1、平面向量的數(shù)量積（1） 一 .教學(xué)內(nèi)容分析：本課內(nèi)容選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修4（人教a版）§2.4 平面向量的數(shù)量積的第一課時(shí),本課主要內(nèi)容是向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律,本節(jié)課讓學(xué)生了解從特殊到一般再由一般到特殊的這種認(rèn)識(shí)規(guī)律和體會(huì)概念法則的學(xué)習(xí)過程.二.學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析：學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已熟知了實(shí)數(shù)的運(yùn)算體系，掌握了向量的概念及其線性運(yùn)算，具備了功等物理知識(shí)，并且初步體會(huì)了研究向量運(yùn)算的一般方法。 在功的計(jì)算公式和研究向量運(yùn)算的一般方法的基礎(chǔ)上,學(xué)生基本上能類比得到數(shù)量積的含義和運(yùn)算律,對(duì)于運(yùn)算律不一定給全或給對(duì),對(duì)運(yùn)算律的證明可能會(huì)存在一定的困難,教學(xué)中老師

2、要注意引導(dǎo)學(xué)生分析判斷.三.設(shè)計(jì)思想： 遵循新課標(biāo)以人為本的理念，以啟發(fā)式教學(xué)思想和建構(gòu)主義理論為指導(dǎo)，采用探究式教學(xué)，以多媒體手段為平臺(tái)，利用問題讓學(xué)生自主地參平面向量的數(shù)量積與數(shù)的乘法既有區(qū)別又有聯(lián)系。教材中以物體受力做功為背景，引出向量數(shù)量積的概念。功是一個(gè)標(biāo)量，它用力和位移兩個(gè)向量來定義，反映在數(shù)學(xué)上就是向量的數(shù)量積。蘇老師在教學(xué)設(shè)計(jì)中，注重知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程的展現(xiàn)，從數(shù)學(xué)和物理兩個(gè)角度創(chuàng)設(shè)問題情景，通過數(shù)量積的幾何意義使學(xué)生從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面對(duì)數(shù)量積的“質(zhì)變”特征有了更充分的認(rèn)識(shí)。以問題設(shè)計(jì)為導(dǎo)向，以知識(shí)為載體，引導(dǎo)學(xué)生積極思維，循循善誘，發(fā)展學(xué)生的思維能力。以探究的方式概括出平

3、面向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，體會(huì)其是實(shí)數(shù)乘積概念的延伸，培養(yǎng)了學(xué)生由特殊到一般的思維品質(zhì)和類比創(chuàng)新的意識(shí)。平面向量數(shù)量積概念的引入和運(yùn)用是本節(jié)的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，在設(shè)計(jì)中對(duì)前半部分的設(shè)計(jì)具體到位，但在獲得“數(shù)量積”的概念后，如何探究數(shù)量積的運(yùn)算率，例題與習(xí)題如何進(jìn)行教學(xué)，在設(shè)計(jì)中顯得粗糙了點(diǎn)。在探究過程中注重學(xué)生學(xué)習(xí)過程的體驗(yàn)和數(shù)學(xué)能力的發(fā)展， 引導(dǎo)學(xué)生積極將知識(shí)融入自己的知識(shí)體系。四.教學(xué)目標(biāo)：1、了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2、體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能運(yùn)用性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的判斷和運(yùn)算；3、體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想和方法

4、，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。五.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn):重點(diǎn)是平面向量數(shù)量積的概念、用平面向量數(shù)量積表示向量的模及夾角；難點(diǎn)是平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用。六.教學(xué)過程設(shè)計(jì)：活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)問題情景，引出新課1、提出問題1：請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？答：向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算。這些運(yùn)算的結(jié)果是向量。 2、提出問題2：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)回憶，我們是怎么引入向量的加法運(yùn)算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運(yùn)算的？答：物理模型概念性質(zhì)運(yùn)算律應(yīng)用3、新課引入：本節(jié)課我們?nèi)匀话凑者@種研究思路來研究向量的另外一種運(yùn)算。導(dǎo)入課題：平面

5、向量數(shù)量積的物理背景及其含義 設(shè)計(jì)意圖：1.明白新舊知識(shí)的聯(lián)系性。2.明確研究向量的數(shù)量積這種運(yùn)算的途徑。sf活動(dòng)二：探究數(shù)量積的概念1、給出有關(guān)材料并提出問題3：（1）如圖所示，一物體在力f的作用下產(chǎn)生位移s，那么力f所做的功：w= |f| |s| cos。 （2）這個(gè)公式有什么特點(diǎn)？請(qǐng)完成下列填空：w（功）是 量，f（力）是 量，s（位移）是 量，是 。（3）你能用文字語言表述“功的計(jì)算公式”嗎?答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積（4）如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結(jié)果又該如何表述？答：兩個(gè)向量的大小及其夾角余弦的乘積。2、明晰數(shù)量積的定義（1） 數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)

