1、.人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納和典型例題（一）知識(shí)結(jié)構(gòu)現(xiàn)實(shí)世界中的反比例函數(shù)反1:匕例關(guān)系J11實(shí)際應(yīng)用反比例函數(shù)的7.圖家和性質(zhì)（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1 理解并掌握反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式FIy x （k為常數(shù)，鳥H 0）,能判斷一個(gè)給定函數(shù)是否為反比例函數(shù).2 能描點(diǎn)畫出反比例函數(shù)的圖象，會(huì)用代定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，進(jìn)一步理 解函數(shù)的三種表示方法，即列表法、解析式法和圖象法的各自特點(diǎn).k 3 能根據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合地分析并掌握反比例函數(shù)X （ k為常數(shù)，上）的函數(shù)關(guān)系和性質(zhì)，能利用這些函數(shù)性質(zhì)分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.4 對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，能

2、找出常量和變量，建立并表示函數(shù)模型，討論函數(shù)模型，解決實(shí) 際問(wèn)題”的過(guò)程，體會(huì)函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.5 進(jìn)一步理解常量與變量的辨證關(guān)系和反映在函數(shù)概念中的運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)，進(jìn)一步認(rèn) 識(shí)數(shù)形結(jié)合的思想方法.（三）重點(diǎn)難點(diǎn)1 重點(diǎn)是反比例函數(shù)的概念的理解和掌握，反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的理解、掌握 和運(yùn)用.2 難點(diǎn)是反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)的理解和掌握.二、基礎(chǔ)知識(shí)（一）反比例函數(shù)的概念k，注意自變量 x的指數(shù)為1 ,i. » x（上hQ）可以寫成y= （上hQ）的形式在解決有關(guān)自變量指數(shù)問(wèn)題時(shí)應(yīng)特別注意系數(shù)這一限制條件;k y- 2. 3 反比例函數(shù) X的自變量，故函

3、數(shù)圖象與x軸、y軸無(wú)交點(diǎn).X （上豐Q ）也可以寫成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k,從而得到反比例函數(shù)的解析式;（二）反比例函數(shù)的圖象在用描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)kyX的圖象時(shí)，應(yīng)注意自變量x的取值不能為0 ,且x應(yīng)對(duì)稱取點(diǎn)（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（三）反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)1.函數(shù)解析式:2 .自變量的取值范圍:3 .圖象:（1 ）圖象的形狀：雙曲線.越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直."-越小,圖象的彎曲度越大.（2）圖象的位置和性質(zhì):與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，稱兩條坐標(biāo)軸是雙曲線的漸近線.y隨x的增大而減小;y隨x的增大而增大.當(dāng) - 1時(shí)，圖象的兩支分別位于一、三象限；

4、在每個(gè)象限內(nèi),當(dāng)；1時(shí)，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi),（3）對(duì)稱性：圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即若（ a, b）在雙曲線的一支上，U （至，） 在雙曲線的另一支上.圖象關(guān)于直線上-對(duì)稱，即若（a, b）在雙曲線的一支上，則（，）和（一丿）在雙曲線的另一支上.4. k的幾何意義k丿=一如圖1,設(shè)點(diǎn)P (a, b)是雙曲線X上任意一點(diǎn)，作 PA±x軸于A點(diǎn)，PB丄y軸于B點(diǎn)，則矩形PBOA的面積是陽(yáng)(三角形PAO和三角形PBO的面積都是訥).如圖2,由雙曲線的對(duì)稱性可知，P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) Q也在雙曲線上，作 QC丄PA的圖1圖25 說(shuō)明：當(dāng)何占v°時(shí)，兩圖象沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)

