1、利用空間向量求空間角(1) 兩條異面直線所成的夾角范圍：兩條異面直線所成的夾角的取值范圍是0 ： _二_ 90 :。向量求法：設直線a,b的方向向量為a,b，其夾角為二，若a與b的夾角為銳角， 則日=cosa,b)，若a與b的夾角為鈍角則° =兀-a,b)，所以有cos日二cosQ b?練習 在正方體ABCD-A iBiCiDi中,M是AB的中點，則對角線DBi與CM所成角的余弦值為(2) 直線與平面所成的角定義：直線與平面所成的角是指直線與它在這個平面內的射影所成的角范圍：直線和平面所夾角的取值范圍是 0乜二-90 :。向量求法：若n是平面“的法向量 AB是直線L的方向向量，則L小

2、所成的角"-AB，n或%門氣，所以sinosAB，n練習：1:正方體 ABCD AiBiCiDi中，E,F分別是AB,CiDi的中點,所成的角2 :在三棱錐 POCB 中，P0 平面 OCB,OB OC, OB=OC= 、2求AiBi與平面AiEF,PC=4，D為PC的中點，求0D與平面PBC所成的角(3) 二面角二面角的取值范圍是0：_二_180 :。二面角的向量求法：方法一：在兩個半平面內任取兩個與棱垂直的向量，則這兩個向量所成的即為所求的二面角的大小；方法二：設n1，n2分別是兩個面的法向量，則向量 n1與n2的夾角(或其補角)即 為所求二面角的平面角的大小。(4)點到平面的距

3、離A為平面a外一點(如圖),n為平面a的法向量，過A作平面a的斜線AB及垂線AH.,斜線ABA與平面a的夾角為二|AB'|I AB | | n| AH |=|AB| sin v -| AB | |cos ： AB, n | AB n|n|典題賞析題目1 :如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形,側棱 PA_ 底面 ABCD，AB 二 3，BC =1，PA = 2，E為PD的中點.(I)求直線AC與PB所成角的余弦值;(U)在側面PAB內找一點N，使NE 面PAC ,并求出點N到AB和AP的距離.解：(I)建立如圖所示的空間直角坐標系,則 A,B,C,D,P,E 的坐標為 A(

4、0,0,0)、B(、3,0,0)、C( . 3,1,0)、D(0,1,0)、1P(0,0,2)、E(0-,1)，2從而 AC =( 3,1,0), PB =( 3,0,-2).設AC與PB的夾角為r，則AC PB 33的cos,| AC I I PB I 2.7143 '7AC與PB所成角的余弦值為百(U)由于N點在側面PAB內，故可設N點坐標為(x,0,z)，則一 1NE =(-x,1-z)，由 NE_ 面 PAC 可得,吐竺=0,即 NE AC=0.f1(x,1z) (0,0,2) =0,2化簡得丿1 廠(-x, ,1 - z) (. 3,1,0) = 0.22-1=0,4冷.3x

5、 =6z=1即N點的坐標為(¥,0)，從而N點到AB和AP的距離分別為1,嚴6 6題目2.已知正方體ABCD -ABiCiDi的棱長為a.求點Cl到平面AB1D1的距離;求平面CDDiCi與平面ABiDi所成的二面角余弦值AiBiADi解(i)按如圖3-i所示建立空間直角坐標系，可得有關點的坐標為 A(0,0,0)、Di(0，a, a)、3(a, 0, a)、Ci(a, a, a)，向量 GA = (-a,-a,-a), ADi = (0,a,a), AB =a第02a題.Ci設n =(x, y,z)是平面ABiDi的法向量，于是，有丄ay az = 0，即 aX az = 0令z

6、-i,得x =d, y.于是平面ABiDi的一個法向量n =(i, i, -i)因此，Ci到平面ABiDi的距離Ci A n(2)由知，平面ABiDi的一個法向量是n = (i,i,-i).又因AD _平面CDDiCi ,故平面CDDiCi的一個法向量是ni二(0,i,0).設所求二面角的平面角為二(結合圖形可知二面角是銳角，即 二為銳角)，則nninni3cos -=題目3.如圖，四棱錐P -ABCD中，PA-平面ABCD，底面ABCD是直角梯形且 AB/CD ,BAD =90 :, PA=AD=DC=2 , AB =4。(1)求證：BC - PC ;依題意，PB-0.PC n = 0”2b - c = 0a + b c = 0 ，取題目3(2)求點A到平面PBC的距離解：(1 )如圖建系，則 B(0,4,0),D(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2)BC =(2, 一2,0) ,PC =(2,2, 一2),BC PC = 2 2( - 2) 2 = 0，故 BC - PC o(2) PB = (0,4 , - 2) , PC = (2 , 2 , - 2)，設平