (3分)(2014?株洲)如果函數y= (a-1) x2+3x+-也的圖象經過平面直角坐標系的四 _ 1個象限，那么a的取值范圍是 av - 5 .考點：拋物線與x軸的交點 分析：函數圖象經過四個象限，需滿足 3個條件：

27、(I)函數是二次函數；(II)二次函數與x軸有兩個交點；(III)二次函數與y軸的正半軸相交.解答：解：函數圖象經過四個象限，需滿足3個條件:(I)函數是二次函數.因此 a-1為，即a月(II)二次函數與 x軸有兩個交點.因此 =9-4 (a- 1)/5 = 4a- 11 > 0,解得-ty>0,解得 a>1 或 av 5a< 一(III)二次函數與y軸的正半軸相交.因此綜合式，可得：a< -5.故答案為：av-5.點評：本題考查二次函數的圖象與性質、二次函數與x軸的交點、二次函數與 y軸交點等知識點，解題關鍵是確定 函數圖象經過四個象限”所滿足的條件.三、解答題

28、(共8小題，滿分52"17. (4 分)(2014?株洲)計算：V16+ (兀3) 0- tan45°.考點：實數的運算；零指數哥；特殊角的三角函數值.專題：計算題.分析：原式第一項利用平方根定義化簡，第二項利用零指數哥法則計算，最后一項利用特殊 角的三角函數值計算即可得到結果.解答：解：原式=4+1 -1=4.點評：此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.3 (x 1),其中 x=2 .18. （4分）（2014?株洲）先化簡，再求值:考點：分式的化簡求值.專題：計算題.分析：原式第一項約分，去括號合并得到最簡結果，將x的值代入計算即可求出值.解答：解：原式

29、=_?上乜?"7 3x+3 x - 12=2x+2 - 3x+3=5 - x, 當x=2時，原式=5-2=3.點評：此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.19. （6分）（2014?株洲）我市通過網絡投票選出了一批最有孝心的美少年根據各縣市區的入選結果制作出如下統計表，后來發現，統計表中前三行的所有數據都是正確的，后三行中有一個數據是錯誤的.請回答下列問題：（1）統計表中 a= 0.1, b= 6 ;（2）統計表后三行中哪一個數據是錯誤的？該數據的正確值是多少？（3）株洲市決定從來自炎陵縣的4位最有孝心的美少年”中，任選兩位作為市級形象代言人.A、B是炎陵縣 最有

30、孝心的美少年”中的兩位，問A、B同時入選的概率是多少？區域頻數頻率炎陵縣4a茶陵縣50.125攸縣b0.15醴陵市80.2株洲縣50.125株洲市城區120.25考點：頻數（率）分布表；列表法與樹狀圖法.分析：（1）由茶陵縣頻數為 5,頻率為0.125,求出數據總數，再用4除以數據總數求出 a的值，用數據總數乘 0.15得到b的值；（2）根據各組頻數之和等于數據總數可知各組頻數正確，根據頻率=頻數哪據總數可知株洲市城區對應頻率錯誤，進而求出正確值；（3）設來自炎陵縣的4位 最有孝心的美少年”為A、B、C、D,根據題意列出表格， 然后由表格求得所有等可能的結果與A、B同時入選的情況，再利用概率公

31、式即可求得答案.解答：解：（1）二.茶陵縣頻數為 5,頻率為0.125,，數據總數為 5書.125=40,a=440=0.1 , b=40 >0.15=6.故答案為0.1, 6;(2) .4+5+6+8+5+12=40 ,各組頻數正確， 1240=0.30.25,0.3;A、B同時入選的概率是:D,列表如下:株洲市城區對應頻率0.25這個數據是錯誤的，該數據的正確值是2.12點評：本題考查讀頻數（率）分布表的能力和列表法與樹狀圖法.同時考查了概率公式.用 到的知識點：頻率=頻數況、數，各組頻數之和等于數據總數，概率=所求情況數與總情況數之比.20. （6分）（2014?株洲）家住山腳下的