6、非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量·cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：·，即：·= ·cos（2）定義說明：記法“·”中間的“·”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 “規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。設(shè)計(jì)意圖：1.認(rèn)識(shí)向量的數(shù)量積的實(shí)際背景。2.使學(xué)生在形式上認(rèn)識(shí)數(shù)量積的定義。3.從數(shù)學(xué)和物理兩個(gè)角度創(chuàng)設(shè)問題情景，使學(xué)生明白為什么研究這種運(yùn)算,從而產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望3、提出問題4：向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？ 答：線性運(yùn)算的結(jié)果是向量，而數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù)量，這個(gè)數(shù)量的大小不僅和

7、向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。4、學(xué)生討論，并完成下表：的范圍0°<90°=90°90°<180°·的符號(hào)設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過自主研究，明確兩個(gè)向量的夾角決定它們的數(shù)量積的符號(hào)，進(jìn)一步從細(xì)節(jié)上理解向量數(shù)量積的定義。5、研究數(shù)量積的幾何意義（1）給出向量投影的概念：如圖，我們把cos（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，記做：ob1=cos（2）提出問題5：數(shù)量積的幾何意義是什么？答：數(shù)量積·等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影cos的乘積。設(shè)計(jì)意圖：這里將數(shù)量積的幾何意義提前，使學(xué)生從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面對(duì)

8、數(shù)量積的特征有了更加充分的認(rèn)識(shí) 6、研究數(shù)量積的物理意義 （1）請(qǐng)同學(xué)們用一句話來概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)：功是力與位移的數(shù)量積 。（2）嘗試練習(xí)：一物體質(zhì)量是10千克，分別做以下運(yùn)動(dòng)：、豎直下降10米；、豎直向上提升10米；、在水平面上位移為10米； 、沿傾角為30度的斜面向上運(yùn)動(dòng)10米；分別求重力做功的大小。 設(shè)計(jì)意圖：通過嘗試練習(xí)，一方面使學(xué)生嘗試計(jì)算數(shù)量積，鞏固對(duì)定義的理解；另一方面使學(xué)生理解數(shù)量積的物理意義，明白學(xué)科間的聯(lián)系，同時(shí)也為數(shù)量積的性質(zhì)埋下伏筆。活動(dòng)三：探究數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)1、提出問題6：（1）將嘗試練習(xí)中的 的結(jié)論推廣到一般向量，你能得到哪些結(jié)論？ （2）比較·

9、;與的大小，你有什么結(jié)論？ 2、請(qǐng)證明上述結(jié)論。3、明晰：數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè)和b都是非零向量，則 1、 ·=0 2、當(dāng)與同向時(shí)，·=；當(dāng)與反向時(shí)，·= -， 特別地，·=2或= 3、·設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖：將嘗試練習(xí)的結(jié)論推廣得到數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，使學(xué)生感到親切自然，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生由特殊到一般的思維品質(zhì)和類比創(chuàng)新的意識(shí)。活動(dòng)四：探究數(shù)量積的運(yùn)算律 1、提出問題7：我們學(xué)過了實(shí)數(shù)乘法的哪些運(yùn)算律？這些運(yùn)算律對(duì)向量是否也適用？答:交換律：ab=ba 結(jié)合律：(ab)c=a(bc)分配律：(a+b)c=ac+bc猜想：·= · （&

10、#183;）= (·) （ + ）· =· + · 2、分析猜想：猜想的正確性是顯而易見的。關(guān)于猜想的正確性，請(qǐng)同學(xué)們先討論：猜測(cè)的左右兩邊的結(jié)果各是什么？它們一定相等嗎？答：左邊是與向量共線的向量，而右邊則是與向量共線的向量，顯然在向量與向量不共線的情況下猜測(cè)是不正確的。設(shè)計(jì)意圖：要求學(xué)生通過對(duì)過去所學(xué)過的運(yùn)算律的回顧類比得出數(shù)量積的運(yùn)算律。通過討論糾錯(cuò)來理解不同運(yùn)算的運(yùn)算律不盡相同，看到數(shù)學(xué)的法則與法則間的相互聯(lián)系與區(qū)別，體會(huì)法則，學(xué)習(xí)研究的重要性。 3、明晰：數(shù)量積的運(yùn)算律：已知向量、 、和實(shí)數(shù)，則：（1）·= · （2）（）&

