1、一、概念一、概念1 1、靜定：、靜定：結構或桿件的結構或桿件的未知力個數未知力個數等于等于有效靜力方程有效靜力方程的個數，的個數， 利用靜力平衡方程就可以求出所有的未知力利用靜力平衡方程就可以求出所有的未知力靜定問題靜定問題 2 2、超靜定超靜定：結構或桿件的結構或桿件的未知力個數未知力個數多于多于有效靜力方程有效靜力方程的個數，的個數， 只利用靜力方程不能求出所有的未知力只利用靜力方程不能求出所有的未知力超靜定問題超靜定問題3、多余約束、多余約束：在超靜定系統中多余維持結構在超靜定系統中多余維持結構 幾何不變性所需要的桿或支座。幾何不變性所需要的桿或支座。 a aABC12PD3A1NF2N

2、FP. 0, 0YXA1NF2NFP3NF多余約束多余約束 超靜定結構大多為在靜定結構的基礎上再加上一個或若干個多余約束，超靜定結構大多為在靜定結構的基礎上再加上一個或若干個多余約束，這些約束對于特定的工程要求往往是必要的這些約束對于特定的工程要求往往是必要的2-6 2-6 軸向拉壓桿系的超靜定問題軸向拉壓桿系的超靜定問題4、多余約束反力、多余約束反力：= = 未知力個數未知力個數 平衡方程個數。平衡方程個數。二、超靜定的求解步驟：二、超靜定的求解步驟：2、根據變形協調條件列出、根據變形協調條件列出變形幾何方程。變形幾何方程。3、根據、根據物理關系物理關系寫出補充方程。寫出補充方程。4、聯立靜

3、力方程與補充方程求出所有的未知力。、聯立靜力方程與補充方程求出所有的未知力。1、根據平衡條件列、根據平衡條件列平衡方程平衡方程（確定超靜定的次數）。5、超靜定的次數、超靜定的次數多余約束對應的反力。多余約束對應的反力。a aABC12PD3多余約束多余約束A1NF2NFP3NF. 0, 0YX、幾何方程、幾何方程變形協調方程：變形協調方程：、物理物理方程變形與受力關系方程變形與受力關系解解：、平衡方程平衡方程: :、聯立方程聯立方程(1)、(2)、(3)可得可得:) 1 (0sinsin021aaNNXFFF)2(0coscos0321FFFFFNNNYaaacos321Lll33311333

4、3331121121cos2F ; cos2cosAEAEFAEAEAEFAEFFNNNaaa)3(cos33331111補補充充方方程程aAELFAELFNNABDC132aa例例：圖示桿系結構，圖示桿系結構，33221121,AEAEAEll ，求：各桿的內力。求：各桿的內力。FN1Aa aFN2 2FN3 3yxFF3A1A1l2A2l3l超靜定結構的特征：內力按照剛度分配acos321Lll補補充充方方程程acos33331111AELFAELFNNABDC132aaF3A1A1l2A2l3l討論：討論：-能者多勞的分配原則能者多勞的分配原則例例 木制短柱的四角用四個木制短柱的四角用四

5、個 40*40*4 的等邊角鋼加固，角鋼和木的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應力分別為材的許用應力分別為 1 =160 MPa 和和 2 =12 MPa，彈性模彈性模量分別為量分別為 E1=200 GPa 和和 E2 =10 GPa；求許可載荷求許可載荷 F.04021FFFFNNY21LL 、幾何方程：、幾何方程：、力的、力的補充方程補充方程：、平衡方程平衡方程: :EALFLN22221111AELFAELFNNF1m250250FFFFNN72.0 ; 07.02114NF2NFF解：解：截面法截開，取上部分分析截面法截開，取上部分分析例例 木制短柱的四角用四個木制短柱的四角用四個 40

6、*40*4 的等邊角鋼加固，角鋼和木的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應力分別為材的許用應力分別為 1 =160 MPa 和和 2 =12 MPa，彈性模彈性模量分別為量分別為 E1=200 GPa 和和 E2 =10 GPa；求許可載荷求許可載荷 F.FFFFNN72.0 ; 07.021 、求結構的許可載荷：求結構的許可載荷： AFN maxmax AFNmax a) 角鋼 面積由型鋼表: A 1=3.086 c64max11016010086.307.0FFN b) 木柱 面積 : A 2= 25*25 c62max2101225.072.0FFN)(4 .705kNF 由角鋼)(1042

