1、第一章 控制系統的狀態空間表達式 狀態空間表達式n階 a稱為系統矩陣，描述系統內部狀態之間的聯系；為輸入（或控制）矩陣，表示輸入對每個狀態變量的作用情況；c輸出矩陣，表示輸出與每個狀態變量間的組成關系，直接傳遞矩陣，表示輸入對輸出的直接傳遞關系。 狀態空間描述的特點考慮了“輸入狀態輸出”這一過程，它揭示了問題的本質，即輸入引起了狀態的變化，而狀態決定了輸出。狀態方程和輸出方程都是運動方程。狀態變量個數等于系統包含的獨立貯能元件的個數，n階系統有n個狀態變量可以選擇。狀態變量的選擇不唯一。從便于控制系統的構成來說，把狀態變量選為可測量或可觀察的量更為合適。建立狀態空間描述的步驟：a選擇狀態變量；

2、b列寫微分方程并化為狀態變量的一階微分方程組；c將一階微分方程組化為向量矩陣形式，即為狀態空間描述。狀態空間分析法是時域內的一種矩陣運算方法，特別適合于用計算機計算。 模擬結構圖（積分器加法器比例器）已知狀態空間描述，繪制模擬結構圖的步驟：積分器的數目應等于狀態變量數，將他們畫在適當的位置，每個積分器的輸出表示相應的某個狀態變量，然后根據狀態空間表達式畫出相應的加法器和比例器，最后用箭頭將這些元件連接起來。 狀態空間表達式的建立 由系統框圖建立狀態空間表達式：a將各個環節（放大、積分、慣性等）變成相應的模擬結構圖；b每個積分器的輸出選作，輸入則為；c由模擬圖寫出狀態方程和輸出方程。 由系統的機

3、理出發建立狀態空間表達式：如電路系統。通常選電容上的電壓和電感上的電流作為狀態變量。利用kvl和kcl列微分方程，整理。由描述系統的輸入輸出動態方程式（微分方程）或傳遞函數，建立系統的狀態空間表達式，即實現問題。實現是非唯一的。方法：微分方程系統函數模擬結構圖狀態空間表達式注意：a如果系統函數分子冪次等于分母冪次，首先化成真分式形式，然后再繼續其他工作。 b模擬結構圖的等效。如前饋點等效移到綜合反饋點之前。p28 c對多輸入多輸出微分方程的實現，也可以先畫出模擬結構圖。5狀態矢量的線性變換。也說明了狀態空間表達的非唯一性。不改變系統的特征值。特征多項式的系數也是系統的不變量。特征矢量的求解：也

4、就是求的非零解。狀態空間表達式變換為約旦標準型（為任意矩陣）：主要是要先求出變換矩陣。a互異根時，各特征矢量按列排。b有重根時，設階系統，為單根，對特征矢量，求法與前面相同， 稱作的廣義特征矢量，應滿足。系統的并聯實現：特征根互異；有重根。方法：系統函數部分分式展開模擬結構圖狀態空間表達式。6由狀態空間表達式求傳遞函數陣的矩陣函數表示第j個輸入對第i個輸出的傳遞關系。狀態空間表達式不唯一，但系統的傳遞函數陣是不變的。子系統的并聯、串聯、反饋連接時，對應的狀態空間表達及傳遞函數陣。方法：畫出系統結構圖，理清關系，用分塊矩陣表示。第二章 控制系統狀態空間表達式的解一線性定常系統齊次狀態方程（）的解

5、：二矩陣指數函數狀態轉移矩陣1表示到的轉移。5個基本性質。2的計算：a定義；b變換為約旦標準型 ,c用拉氏反變換 記憶常用的拉氏變換對 d應用凱萊-哈密頓定理三線性定常系統非齊次方程（）的解：。可由拉氏變換法證明（當然給出拉氏變換法的求解思路）。求解步驟：先求，然后將b和u(t)代入公式即可。特殊激勵下的解。第三章線性控制系統的能控性和能觀性一能控性及能觀性定義（線性連續定常、時變系統，離散時間系統）二線性定常系統的能控性判別（具有一般系統矩陣的多輸入系統）判別方法（一）：通過線性變換若a的特征值互異，線性變換（）為對角線標準型，能控性充要條件：沒有全為的行。變換矩陣t的求法。若a的特征值有相

