1、2.5 兩個重要極限兩個重要極限一、極限存在準則一、極限存在準則二、二、 兩個重要極限兩個重要極限三三、 小結小結一、極限存在準則一、極限存在準則1.夾逼準則（或夾逼準則（或 兩邊夾法則）兩邊夾法則）準則準則i i 如果數列如果數列nnyx ,及及nz滿滿足下列條件足下列條件: : 那末數列那末數列nx的極限存在的極限存在 , , )3 , 2 , 1()1(n = =l nnnyxz)2(lim,lim,nnnnyaza=且且lim.nnxa= =本準則可以推廣到函數的極限本準則可以推廣到函數的極限. 且等于且等于a. . 那末那末 存在存在, , 0()lim( )xxxf x或或準則準則

2、 i和和準則準則i 稱為稱為夾逼準則夾逼準則.注意注意: :鍵是構造鍵是構造利用夾逼準則求極限關利用夾逼準則求極限關,與與出出nynz的極限是的極限是易求的易求的.與與并且并且nynz準則準則 如果當如果當( (或或) )時時, ,有有00()xux i i|xm (1)( )( )( )g xf xh x00()()(2) lim( ), lim( ),xxxxxxg xah xa=或或或或222111lim().12nnnnnll求求解解22111nnnll2limnnnn 又又, 1= =2lim1nnn , 1= =由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222= = nnn

3、nnl例例12,1nn 2nnn 1lim11nn= = 21lim11nn= = x1x2x3x1 nxnx2.單調有界準則單調有界準則滿滿足足條條件件如如果果數數列列nx121,nnxxxx llll單調增加單調增加,121ll nnxxxx單調減少單調減少單調單調數列數列幾何解釋幾何解釋: :am準則準則ii 單調有界數列必有極限單調有界數列必有極限.1）單調增加且有上界數列必有極限）單調增加且有上界數列必有極限2）單調減少且有下界數列必有極限）單調減少且有下界數列必有極限二、兩個重要極限二、兩個重要極限011sin( )limxxx= =注意注意 1）特點是特點是002）0sinlim

4、1=例例2 求極限求極限xxxtanlim0解解 0tanlimxxx例例3 求求xxxarcsinlim0解解令令.,arcsin00= =txxt時時則則所以所以0arcsinlimxxx0sinlim1cosxxxx=0lim1sinttt=解解2202sin2limxxx= =原原式式220)2(2sinlim21xxx= =20)22sin(lim21xxx= =2121 = =.21= =例例4201coslim.xxx 求求注意：變量代換注意：變量代換也是一種很有用也是一種很有用的方法的方法例5. 求求1limsin.xxx解解: 1limsinxxx1sinlim1xxx= =

5、1=例例6. 求0tanlim.tanxxxxx 解解:原式0tan1limtan1xxxxx = = 0= =1lim(1)nnen=1(2)lim(1),xxex=10lim(1)xxxe=特點特點e)11(lim)2(=e)1(lim10=1 (1) 型型,解解例例7 7 求求1lim(1) .xxx 原式原式11lim(1)xxx= 1lim1(1)xxx = = 1.e= =解解例例8 8 求求23lim().2xxxx 原式原式2 2411lim(1) (1)22xxxx=2.e= =21lim(1)2xxx= 1cos 0 xx，時2211 )1(cos1 )(cos xxxx=

6、21cos1cos1 )1(cos1 xxxx=210 )(coslimxxx求) 1 ( , 211coslim , )1(cos1 lim201cos10=xxexxxx又2110 )(cos lim2= exxx故常用的方法例例9解解練習練習cot0lim(1 sin ).xxx解解:cot0lim(1 sin )xxxcos1sin0lim (1 sin )=xxxx= e三、小結三、小結2. 兩個重要極限兩個重要極限1. 夾逼準則夾逼準則設設 為為某過程（例如，某過程（例如， 、 等）等）中的無窮小中的無窮小. 0 xxx 1sinlim) 1 (0=e)11(lim)2(=或e)1

7、(lim10=作業：作業：2.5，第三大題不要求，第三大題不要求思考與練習填空題填空題 ( 14 );_sinlim. 1=xxx;_1sinlim. 2=xxx;_1sinlim. 30=xxx;_)11 (lim. 4=nnn0101elim=x求求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx=)sin1(2xe=xx22sinx2sin1._3cotlim40= = xxx、一、填空題一、填空題: :._sinlim10= =xxx 、._3sin2sinlim20= =xxx、._2sinlim5= = xxx、._)1(lim610= = xxx、._cotlim30= =xxarcx、練習題練習題xxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72= = xxxx、._)11(lim8= = xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、nnnn)11(lim42 、二、求下列極限二、求下列極限一、一、1 1、 ； 2 2、32； 3 3、1