1、1.1.定義定義2.9).)()(,)(;()(),()(;)(,)(, )()(lim,)(0000000上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)是是又稱為又稱為上連續(xù)上連續(xù)在在則稱則稱中每一點都連續(xù)中每一點都連續(xù)在在若若為間斷點）為間斷點）又稱又稱的一個不連續(xù)點的一個不連續(xù)點稱為稱為這時這時稱為間斷稱為間斷又又點不連續(xù)點不連續(xù)在在否則稱否則稱的一個連續(xù)點的一個連續(xù)點稱為稱為點連續(xù)點連續(xù)在在則稱則稱若若的定義域為的定義域為設函數(shù)設函數(shù)DxfDxfDxfxfxxxfxfxxxfxfxfDxDxfyxx 處連續(xù)的三要素：處連續(xù)的三要素：在點在點0)(xxf處處有有定定義義；在在點點0)()1(xxf)()(li

2、m)3(00 xfxfxx 存在；存在；)(lim)2(0 xfxx第1頁/共25頁?)1()(lim1fxfx 2)3(lim)(lim11 xxfxx231)1(f處連續(xù)。處連續(xù)。在在于是由定義知，于是由定義知，1)( xxf).1(2)(lim1fxfx 由此可知，由此可知，處的連續(xù)性。處的連續(xù)性。和和在在討論討論010, 20, 3)( xxxxxxxf例例解解處有處有在在1 x處呢？處呢？在在0 x )3(lim)(lim00 xxfxx)0(2)2(lim)(lim00fxxfxx 右連續(xù)右連續(xù)不左連續(xù)不左連續(xù)處不連續(xù)。處不連續(xù)。在在0)( xxf)0(3f 第2頁/共25頁性質(zhì)性

3、質(zhì)2.14.)()(00點點既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在點點連連續(xù)續(xù)在在xxfxxf定理定理2.3 基本初等函數(shù)在其基本初等函數(shù)在其定義域定義域內(nèi)處處連續(xù)內(nèi)處處連續(xù), ,初等函初等函數(shù)在其數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間（含在定義域內(nèi)的最大區(qū)間（含在定義域內(nèi)的最大區(qū)間) )內(nèi)處處連內(nèi)處處連續(xù)，其中區(qū)間端點處的連續(xù)性是指相應的單側(cè)連續(xù)性續(xù)，其中區(qū)間端點處的連續(xù)性是指相應的單側(cè)連續(xù)性. .2.基本初等函數(shù)與初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)與初等函數(shù)的連續(xù)性定義定義2.10.)(),()(lim000點右連續(xù)點右連續(xù)在在則稱則稱若若xxfxfxfxx .)(),()(lim000點左連續(xù)點左連續(xù)在在則稱則

4、稱若若xxfxfxfxx 。是一條連續(xù)不斷的曲線是一條連續(xù)不斷的曲線區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)圖形區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)圖形.)(只可能在分段點處只可能在分段點處間斷點間斷點分段函數(shù)的不連續(xù)點分段函數(shù)的不連續(xù)點,baC第3頁/共25頁3.函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點處不連續(xù)，處不連續(xù)，在點在點若函數(shù)若函數(shù)0)(:xxfDef。間斷點間斷點的的為為則稱則稱)(0 xfx第一類間斷點第一類間斷點:第二類間斷點第二類間斷點:稱稱0 x為為可去間斷點可去間斷點 .若若, )(lim)(lim00 xfxfxxxx 及及中至少一個不存在中至少一個不存在 .)(lim0 xfxx )(lim0 xfxx 及及均存在均存在 ,

5、)(lim0 xfxx )(lim0 xfxx )(0 xf且且不不全全等等于于稱稱0 x為為跳躍間斷點跳躍間斷點 .若若, )(lim)(lim00 xfxfxxxx .)()(lim)(lim000點的跳躍度點的跳躍度在在稱為稱為且且xxfxfxfxxxx 第4頁/共25頁2)(lim1 xfx),1(f oxy1122)1(lim)(lim11xxfxx, 22lim)(lim11xxfxx, 1)1(f.1, 2)1(為連續(xù)點為連續(xù)點則則改改 xf解解.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxf例例.0可去間斷點可去間斷點為函數(shù)的為函