5、 耐乜時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩 個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.(3) 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系.(四) 實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù)1求函數(shù)解析式的方法：(1) 待定系數(shù)法；(2 )根據(jù)實(shí)際意義列函數(shù)解析式.2 .注意學(xué)科間知識(shí)的綜合，但重點(diǎn)放在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的研究上.(五) 充分利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題.三、例題分析1 反比例函數(shù)的概念(1)下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是().A. y=3xy-3=2xC. 3xy=1A.1B .1 y=X(2)下列函數(shù)中,答案：(1) C; (2) A .y是x的反比例函數(shù)的是(C.2 .圖象和性質(zhì)(1 )已知函數(shù)是反比例函數(shù),過(guò)第若它的圖象在第二、四象限內(nèi)

6、,若y隨x的增大而減小，那么(2)已知一次函數(shù)象限.象限.(4)已知 a bv 0,則直線那么 k=k=y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則函數(shù)ah y= 的圖象位于kJ/ x經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1 , 2),則一次函數(shù)v = -h+2(3)若反比例函數(shù)的圖象一定不經(jīng)點(diǎn)P (a, b)在反比例函數(shù)' 不經(jīng)過(guò)的象限是().ay-:.的圖象上,A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限k(5 )若P (2 , 2 )和Q ( m , 是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),則一次函數(shù)y=kx+m的圖象經(jīng)過(guò)（）.A .第一、二、三象限C .第一、三、四象限B .第一、二、四象限D(zhuǎn) .第二、三、四

7、象限().答案：（1 一I； （2 ）一、三；（3）四；（4） C; （ 5） C; （6） B .3 .函數(shù)的增減性j = -（i <0），且（1）在反比例函數(shù)x的圖象上有兩點(diǎn) 丑乜刃，則/廠丄 的值為（）.C .非正數(shù)D .非負(fù)數(shù)A .正數(shù)B .負(fù)數(shù)（2）在函數(shù)-a-尸（a為常數(shù)）的圖象上有三個(gè)點(diǎn)則函數(shù)值的大小關(guān)系是（爪為、必A.).B.皿1，”）,（+乃）£，丹）,C.D（3 ）下列四個(gè)函數(shù)中y隨x的增大而減小的函數(shù)有（）.A. 0個(gè)B . 1個(gè)C . 2個(gè)D. 3個(gè)ky （4）已知反比例函數(shù) ；一的圖象與直線y=2x和y=x+1的圖象過(guò)同一點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，這個(gè)反比例函數(shù)的函

8、數(shù)值y隨x的增大而（填 增大"或 減小”.答案：（1） A; （2） D ; （3） B .注意，（3）中只有是符合題意的，而 是在 每一個(gè)象限內(nèi)” y隨x的增大而減小.（1）若y與工成反比例，X與z成正比例，則y是z的（）.A 正比例函數(shù)B 反比例函數(shù)C 一次函數(shù)D 不能確定I Fy“（2） 若正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)x的圖象有一個(gè)交點(diǎn)為（2, m）,貝Um= , k=，它們的另一個(gè)交點(diǎn)為 _ 滬y （3） 已知反比例函數(shù)' 孟的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2廠8），反比例函數(shù)x的圖象在第二、四象限，求的值._廉+1（4） 已知一次函數(shù) y=x+m與反比例函數(shù)上 （土二1）的圖象在

9、第一象限內(nèi) 的交點(diǎn)為P （x 0, 3） 求x 0的值；求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.1謔克）6ZL08彳（分鐘）（5）為了預(yù)防非典”某學(xué)校對(duì)教室采用藥薰消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量 y （毫克）與時(shí)間x （分鐘）成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例（如圖所示），現(xiàn)測(cè)得藥物8分鐘燃畢，此時(shí)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克.請(qǐng)根據(jù)題中所提供的信息解答下列問(wèn)題： 藥物燃燒時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為 ，自變量x的取值范圍是 ;藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為 研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時(shí)學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過(guò) 分鐘后，學(xué)生

10、才能回到教室； 研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時(shí)間不低于10分鐘時(shí),才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？答案：（1）B ；（2）4, 8，（ _，-）；(3)依題意,轉(zhuǎn)=02)x(-8)且<0，解得 m-A (4)依題意,X)+>» = 3>3x0 = w+l>0；解得一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為3y=-(5)尸迤Qg）-3x-1325>1030 ；消毒時(shí)間為34（分鐘），所以消毒有效.5 面積計(jì)算（1）如圖，在函數(shù)3'的圖象上有三個(gè)點(diǎn) A、B、C,過(guò)這三個(gè)點(diǎn)分別向軸作垂線，過(guò)每一點(diǎn)所作的兩條垂線

