1、第二章 推理與證明21 合情推理與演繹推理21.1 合 情 推 理1了解合情推理的含義2能利用歸納和類比等實行簡單的推理，體會并理解合情推理在數學發現中的作用1歸納推理由某類事物的部分對象具有某些特征，推出這類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理稱為歸納推理(簡稱歸納)簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理2類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比)簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理3合情推理歸納推理和類比推理都是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再實行歸納

2、、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統稱為合情推理通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理1已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式s，可推知扇形面積公式s扇等于(c) a. b.c. d不可類比解析：由扇形的弧長與半徑類比于三角形的底邊與高可得c.故選c.2從112，23432，3456752，可得一般規律為_解析：猜想：第n個等式的左邊是2n1個連續整數的和，第1個數為n，等式的右邊是整數個數的平方，即一般規律為n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)23根據下列5個圖形及相對應點的個數的變化規律，試猜想第n個圖形中有_個點解析：第

3、n個圖有n個分支，每個分支上有(n1)個點(不含中心點)，再加上中心1個點，則有n(n1)1n2n1個點答案：n2n14在平面幾何中，abc的內角平分線ce分ab所成線段的比為，把這個結論類比到空間：在三棱錐abcd中(如圖所示)，平面dec平分二面角acdb且與ab相交于點e，則得到的類比結論是_解析：把線段比類比到面積比，得.答案：數學研究中，得到一個新結論之前，合情推理常常能協助我們猜測和發現結論；證明一個數學結論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向合情推理的一般過程為：(1)歸納推理的分類完全歸納推理：由某類事物的全體對象推出結論不完全歸納推理：由某類事物的部分對象推出結論需

4、要注意的是，由完全歸納推理得到的結論是準確的，由不完全歸納推理得到的結論不一定準確(2)歸納推理的特點因為歸納是根據部分已知的特殊現象推斷未知的一般現象，因而歸納推理具有以下特點：所得結論超越了前提所包含的范圍；所得結論具有猜測性質，準確性需要證明；歸納的基礎在于觀察、實驗或經驗(3)歸納推理的一般步驟通過觀察、分析個別情況，發現某些相同特征；將發現的相同特征實行歸納，推出一個明確表達的一般性命題(猜想)(1)類比推理的特點類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性；類比是以原有知識為基礎，猜測新結論；類比能發現新結論，但結論具有猜測性，準確性需要證明(2)類比推理的一般步驟明確兩類對

5、象；找出兩類對象之間的相似性或者一致性；用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得到一個明確的結論1歸納推理的一般步驟：(1)通過觀察個別情況發現某些相同性質(2)從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題(猜想)2歸納推理的思維進程實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結論即對有限的資料實行觀察、分析、歸納、整理，提出帶有規律性的結論，然后對該猜想的準確性加以檢驗3一般地，歸納的個別情況越多，越具有代表性，推廣的一般性命題就越可靠4運用類比推理的一般步驟：(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性(2)用一類事物的性質推測另一類事物的性質，得出一個明確的結論5類比推理常見的幾種題型(1)類比定義：本

6、類題型解決的關鍵在于弄清兩個概念的相似性和相異性以及運用新概念的準確性(2)類比性質(定理)：本類題型解決的關鍵在于要理解已知性質(定理)的內涵、應用環境及使用方法，通過研究已知性質(定理)，刻畫新性質(定理)的“面貌”(3)類比方法(公式)：本類題型解決的關鍵在于解題方法1下圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規律往下排列起來，那么第36顆珠子的顏色是(a)a白色 b黑色c白色可能性大 d黑色可能性大2數列2，5，11，20，x，47，中的x等于(b)a28 b32c33 d273已知三角形的三邊長分別為a，b，c，其內切圓的半徑為r，則三角形的面積為：s(abc)r，利用類比推理，可以得出四面體的體積為(c)avabcbvshcv(s1s2s3s4)·r(其中s1，s2，s3，s4分別是四面體四個面的面積，r為四面體內切球的半徑