1、第五章第五章 留數(shù)及其運(yùn)用留數(shù)及其運(yùn)用5.1 5.1 孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)5.2 5.2 留數(shù)留數(shù)5.3 5.3 留數(shù)在定積分計算中的運(yùn)用留數(shù)在定積分計算中的運(yùn)用00( )f zzz設(shè)函數(shù)在處不解析,但在的去心鄰域定定義義5 5. .1 1000|( )zzzf z內(nèi)處處解析,孤則稱 為的立奇點(diǎn).1( ).()(1)f zziz 求函數(shù)的例孤立奇點(diǎn)11( ),1sinfzz 求函數(shù)的奇點(diǎn) 并判斷哪些是例 2孤立奇點(diǎn).,1zi z孤 立 奇 點(diǎn) ：11,0zzznn奇點(diǎn)：；孤立奇點(diǎn)：5.1 孤立奇點(diǎn)1.孤立奇點(diǎn)的分類：0( )zf z在孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi),可展成洛朗級數(shù)0( )()nnnf zCz

2、z00,0,( ).nnCzf z(1)若對一切有則稱的可去奇點(diǎn)為這時, f (z)= c0 + c1(z-z0) +.+ cn(z-z0)n +. 0|z-z0|d ,0000lim( ),zzfzcfzc顯 然補(bǔ) 充 定 義，那么在圓域|z-z0|d 內(nèi)就有 f (z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n +.,從而函數(shù) f (z)在z0就成為解析的了.所以z0稱為可去奇點(diǎn).3524sin0sin11111()13!5!3!5!0sin.01,sin0.zzzzzzzzzzzzzzzzzz例如 。因為這個函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)中不含負(fù)冪的項 如果約定在 的值為則在就成為解

3、是的可去點(diǎn)析的了奇0(2)0,0( )nnCzf z若有且僅有有限個使，則稱為的極點(diǎn).00,0( )mnCnmCzf zm 若而當(dāng)有，則稱為的 級極點(diǎn).即 f (z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+. (m1, c-m0),01( )( )()mf zg zzz， （ ） 其中 g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +. , 在 |z-z0|d 內(nèi)是解析的函數(shù), 且 g (z0) 0 .上式也可寫成假設(shè)z0為 f (z)的極點(diǎn), 由(*)式, 就有0lim( ).zzf z 232,

4、( ),(1)(1)1,.zf zzzzzi 例如 對有理分式函數(shù)是它的三級極點(diǎn)是它的一級極點(diǎn)1z3問題e： z=0是的幾級極點(diǎn)？z0(3)0,0( )nnCzf z若有無限個使本，則稱為的性奇點(diǎn).1112( )0.1112!znzf zezezzzn 例如以為它的本性奇點(diǎn) 因為有無窮多負(fù)冪項。0( )zf z為的本性奇點(diǎn)0lim( )().zzf z不存在 也不為0limz1z例如e 不存在且不為 .綜上所述綜上所述:000000000( )lim( );( )lim( );( )lim()( ).( )lim( ).zzzzmmzzzzzf zf zzf zf zzf zmzzf zCzf

5、 zf z 如果 為的可去奇點(diǎn)存在且有限如果 為的極點(diǎn)為的 級極點(diǎn)如果 為的本性奇點(diǎn)不存在且不為我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點(diǎn)的類型., 求下列函數(shù)的有限奇點(diǎn) 并判斷是哪類奇點(diǎn).練練習(xí)習(xí).可去奇點(diǎn)；可去奇點(diǎn)；極點(diǎn)；極點(diǎn)；極點(diǎn)；本性奇點(diǎn)22sin(1) ( )zf zz；2sin( )zf zz(4)；11( );zf ze(6)( );1zef zz(5)3( );1zf zz(3)sin( )1 coszzf zz(2)；例5.4判斷z=0是下列函數(shù)的哪類奇點(diǎn).22tan(1) ( )zf zz；34tansin( )2zzf zzz(2)；1(1) ( )sinzef zz；

6、sin( )1zzf ze(2)；,例5.6求下列函數(shù)的奇點(diǎn) 并判斷是哪類奇點(diǎn).sin(1) ( )zf zz；2sin( )zf zz(2)；21( )(1)(2)f zzz(3)；11(4) ( )zf ze00( )()( ),( )mf zzzzzz設(shè)若在解析,定定義義5 5. .2 200()0( )mzzf z且則稱為的階零點(diǎn).3( )()f zz zi求函數(shù)的零點(diǎn)及例5.7其階數(shù).( )sinf zz求函數(shù)的零點(diǎn)及例5.8其階數(shù).： 非 常 數(shù) 解 析 函 數(shù) 的 零 點(diǎn) 是 孤 立 的 .注注( )tan(tansin)f zzzzz求的零例5.9點(diǎn)階數(shù).2.函數(shù)零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)

7、系函數(shù)零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系00( )( )f zzzf zm若在解析,則為的級零點(diǎn)的充要條件為：定定理理 5 5. .4 4( )()00()0,(0,1,1),()0.nmfznmfz3( )1f zz例5求函數(shù)的零點(diǎn)及.10其階數(shù).2( )sinf zz例5求函數(shù)的零點(diǎn)及.11其階數(shù).001( )( )zf zmzmf z若為的級零點(diǎn)的,則為的級極點(diǎn)，反之也成立.定定理理5 5. .5 5例 1 函數(shù)1 sin z有些什么奇點(diǎn)? 如果是極點(diǎn), 指出它的級. 解 函數(shù)1/sin z的奇點(diǎn)顯然是使sin z=0 的點(diǎn).這些奇點(diǎn)是z=k(k=0,1,2,).由于(sin z)|z=k= cos z|