6、同的，線性變換（）為約當標準型，能控性充要條件：對應于相同特征值的部分，每個約當塊對應的中最后一行元素沒有全為的。中對應于互異特征根部分，各行元素沒有全為的。變換矩陣t的求法。這種方法能確定具體哪個狀態不能控。但線性變換比較復雜，關鍵是求、。判別方法（二）：直接從，判別能控的充要條件是能控性判別矩陣的秩為n。在單輸入系統中，是一個的方陣；而多輸入系統，是一個的矩陣，可通過三線性定常系統的能觀性判別判別方法（一）：通過線性變換若a的特征值互異，線性變換（）為對角線標準型，能觀性充要條件：中沒有全為的列。變換矩陣t的求法。若a的特征值有相同的，線性變換（）為約當標準型，能控性充要條件：對應于相同特

7、征值的部分，每個約當塊對應的中第一列元素沒有全為的。對應于互異特征根部分，對應的中各列元素沒有全為的。變換矩陣t的求法。這種方法能確定具體哪個狀態不能觀。但線性變換比較復雜，關鍵是求、。判別方法（二）：直接從，c判別能觀性的充要條件是能觀性判別矩陣的秩為n。在單輸入系統中，是一個的方陣；而多輸入系統，是一個的矩陣，可通過六能控性與能觀性的對偶原理若，則與對偶。對偶系統的傳遞函數陣是互為轉置的。且他們的特征方程式是相同的。與對偶，則能控性等價于能觀性，能觀性等價于能控性。時變系統的對偶原理？七能控標準型和能觀標準型對于狀態反饋，化為能控標準型比較方便；對于觀測器的設計及系統辨識，能觀標準型比較方

8、便。 能控標準型（如果已知系統的狀態空間表達式）判別系統的能控性。計算特征多項式，即可寫出。求變換矩陣，。求，計算，也可以驗證是否有。 能控標準型 判別系統的能控性。計算特征多項式，即可寫出。求變換矩陣。求，計算，也可以驗證是否有。 能觀標準型判別系統的能觀性。計算特征多項式，即可寫出。求變換矩陣。求，計算，也可以驗證是否有。 能觀標準型判別系統的能觀性。計算特征多項式，即可寫出。求變換矩陣，。求，計算，也可以驗證是否有。 如果已知傳遞函數陣，可直接寫出能控標準型和能觀標準型的狀態空間表達。能控標準型：能觀標準型：八線性系統的結構分解1按能控性分解（狀態不完全能控，即），通過非奇異變換完成。，

9、前個列矢量是m中個線性無關的列，其他列矢量保證非奇異的條件下是任意的。2按能觀性分解（狀態不完全能觀，即），通過非奇異變換完成。，前個行矢量是n中個線性無關的行，其他行矢量保證非奇異的條件下是任意的。3按能控性和能觀性分解（系統是不完全能控和不完全能觀的），采用逐步分解法，雖然煩瑣，但直觀。步驟：首先按能控性分解（能控狀態，不能控狀態）。對不能控子系統按能觀性分解（不能控能觀狀態，不能控不能觀狀態）。將能控子系統按能觀性分解（能控能觀狀態，能控不能觀狀態）。綜合各步變換結果，寫出最后的表達式。 另一種方法：化為約當標準型，判斷各狀態的能控性能觀測性，最后按4種類型分類排列。九傳遞函數陣的實現問

10、題1實現的定義：由寫出狀態空間表達式，甚至畫出模擬結構圖，稱為傳遞函數陣的實現問題。 條件：傳遞函數陣中每個元的分子分母多項式都是實常數；元是s的真有理分式。注意：如果不是有理分式，首先求出直接傳遞矩陣。2能控標準型和能觀標準型實現 單入單出系統，是有理分式，可直接根據分子分母多項式系數寫出能控標準1型和能觀標準2型實現。多輸入多輸出系統，是矩陣，將整理成和單入單出系統傳遞函數相類似的形式，即；此時的是維常數陣。其能控標準型和能觀標準型實現與單入單出系統類似，只是各矩陣中的0變為全零矩陣，1變為單位矩陣i，常數變為常數乘單位矩陣，即。注意：能控標準型實現的維數是；能觀標準型實現的維數是。3最小

11、實現（維數最小的實現）為最小實現的充要條件是是完全能控能觀的。步驟：對給定的，初選一種實現（能控標準型或能觀標準型），假設選能控標準型，判斷是否完全能觀測，若完全能觀測則就是最小實現；否則進行能觀性分解，進一步找出能控能觀部分，即為最小實現。注意：傳遞函數陣的實現不是唯一的，最小實現也不是唯一的。十傳遞函數中零極點對消與能控性和能觀性之間的關系對單輸入系統、單輸出系統或者單輸入單輸出系統，系統能控能觀的充要條件是傳遞函數沒有零極點對消。而對多輸入多輸出系統，傳遞函數陣沒有零極點對消只是最小實現的充分條件，也就是說，即使存在零極點對消，系統仍有可能是能控能觀的（p147 例3-19）。對單輸入單