7、 kNF 由木柱：Fmax= 705.4 kNF1m25025014NF2NFF例例 一鉸接結構如圖示一鉸接結構如圖示,在水平剛性橫梁的在水平剛性橫梁的 B 端作用有載荷端作用有載荷F ,垂垂直桿直桿 1 , 2 的抗拉壓剛度分別為的抗拉壓剛度分別為 E1A1 , E2A2 , 若橫梁若橫梁 AB 的自重不的自重不計計, 求兩桿中的內力。求兩桿中的內力。aABL112CaFaABCaF1NF2NF1L2L0AM02221aFaFaFNN212LL2221112AELFAELFNN11221412AEAEFFN2211244AEAEFFN解：解：、平衡方程平衡方程: :、幾何方程、幾何方程變形協

8、調方程：變形協調方程：、力的、力的補充方程補充方程：、聯立方程求解，可得聯立方程求解，可得: :例例: 圖示結構圖示結構,已知：已知： L、A、E、a、F , AB為剛體為剛體.求：各桿軸力。求：各桿軸力。123FLaaAB解解：1 1、平衡方程、平衡方程: :2 2、幾何方程：、幾何方程：3 3、物理、物理方程方程：4 4、聯立平衡方程和補充方程得、聯立平衡方程和補充方程得: :02, 00, 012321aFaFMFFFFFNNANNNY3122lll,332211EAlFlEAlFlEAlFlNNN.65;31;61321FFFFFFNNNF3NF2NF1NFABC1B1l1C2l1A3

9、l3122NNNFFF三、溫度應力、裝配應力三、溫度應力、裝配應力1 1）溫度應力）溫度應力：由溫度引起桿變形而產生的應力（熱應力）。由溫度引起桿變形而產生的應力（熱應力）。桿件因溫度變化引起的變形桿件因溫度變化引起的變形tLLa1 1、靜定問題無溫度應力。、靜定問題無溫度應力。2 2、超靜定問題存在溫度應力。、超靜定問題存在溫度應力。 例 已知1、2兩桿面積、長度、彈性模量相同，A、L、E，求：當1 桿溫度升高 時，兩桿的內力及約束反力。桿溫度膨脹系數aTBC12aa3Aa a 材料的溫度膨脹系數AB為剛體為剛體BC121、平衡方程平衡方程: :03, 021aFaFMNNc2 2、幾何方程

10、：、幾何方程：aa3 AATl解解：解除解除1 1桿約束，使其自由膨脹桿約束，使其自由膨脹；AB橫梁最終位置在橫梁最終位置在AB AB2l2NF1NFABCCR1lalallT321EALFlTLlNT11,a,22EALFlN3 3、物理、物理方程：方程：,1091TEAFNa,1032TEAFNa,56TEARCa4 4、求解、求解：求:當1桿溫度升高 時，兩桿的內力及約束反力。TAB為剛體為剛體補充方程TEAFFNNa3312例例：階梯鋼桿的上下兩端在階梯鋼桿的上下兩端在T1 = 5 時被固定時被固定,桿桿的上下兩段的面積分別為的上下兩段的面積分別為 = c、 = c，當溫度升至當溫度升

11、至 T2 =25時時,求各段的溫度應力。求各段的溫度應力。E=200GPa，C1105.126aaay、幾何方程：、幾何方程：解：解：、平衡方程平衡方程: :0, 012NNyFFF0NTlll 、物理、物理方程：方程：2211N; 2EAaFEAaFlTalNNTa分析：分析：、解除約束；解除約束；桿隨溫度升高自由伸長桿隨溫度升高自由伸長、兩端加約束力：兩端加約束力：將桿壓回到原長。將桿壓回到原長。1NF2NFTlNlTlNl、幾何方程：、幾何方程：解：解：、平衡方程平衡方程: :0, 012NNFFY0NTlll 、物理、物理方程：方程：、聯立求解：聯立求解：2211N; 2EAaFEAa

12、FlTalNNTa22112EAaFEAaFTNNa )(3 .3321kNFFNNaay1NF2NFNlTl1NF、溫度應力：、溫度應力：),(7 .66111MPaAFN)(3 .33222MPaAFN例例：階梯鋼桿的上下兩端在階梯鋼桿的上下兩端在T1 = 5 時被固定時被固定,桿的上下兩段桿的上下兩段的面積分別為的面積分別為 = c、 = c，當溫度升至，當溫度升至 T2 =25時時,求各段的溫度應力。求各段的溫度應力。E=200GPa，C1105.126a解：解：、平衡方程平衡方程: :0, 012NNFFY解：解：、平衡方程平衡方程: :0, 012NNFFY、幾何方程：、幾何方程：