11、#183;=（·)= ·（）（3）（ + ）·=· + ·4、學(xué)生活動(dòng)：證明運(yùn)算律2在證明時(shí)，學(xué)生可能只考慮到>0的情況,為了幫助學(xué)生完善證明，提出以下問題：當(dāng)<0時(shí)，向量與，與的方向的關(guān)系如何？此時(shí)，向量與及與的夾角與向量與的夾角相等嗎？5、師生活動(dòng)：證明運(yùn)算律（3）設(shè)計(jì)意圖：學(xué)會(huì)利用定義證明運(yùn)算律（1）(2)，運(yùn)算律(3)的圖形構(gòu)造有些困難，先讓學(xué)生討論，后根據(jù)學(xué)生的情況加以指導(dǎo)或共同完成。活動(dòng)五：應(yīng)用與提高1、學(xué)生獨(dú)立完成：已知=5,=4, 與的夾角=120°，求·。設(shè)計(jì)意圖：通過計(jì)算鞏固對(duì)定義的理解。2、

12、師生共同完成：已知=6，=4, 與的夾角為60°，求（+2 ）·（-3），并思考此運(yùn)算過程類似于哪種實(shí)數(shù)運(yùn)算？3、學(xué)生獨(dú)立完成：對(duì)任意向量 ，b是否有以下結(jié)論：（1）(+)2=2+2·+2 （2）(+ )·(-)= 22設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)解題中運(yùn)算律的作用，比較向量運(yùn)算與數(shù)運(yùn)算的異同。4、師生共同完成：已知=3，=4, 且 與不共線，k為何值時(shí)，向量+k與-k互相垂直？并討論：通過本題，你有什么體會(huì)？設(shè)計(jì)意圖：學(xué)會(huì)利用數(shù)量積來解決垂直問題，體會(huì)用數(shù)量積將幾何問題轉(zhuǎn)化為方程求解，體現(xiàn)向量的工具性。5、反饋練習(xí)（1）判斷下列各題正確與否：、若0，則對(duì)任一非

13、零向量，有·0、若0，··，則（2） 已知abc中，=, =，當(dāng)· <0或·0時(shí)，試判斷abc的形狀。設(shè)計(jì)意圖：1.加強(qiáng)學(xué)生的練習(xí)。2.通過觀察、問答等方式對(duì)學(xué)生的掌握情況有了進(jìn)一步的了解和把握。活動(dòng)六：小結(jié) 1、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？2、平面向量的數(shù)量積有哪些應(yīng)用？3、我們是按照怎樣的思維模式進(jìn)行概念的歸納和性質(zhì)的探究？在運(yùn)算律的探究過程中，滲透了哪些數(shù)學(xué)思想？ 4、類比向量的線性運(yùn)算，我們還應(yīng)該怎樣研究數(shù)量積？設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生討論總結(jié)，加強(qiáng)了學(xué)生概念法則的理解和掌握，體會(huì)整個(gè)內(nèi)容的研究過程，明白了為什么要學(xué)這些內(nèi)容，學(xué)了這

14、些內(nèi)容可以做什么，這對(duì)以后的學(xué)習(xí)有什么指導(dǎo)意義。活動(dòng)七：布置作業(yè) 1、課本p119習(xí)題2.4a組1、2、3。2、拓展與提高：已知與都是非零向量，且+3 與7 -5垂直，-4與 7-2垂直，求與的夾角。（本題供學(xué)有余力的同學(xué)選做）設(shè)計(jì)意圖：通過設(shè)計(jì)不同層次的作業(yè)既使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，又使學(xué)有余力的學(xué)生有所提高，從而達(dá)到激發(fā)興趣和“減負(fù)”的目的。七.教學(xué)反思：本節(jié)課從總體上說是一節(jié)概念教學(xué)，從數(shù)學(xué)和物理兩個(gè)角度創(chuàng)設(shè)問題情景來引入數(shù)量積概念能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，。通過安排學(xué)生討論影響數(shù)量積結(jié)果的因素并完成表格和將數(shù)量積的幾何意義提前有助于學(xué)生更好理解數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量而不是向量。數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律是數(shù)量積概念的延伸，這兩方面的內(nèi)容按照創(chuàng)設(shè)一定的情景，讓學(xué)生自己去探究、去發(fā)現(xiàn)結(jié)論,教師明晰后，再由學(xué)生或師生共同完成證明。這樣能更清楚地看到數(shù)學(xué)法則與法則間的聯(lián)系與區(qū)別,體會(huì)法則學(xué)習(xí)研究的重要性,例題和練習(xí)的選擇都是圍繞數(shù)量積的概念和運(yùn)算律展開的,這能使學(xué)生更好在掌握概念法則.本節(jié)課是概念數(shù)學(xué)課，教師