12、輸出系統，若傳遞函數出現了零極點對消，還不能判斷到底是不能控還是不能觀，還是既不能控又不能觀。第四章 穩定性與李雅普諾夫方法一 穩定性的定義李雅普諾夫給出了對任何系統都普遍適用的穩定性定義。1平衡狀態為齊次狀態方程。滿足對所有t，都有成立的狀態矢量稱為系統的平衡狀態。穩定性問題都是相對于某個平衡狀態而言的。通常只討論坐標原點處的穩定性。2穩定性的幾個定義李雅普諾夫意義下穩定，（相當于自控里的臨界穩定）；漸近穩定，（相當于自控里的穩定）；大范圍漸近穩定，大范圍漸近穩定的必要條件是整個狀態空間只有一個平衡狀態；不穩定。二 李雅普諾夫第一法（間接法）1線性定常系統的穩定判據狀態穩定性：平衡狀態漸近穩

13、定的充要條件是a的所有特征值具有負實部。輸出穩定性：充要條件是傳遞函數的極點位于s的左半平面。2非線性系統的穩定性線性化處理。；，若a的所有特征值具有負實部，則原非線性系統在平衡狀態漸近穩定。若a的所有特征值至少有一個具有正實部，則原非線性系統在平衡狀態不穩定。若若a的所有特征值至少有實部為零，則穩定性不能有特征值的符號來確定。三李雅普諾夫第二法（直接法） 借助于一個李雅普諾夫函數來直接對平衡狀態的穩定性做出判斷。1預備知識是由n維矢量x定義的標量函數，且在處，恒有，對任何非零矢量x，如果，則稱之為正定；如果，則稱之為負定；如果則稱之為半正定或非負定；如果則稱之為半負定或非正定；如果或，則稱之

14、為不定。為二次型標量函數，為實對稱陣。要判別的符號只要判別的符號即可。的定號判據（希爾維特斯判據）：首先求出的各階順序主子式，若所有的，則（）正定；若的，的則（）負定；2李雅普諾夫函數對于一個給定系統，如果能找到一個正定的標量函數，而是負定的，則這個系統是漸近穩定的，這個標量函數叫做李雅普諾夫函數。李雅普諾夫第二法的關鍵問題就是尋找李雅普諾夫函數的問題。穩定性判據設，平衡狀態為，如果存在標量函數是正定的，即時，有，時，有，且滿足，則稱原點平衡狀態是漸近穩定的；如果當時，則系統是大范圍漸近穩定的。設，平衡狀態為，如果存在標量函數是正定的，即時，有，時，有，且滿足，但除外，即，不恒等于，則稱原點平

15、衡狀態是漸近穩定的；如果當時，則系統是大范圍漸近穩定的。設，平衡狀態為，如果存在標量函數是正定的，即時，有，時，有，且滿足，但任意的，恒等于，則稱原點平衡狀態是李雅普諾夫意義下穩定的。設，平衡狀態為，如果存在標量函數是正定的，即時，有，時，有，且滿足，則稱原點平衡狀態是不穩定的。需要注意：這些判據定理知識充分條件，也就是說，沒有找到合適的李雅普諾夫函數來證明原點的穩定性，不能說明原點一定是不穩定的。如果是可找到的，那么通常是非唯一的，但不影響結論。最簡單的形式是二次型標量函數，但不一定都是簡單的二次型。構造需要較多技巧。四李雅普諾夫方法在線性系統中的應用線性定常連續系統漸近穩定判據定理：，若a

16、是非奇異的，原點是唯一的平衡點。原點大范圍漸近穩定的充要條件是對任意對稱實正定矩陣，李雅普諾夫方程，存在唯一的對稱正定解。該定理等價于的特征值具有負實部。但高階系統求解特征值復雜。步驟：選定正定矩陣，通常為，代入李雅普諾夫方程，確定出，判斷是否正定，進而做出系統漸近穩定的結論。第五章 線性定常系統的綜合綜合：常規綜合，使系統性能滿足某種籠統指標要求；最優綜合，使系統性能指標在某種意義下達到最優。一線性反饋控制系統的基本結構及其特性1狀態反饋 將系統的每一個狀態變量乘以相應的反饋系數，然后反饋到輸入端與參考輸入相加，作為受控系統的控制輸入。k稱為狀態反饋增益陣，。設原受控系統，=0。狀態反饋閉環