6、數(shù)的 x可去間斷點可去間斷點第5頁/共25頁注處處的的連連續(xù)續(xù)性性。在在討討論論函函數(shù)數(shù)01sin xxxy例例.0,01sin是是該該函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點點所所以以處處沒沒有有定定義義在在因因為為 xxxxy xxx1sinlim0而而.0可可去去間間斷斷點點為為該該函函數(shù)數(shù)的的所所以以 x, 00 yx時，時，如果補充當如果補充當解解則可使其變?yōu)檫B續(xù)點。則可使其變?yōu)檫B續(xù)點。定義，定義，補充間斷點處函數(shù)值的補充間斷點處函數(shù)值的可去間斷點只要改變或可去間斷點只要改變或的連續(xù)點。的連續(xù)點。為為則則)(0 xfx 0001sin)(xxxxxf)( , 0 無窮小乘有界變量無窮小乘有界變量第6頁

7、/共25頁跳躍間斷點跳躍間斷點, 0)(lim)(lim00 xxfxx, 1)1(lim)(lim00 xxfxx),(lim)(lim00 xfxfxx oxy, 0)0(f.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf例例解解.0跳跳躍躍間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)的的 x.1跳跳躍躍度度為為返回返回第7頁/共25頁, 0lim)(lim00 xxfxx,1lim)(lim00 xxfxxoxy, 0)0(f.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf第二類間斷點第二類間斷點例例解解.0為函數(shù)的第二類間斷點x無窮間斷點無

8、窮間斷點第8頁/共25頁xy1sin ,0處處沒沒有有定定義義在在 x.0為為非非無無窮窮第第二二類類間間斷斷點點 x.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在例、討論函數(shù)例、討論函數(shù) xxxf不存在并不為無窮大，不存在并不為無窮大，且且xx1sinlim0解解第9頁/共25頁例例.11lim)(22點的跳躍度點的跳躍度在在求求 xxxxfnnn, 1)(lim, 0)(lim11 xfxfxx由此可知由此可知解解因此因此 1,1,110lim2xxxxnn，由于由于 1,11,2110)(xxxxf，.11)(點的跳躍度為點的跳躍度為在在 xxf第10頁/共25頁例例.,.)(2, 12110

9、,110,1)(2判別類型判別類型若有間斷點若有間斷點的連續(xù)性的連續(xù)性在其定義域內(nèi)在其定義域內(nèi)討論討論設設xfxxxxxxxxf 解解, ), 2(2 , 1()1 , 0)0 ,()()1(的定義域為的定義域為xf,)(), 2(),2 , 1(),1 , 0(),0 ,()2(都是初等函數(shù)都是初等函數(shù)中中且在且在xf.2, 1, 0)(321處處的間斷點只可能在的間斷點只可能在因而因而 xxxxf120 xx且且.)(續(xù)續(xù)在在這這些些區(qū)區(qū)間間中中都都處處處處連連故故xf第11頁/共25頁xxfxx1lim)(lim00 由于由于, 211lim)(lim211 xxxfxx;)(01的第二

10、類間斷點的第二類間斷點是是因此因此xfx 11lim)(lim222 xxxfxx;)(12的可去間斷點的可去間斷點是是因此因此xfx ,12處無定義處無定義在在 x)12(lim)(lim22 xxfxx, 3)2( f.)(23的連續(xù)點的連續(xù)點是是因此因此xfx , 3 , 3 , .1 , 0), 1()1 , 0()0 ,()(均為間斷點均為間斷點上連續(xù)，上連續(xù)，在在故故 xxf:0)3(處處在在 x:2處處在在 x:1處處在在 x1)0( f第12頁/共25頁結論：在討論分段函數(shù)連續(xù)性時，先利用初等函數(shù)的連結論：在討論分段函數(shù)連續(xù)性時，先利用初等函數(shù)的連續(xù)性，分段說明函數(shù)在各分段子區(qū)