13、解：解：、平衡方程平衡方程: :0, 012NNFFY0NTlll、幾何方程：、幾何方程：解：解：、平衡方程平衡方程: :0, 012NNFFY、物理、物理方程：方程：0NTlll、幾何方程：、幾何方程：解：解：、平衡方程平衡方程: :0, 012NNFFY2211N; 2EAaFEAaFlTalNNTa、物理、物理方程：方程：0NTlll、幾何方程：、幾何方程：解：解：、平衡方程平衡方程: :0, 012NNFFY2 2）裝配應力）裝配應力預應力、初應力：預應力、初應力：2 2、超靜定問題存在裝配應力。、超靜定問題存在裝配應力。1 1、靜定問題無裝配應力、靜定問題無裝配應力 由于構件制造尺寸

14、產生的制造誤差，在裝配時產生由于構件制造尺寸產生的制造誤差，在裝配時產生變形而引起的應力。變形而引起的應力。ABC12ABDC132aa A結構對稱，結構對稱，1、2桿桿E、A相同相同解：解：、平衡方程平衡方程: :0sinsin021aaNNxFFF0coscos0213aaNNNyFFFF例：例：已知：各桿長為：已知：各桿長為： 、 ； A1=A2=A、A3 ；E1=E2=E、E3。3 3桿的尺桿的尺寸誤差為寸誤差為 ，求，求: :各桿的裝配內力。各桿的裝配內力。lll213l3NF2NF1NF AA3A A2A2l1A1lABDC132aa A3l、幾何方程：、幾何方程：13cos)(l

15、la、物理方程物理方程：3333311111,AElFlAElFlNN11113333cos)(AElFAElFNNa 、聯立平衡方程和補充方程，得、聯立平衡方程和補充方程，得: : / cos21cos33113211321AEAEAElFFNNaa / cos21cos23311331133AEAEAElFNaa0sinsin021aaNNFFX0coscos0213aaNNNFFFY11113333cos)(AElFAElFNNaABDC132aa A3NF2NF1NF A平衡方程平衡方程:補充方程補充方程 例例 兩桿兩桿 EA 相同，水平桿為剛性桿。桿相同，水平桿為剛性桿。桿比設計長度

16、比設計長度 l 短了短了 ，求安裝后兩桿的內力和應力。，求安裝后兩桿的內力和應力。 解法一：解法一：（一）繪受（一）繪受力圖，列平衡方程受力圖力圖，列平衡方程受力圖如圖示。如圖示。 12120,20,2AMNaNaNNa 根據平衡條件得：根據平衡條件得： 12120,20,2AMNaNaNNa （二）繪變形幾何關系圖如圖示（二）繪變形幾何關系圖如圖示122 ll 即：即： 122N lN lbEAEA 根據變形圖可得變形幾何關系方程為 12120,20,2AMNaNaNNa 平衡方程平衡方程 例例 兩桿兩桿 EA 相同，水平桿為剛性桿。桿相同，水平桿為剛性桿。桿比設計長度比設計長度 l 短了短

17、了 ，求安裝后兩桿的內力和應力。，求安裝后兩桿的內力和應力。 （三）求解內力和應力（三）求解內力和應力12225555IIIEAENllEAENll聯立聯立(a)、(b)可得：可得： 1212120,20,22AMNaNaNNaN lN lbEAEA 平衡方程平衡方程補充方程補充方程 122N lN lbEAEA 例例 兩桿兩桿 EA 相同，水平桿為剛性桿。桿相同，水平桿為剛性桿。桿比設計長度比設計長度 l 短了短了 ，求安裝后兩桿的內力和應力。，求安裝后兩桿的內力和應力。 12120,20,2AMNaNaNNa =0=0 解法二：（一）如不清楚兩桿受拉還是受壓，可先假定兩桿均受拉。繪出受力圖二，并列平衡方程 例例 兩桿兩桿 EA 相同，水平桿為剛性桿。桿相同，水平桿為剛性桿。桿比設計長度比設計長度 l 短了短了 ，求安裝后兩桿的內力和應力。，求安裝后兩桿的內力和應力。 根據變形幾何關系圖根據變形幾何關系圖, ,可列出變形幾何方程為可列出變形幾何方程為 122 ll 即：即： 122N lN lbEAEA （二）繪變形幾何關系圖（二）繪變形幾何關系圖 12120,20,2AMNaNaNNa =0=0 例例 兩桿兩桿 EA 相同，水平桿為剛