32、孔明同學想從家出發登山游玩，據以往的經驗，他 獲得如下信息：（1）他下山時的速度比上山時的速度每小時快1千米；（2）他上山2小時到達的位置，離山頂還有 1千米；（3）抄近路下山，下山路程比上山路程近2千米；（4）下山用1個小時；根據上面信息，他作出如下計劃：（1）在山頂游覽1個小時；（2）中午12: 00回到家吃中餐.若依據以上信息和計劃登山游玩，請問：孔明同學應該在什么時間從家出發？ 考點：一元一次方程的應用.分析：由（1）得v下=（v上+1）千米/小時.由（2）得S=2v上+1由（3）、（4）得 2v 上 +1=v 下+2.根據S=vt求得計劃上、下山的時間，然后可以得到共需的時間為：上、

33、下上時間+山頂游覽時間. 解答：解：設上山的速度為 V,下山的速度為（v+1）,則2v+1=v+1+2 ,解得v=2.即上山速度是2千米/小時.則下山的速度是3千米/小時，山高為5千米.則計劃上山的時間為：52=2.5 （小時），計劃下山的時間為：1小時，則共用時間為：2.5+1 + 1=4.5 （小時），所以出發時間為：12: 00-4小時30分鐘=7: 30.答：孔明同學應該在7 點 30 分從家出發點評： 本 題考查了應用題該題的信息量很大，是不常見的應用題需要進行相關的信息整理，只有理清了它們的關系，才能正確解題21. (6分)(2014?株洲)已知關于 x的一元二次方程(a+c) x

34、2+2bx+ (a-c) =0,其中a、 b、c分別為 ABC三邊的長.(1)如果x=- 1是方程的根，試判斷 ABC的形狀，并說明理由；(2)如果方程有兩個相等的實數根，試判斷ABC的形狀，并說明理由；(3)如果 ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根.考點 ： 一 元二次方程的應用分析：(1)直接將x=-1代入得出關于a, b的等式，進而得出a=b,即可判斷 ABC的形 狀；(2)利用根的判別式進而得出關于a, b, c的等式，進而判斷 ABC的形狀；(3)利用 ABC是等邊三角形，則 a=b=c,進而代入方程求出即可.解答：解：(1) ABC是等腰三角形；理由：. x= - 1是方

35、程的根，(a+c) x( T) 2 - 2b+ (a- c) =0,a+c - 2b+a c=0,a- b=0, a=b,. .ABC是等腰三角形；(2)二,方程有兩個相等的實數根，(2b) 2-4 (a+c) (a-c) =0,4b2- 4a2+4c2=0,a2=b2+c2,. .ABC是直角三角形；(3)當 ABC是等邊三角形，.( a+c) x2+2bx+ (a- c) =0,可整理為：2ax 2+2ax=0，x2+x=0,解得：x1=0, x2= - 1 .點評： 此 題主要考查了一元二次方程的應用以及根的判別式和勾股定理逆定理等知識，正確由已知獲取等量關系是解題關鍵22. (8分)(

36、2014?株洲)如圖，在 RtAABC中，/ C=90°, / A的平分線交 BC于點E, EFXAB于點F,點F恰好是AB的一個三等分點(AF>BF).(1)求證： ACEA AFE ;(2)求 tan/CAE 的值.考點：全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；勾股定理；銳角三角函數的定義分析:（1）根據角的平分線的性質可求得CE=EF,然后根據直角三角形的判定定理求得三角形全等.（2）由 ACEA AFE ,得出 AC=AF , CE=EF,設 BF=m ,貝U AC=2m , AF=2mAB=3m ,根據勾股定理可求得，tan/ B=,CE=EF=42,在 RTA AC