11、段與 x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為'1x軸、y-、二,則（）第（1）題圖第（2）題圖(2)如圖，A、B是函數(shù)1二一的圖象上關(guān)于原點(diǎn) O對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，AC/y軸，BC/X軸，ABC的面積S，則().A. S=1B. 1v S v 2C. S=2(3)如圖，RtAAOB的頂點(diǎn)A在雙曲線m尸一x1rIk".a第(3)題圖D . S > 2(4 )已知函數(shù)4y=-X的圖象和兩條直線 y=x , y=2x在第一象限內(nèi)分別相交于 P1和P2兩點(diǎn)，過(guò)P1分別作x軸、y軸的垂線P1Q1，P1R1，垂足分別為 Q1，R1，過(guò)P2分別作x軸、y軸的垂線P2 Q 2，P2 R 2，垂足

12、分別為 Q 2，R 2，求矩形 O Q 1P1 R 1和O Q 2P2R2的周長(zhǎng)，并比較它們的大小.(5) 如圖，正比例函數(shù) y=kx ( k>0)和反比例函數(shù)的圖象相交于 A、C兩點(diǎn),過(guò)A作x軸垂線交x軸于B ,連接BC ,若AABC面積為則S=kr第(6)題圖1）,1）,ky=-(6)如圖在 RtAABO中，頂點(diǎn) A是雙曲線X與直線在第四象限1）,1）,的交點(diǎn)，AB ±x軸于B且S ABO= - .1）,點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B在函數(shù)y X (k >0, x>0)的圖象上，點(diǎn) P (m , n)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式;求直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn) A、C的坐標(biāo)

13、和AOC的面積.（7）如圖，已知正方形OABC的面積為9，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn),1）,1）,是函數(shù)/. （k> 0, x>0）的圖象上任意一點(diǎn)， 過(guò)P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為E、F，設(shè)矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面積為 S .求B點(diǎn)坐標(biāo)和k的值;J-時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.1）,1）,答案：（1） D;(2) C ; (3) 6 ;1）,1）,，矩形 O Q 1P1 R 1的周長(zhǎng)為8 , O Q 2P2 R 2的周長(zhǎng)為邑L,前者大.(5)(6)雙曲線為，直線為直線與兩軸的交點(diǎn)分別為（0,一2）和（一2, 0），且 a（ i, -3)和C (仝,1）,

14、1）,因此 U0C 面積為4 .(7 )©B ( 3 , 3), k 二、;932P(6, 2)2 時(shí)，E (6, 0) ,2 ; 1 .仇.綜合應(yīng)用(1)若函數(shù)y=k1x (k1 M0)和函數(shù)(k2老)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象沒(méi)有公共1）,1）,A .互為倒數(shù)B 符-號(hào)相冋C.絕對(duì)值相等D .符號(hào)相反 /yV(2)如圖，一次函數(shù)y匚氷+ by-的圖象與反比例數(shù)畫的圖象交于 A、B 兩點(diǎn)：A (-2, 1), B (1, n).求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.(3 )如圖所示，已知一次函數(shù)y = kx+b(k和)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)(m老)的圖CD垂直于x軸，垂足為 D，若0A=0B=0D=1.求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo);求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.1）,(4)如圖，一次函數(shù)二心卜：的圖象與反比例函數(shù).的圖象交于第一象限 C、D兩點(diǎn)，坐標(biāo)軸交于 A、B兩點(diǎn)，連結(jié)OC, OD ( O是坐標(biāo)原點(diǎn)) 利用圖中條件，求反比例函數(shù)的解析式和m的值； 雙曲線上是否存在一點(diǎn) P，使得 POC和厶POD的面積相等？若存在，給出證明并 求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由