8、z=k= (1)k 0, 所以 z=k是 sin z 的一級零點(diǎn), 也就是 1/sin z 的一級極點(diǎn). 例例 2為解析點(diǎn)；0:0zm為可去奇點(diǎn)；0:1zm)!1(! 21)(:112mzmzzzzzfmmmm)!1(!11! 21111mzmzzmm01zm為階極點(diǎn)。mzzezf1)(對 討論函數(shù) 在 處的性態(tài)。mZ0z 1( )tan (tansin )f zzzzz 求的極點(diǎn)的階數(shù).練練習(xí)習(xí)例 3 ! 211)(11mzzzzfmn01zn為階極點(diǎn).)0(12keikzz的一階零點(diǎn)為2( )(0).zk if zk為的一階極點(diǎn)( )(0)1nzzf zne求的極點(diǎn)。0( )|( )f z

9、Rzzf z 設(shè)在 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)解析,則稱無窮遠(yuǎn)立點(diǎn)為孤奇點(diǎn)的.定定義義5 5. .3 33.函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的形狀函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的形狀作變換 1wz 把擴(kuò)展z平面上的去心鄰域 R|z|+映射成擴(kuò)展w平面上原點(diǎn)的去心鄰域： 10 |.wR又 . 這樣, 我們可把在去心鄰域R|z|+對f (z)的研討變?yōu)樵?內(nèi)對j (w)的研討.顯然j (w)在 內(nèi)解析, 所以w=0是孤立奇點(diǎn).1( )()( )f zfww10 |wR10 |wR 0limlimzwf zwf (z)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn) z= 的奇點(diǎn)類型等價于w在w0的奇點(diǎn)類型。( )f z在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域內(nèi),可展成洛朗級數(shù)( )()nnnf

10、zC zRz 0,0,( ).nnCfz(1)若 對 一 切有則為的 可 去 奇 點(diǎn)稱0,0( )mnCnmCfzm若而當(dāng)有，則稱為的級極點(diǎn).(2)0,0( )nnCf z若有且僅有有限個使，則稱為的極點(diǎn).(3)0,0( )nnCfz若有無限個使，則稱為的本性奇點(diǎn).0( )|( )lim( )lim( ).zzf zRzzf zf zf z 設(shè)在內(nèi)解析,則為的可去奇點(diǎn),極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)的充要條件為：存在有限，無窮的極限或不存在有限或無窮的極限定定理理5 5. .6 621( )1zf zz 例5.14判斷是否為的孤立奇點(diǎn)？為哪類奇點(diǎn)？并判斷其階數(shù).2( )(2)(1).f zzz3z 為唯一奇點(diǎn)

11、：階極點(diǎn).1( ).zzf ze0z 與 均為本性奇點(diǎn).例題1例題2例題3 為非孤立奇點(diǎn)；0z為本性奇點(diǎn), 2, 1, 0211kkzk1tan( ).zf ze1)(limzfz( )f z為的可去奇點(diǎn).4( )12zf zzz 例5.15判斷是否為的孤立奇點(diǎn)？為哪類奇點(diǎn)？并判斷其階數(shù).( )zzf ze 例5.16判斷是否為的孤立奇點(diǎn)？為哪類奇點(diǎn)？1( )sinzf zz 例5.17判斷是否為的孤立奇點(diǎn)？( )tanzf zz 例5.18判斷是否為的孤立奇點(diǎn)？00( ),( )zf zf zz定義5.4 設(shè) 為的孤立奇點(diǎn) 把在 處的洛朗10( )Cf zz展式中負(fù)一次冪的系數(shù)稱為在處的留數(shù)

12、,001Re ( ),Re ( ),.s f z zs f z zC記為即011Re ( ),( ).2Cs f z zCf z dzi顯然5.2 留數(shù)1.留數(shù)的概念及留數(shù)定理121sin(1) ( ); (2) ( )cos(3) ( )zzf zzef zzf zzz例5.19求下列函數(shù)在原點(diǎn)處的留數(shù).；.231tan (1 cos )(4) ( ); (5) ( )sin(6) ( )zezzf zf zzf zzzz；.001001( )1Re ( ),lim()( ).(1)!mmmzzzf zmds f zzzzf zmdz法則1：若為的 階極點(diǎn)，則3( )0zef zzz例5.2

13、0求在處的留數(shù).0000( )Re ( ),lim() ( ).zzzf zs f z zzzf z推論1：若為的簡單極點(diǎn)，則(2)(5)z zz1例5.21求在各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).sin zz例5.22求在各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).000( )( ),( ),( )( )()0( )P zf zP z Q zzQ zP zzQ z推論2：若其中在 解析，且， 為的簡單零點(diǎn)，則000()Re ( ),.()P zs f z zQ z( )cos2f zzzz例5.23 求在處的留數(shù).1( ),( )2Cf zf z dzi定義5.5 設(shè) 為的孤立奇點(diǎn) 稱( )Re ( ),.f zs f z為在 的留數(shù),記為011Re ( ),( ).2Cs f zzf z dzCi 即( )1( ).zf zf zz 注:即使為的可去奇點(diǎn),其留數(shù)也不一定為零.例如211Re ( ),Re ( ),0.s f zs fz z 法則2：( )sincosf zzzz 例5.24求在處的留數(shù).( )(1,2,)kf zDzkn定理 5.7設(shè)在區(qū)域內(nèi)除有限個孤立奇點(diǎn)外解析,C為D內(nèi)包含各奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線,則1( )2Re ( ),nkCkf z dzis f z z.12( ),( ).nf zz zzf z定理 5.8 設(shè)在擴(kuò)充復(fù)