17、系統的狀態空間表達式簡稱與原受控系統比較，狀態反饋增益陣的引入，并不增加系統的維數，但可以通過的選擇改變閉環系統的特征值，從而使獲得所要求的性能。2輸出反饋由輸出端y引入輸出反饋增益陣h（），然后反饋到輸入端與參考輸入相加，作為受控系統的控制輸入。狀態空間表達式為簡稱通過的選擇也可以改變閉環系統的特征值，從而改變性能，但可供選擇的自由度遠比小（通常）。從輸出到狀態變量導數的反饋從輸出y引入反饋增益陣g（）到狀態變量的導數，所得狀態空間表達式為簡稱通過的選擇也可以改變閉環系統的特征值，從而改變性能。以上三種反饋的共同點是，不增加新的狀態變量，系統開環與閉環同維，其次，反饋增益陣都是常數矩陣，反饋

18、為線性反饋。閉環系統的能控性與能觀性a狀態反饋不改變受控系統的能控性，但不保證系統的能觀性不變。b輸出反饋不改變受控系統的能控性和能觀性。二極點配置問題就是通過選擇反饋增益矩陣，將閉環系統的極點恰好配置在根平面所期望的位置，以獲得所希望的動態性能。只討論單輸入單輸出系統采用狀態反饋對系統任意配置極點的充要條件是完全能控。給定，給定期望的極點，設計狀態反饋控制器的方法：能控規范型法，適合于。首先判斷是否完全能控，是，則存在狀態觀測器。通過線性變換化為能控標準型，得到。加入狀態反饋增益矩陣,得到閉環系統狀態空間表達式，求出對應的閉環特征多項式。由給定的期望極點，求出期望的閉環特征多項式。將與比較，

19、即可得到。把對應與的，通過 。進一步畫出模擬結構圖。當階次較低時，可直接由反映物理系統的a,b矩陣求狀態反饋增益矩陣，不通過非奇異變換，使設計工作簡單。首先判斷是否完全能控，是，則存在狀態觀測器。加入狀態反饋增益矩陣,得到閉環系統狀態空間表達式，求出對應的閉環特征多項式。由給定的期望極點，求出期望的閉環特征多項式。將與比較，即可得到。進一步畫出模擬結構圖。注意，如果給定的是傳遞函數，則先畫出其要求的模擬結構圖，寫出狀態空間描述，然后做其他工作。2采用輸出反饋不能任意極點配置，正是輸出線性反饋的基本弱點。采用從輸出到的反饋對系統任意配置極點的充要條件是完全能觀。設計從輸出到的反饋陣的問題就是其對

20、偶系統設計狀態反饋陣的問題。方法：（）能觀標準型法，適合于。首先判斷是否完全能觀，是，則存在輸出反饋。通過線性變換化為能觀標準型，得到。加入輸出反饋增益矩陣,得到閉環系統狀態空間表達式，求出對應的閉環特征多項式。由給定的期望極點，求出期望的閉環特征多項式。將與比較，即可得到。把對應與的，通過 。進一步畫出模擬結構圖。當階次較低時，可直接由反映物理系統的a,c矩陣求狀態反饋增益矩陣，不通過非奇異變換，使設計工作簡單。首先判斷是否完全能觀，是，則存在輸出反饋。加入從輸出到的反饋增益矩陣,得到閉環系統狀態空間表達式，求出對應的閉環特征多項式。由給定的期望極點，求出期望的閉環特征多項式。將與比較，即可

21、得到。進一步畫出模擬結構圖。五狀態觀測器作用：閉環極點的任意配置、系統解藕以及最優控制系統都離不開狀態反饋。但狀態變量并不是都能直接檢測，有些根本無法檢測，這就提出狀態觀測或狀態重構問題。龍伯格提出的狀態觀測器理論，解決的狀態重構問題，使狀態反饋成為一種可實現的控制律。定義：動態系統以的輸入u和輸出y作為輸入量，產生一組輸出量逼近于，即，則稱為的一個狀態觀測器。構造原則：必須是完全能觀或不能觀子系統是漸近穩定的；的輸出應以足夠快的速度漸近于；在結構上盡可能簡單（具有盡可能低的維數），以便于物理實現。等價性指標動態系統原系統得到只要系統是穩定的，即的特征值具有負實部，就可做到與是穩態等價的。重構狀態方程原因：系統的狀態是不能直接量測的，因此很難判斷是否有逼近于；不一定能保證的特征值均具有負實部。克服這個困難，用對輸出量的差值的測量代替對狀態誤差的測量，當，有。同時，引入反饋陣，使系統的特征值具有負實部。狀態重構方框圖為p213 5.16(a) 要求熟練記憶，這種狀態觀測器稱為漸近觀測器。狀態觀測器方程為記為這里的g稱為輸出誤差反饋矩陣。可以證明，如果的特征值具有負實部，那么狀態誤差將逐漸衰減到，即估計狀態逼近于實際的狀態。逼近的速度取決于g的選擇，即的特征值的配置。觀測器的存在性對于完全能觀測的線性定常系統