37、E 中,Vstan/Cy：2a三旭2m 5解答:(1)證明：AE 是 / BAC 的平分線，EC，AC, EFXAF ,CE=EF,在 RtAACE 與 RtAAFE 中，AE-AE RtAACERtA AFE (HL);(2)解：由(1)可知 ACEA AFE, AC=AF , CE=EF,設 BF=m ,貝U AC=2m , AF=2m , AB=3m ,BC=J&B 之一AC 用9, 4mHlm，在 RTA ABC 中，tan/B=AC 2m 2在 RTA EFB 中，EF=BF?tan/CE=EF=2m在 RTAACE 中，tan/CAE=AC 2m 5 .tan/ CAE=5

38、點評：本題考查了直角三角形的判定、性質和利用三角函數解直角三角形，根據已知條件表示出線段的值是解本題的關鍵.23. （8分）（2014琳洲）如圖，PQ為圓O的直徑，點B在線段PQ的延長線上，OQ=QB=1 , 動點A在圓O的上半圓運動（含 P、Q兩點），以線段AB為邊向上作等邊三角形 ABC .（1）當線段AB所在的直線與圓。相切時，求 ABC的面積（圖1）;（2）設/ AOB二% 當線段AB、與圓。只有一個公共點（即 A點）時，求a的范圍（圖2, 直接寫出答案）；（3）當線段AB與圓O有兩個公共點 A、M時，如果AO XPM于點N ,求CM的長度（圖 3）.考點：圓的綜合題；等邊三角形的性質

39、；勾股定理；切線的性質；相似三角形的判定與性質； 特殊角的三角函數值.專題：綜合題；動點型.分析：（1）連接OA ,如下圖1 ,根據條件可求出 AB ,然后AC的高BH ,求出BH就可以 求出 ABC的面積.（2）如下圖2,首先考慮臨界位置：當點 A與點Q重合時，線段 AB與圓O只有一 個公共點，此時 a=0。；當線段AB所在的直線與圓 。相切時，線段 AB與圓。只有 一個公共點，此時 a=60°.從而定出a的范圍.（3）設AO與PM的交點為D,連接MQ,如下圖3,易證AO / MQ ,從而得到 PDOspmq, BMQsBAO,又 PO=OQ=BQ ,從而可以求出 MQ、OD ,進

40、而 求出PD、DM、AM、CM的值.解答：解：（1）連接OA,過點B作BH XAC ,垂足為H,如圖1所示. AB與。O相切于點A , OAXAB . ./ OAB=90 °.OQ=QB=1 , OA=1 .AB=.二, J=L ： j=Vs.ABC是等邊三角形，AC=AB= |V3, / CAB=60 °.LTD. sin/ HAB=, ABHB=AB ?sin/HAB=份渣2=. Sa abc=AC?BH= J3X=q. abc的面積為九5(2)當點A與點Q重合時，線段AB與圓O只有一個公共點，此時 爐0°當線段Aib所在的直線與圓 O相切時，如圖2所示, 線

41、段Aib與圓O只有一個公共點，此時 OAiBAi, OAi=1, OB=2 ,.一 A1 . cos/ AiOB=-=OB ,AiOB=60 °.當線段ab與圓O只有一個公共點(即 A點)時，a的范圍為：0° W6真(3)連接MQ ,如圖3所示.PQ是。O的直徑， ./ PMQ=90 °. oaxpm , ./ PDO=90°. ./ PDO=/ PMQ. . PDOA PMQ .JPM MQ PQ PO=OQ=PQ .PD=PM , OD=MQ .同理：mq=ao , bm=ab . AO=1 ,MQ=.OD=. . / PDO=90 °, PO=1 , OD=,. PD=21.4PM=-.2DM= 1 !，.4 . / ADM=90 °, AD=A0 OD=,AM= Jad'd/=：”=2.ABC是等邊三角形， AC=AB=BC , / CAB=60 BM=AB , AM=BM . CM ± AB .: AM=垂，2 .bm=