11、間內(nèi)的連續(xù)性。但在續(xù)性，分段說明函數(shù)在各分段子區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性。但在分段點處的連續(xù)性，要按在一點連續(xù)性定義專門討論。分段點處的連續(xù)性，要按在一點連續(xù)性定義專門討論。-11 111)(),(.2xbxxxaxxfba內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)：，使使函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義域域和和求求常常數(shù)數(shù)例例解解: :內(nèi)連續(xù)。內(nèi)連續(xù)。在在函數(shù)連續(xù)性可知函數(shù)連續(xù)性可知等等段均為初等函數(shù)，由初段均為初等函數(shù)，由初為分段函數(shù)，而每一小為分段函數(shù)，而每一小), 1()1,()1 , 1()()()1( xfxf處也連續(xù)。處也連續(xù)。和和內(nèi)連續(xù)，只要在分段點內(nèi)連續(xù)，只要在分段點要在整個定義域要在整個定義域11),()2( xx第13頁

12、/共25頁bbxxx)(lim2)1()(lim)1(xfx1)1(lim)1(aaxx)(lim)1(xfx1)1(afbbxxxfxx 2)(lim)(lim2111)1(lim)(lim11aaxxfxx又又1)1( af 12111)(ababxxxf處連續(xù)，只要處連續(xù)，只要和和在在于是要使于是要使內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)。在在定定義義域域時時，于于是是當當),()(0, 1 xfba0, 1 ba:1處處在在 x:1處處在在 x第14頁/共25頁指出函數(shù)的間斷點及其類型方法：指出函數(shù)的間斷點及其類型方法：函函數(shù)數(shù)中中的的分分段段點點。無無定定義義的的點點；或或者者分分段段一一般般為為使使得得、找

13、找出出可可能能的的間間斷斷點點：)()1(xf。、再再判判斷斷間間斷斷點點的的類類型型)2(。的的間間斷斷點點，并并指指出出類類型型指指出出函函數(shù)數(shù)例例)1(1)(.3 xxexfx處函數(shù)無意義，處函數(shù)無意義，和和10 xx都為間斷點。都為間斷點。和和10 xx )1(1lim30 xxexx3)1(3lim0 xx為可去間斷點。為可去間斷點。0 x)1(3lim0 xxxx )1(1lim31xxexx為無窮間斷點。為無窮間斷點。1 x解解: :第15頁/共25頁性質(zhì)性質(zhì)2.15. 0)()(, 0)(,)(0000 xfxOxxfxxf內(nèi)內(nèi)的某一小鄰域的某一小鄰域在在則則且且點連續(xù)點連續(xù)在

14、在若若 性質(zhì)性質(zhì)2.16.)0)()()(),()(),()(),()(,)(),(000點連續(xù)點連續(xù)在在為常數(shù)為常數(shù)那么那么點連續(xù)點連續(xù)在在若若xxgxgxfxgxfxgxfCxCfxxgxf ),()(lim)(000 xfxfxxfxx 處連續(xù)就是極限關系：處連續(xù)就是極限關系：在在由于由于推論推論.,) , 0)()()(),()(),()()(,)(),(0上連續(xù)上連續(xù)在在，上連續(xù)，則上連續(xù)，則在在設設babaxxgxgxfxgxfxgxfxCfbaxgxf 4.函數(shù)連續(xù)的有關性質(zhì)函數(shù)連續(xù)的有關性質(zhì)第16頁/共25頁性質(zhì)性質(zhì)2.17)()(lim,)(lim,)(AfxgfAxgAxx

15、fXxXx 則則點連續(xù)點連續(xù)在在若若點連續(xù)，點連續(xù)，在在點連續(xù)點連續(xù)在在特別是若特別是若)(A)(,)(00 xgxfxxg 函數(shù)在一點連續(xù)，則極限運算和函數(shù)運算可以交換。函數(shù)在一點連續(xù)，則極限運算和函數(shù)運算可以交換。)()(limAfxfAx 已知已知yxgXxxgf )()(lim令令)(limyfAy)(Af )(limxgfXx )()(lim)(000 xfxfxxfxx 連續(xù)：連續(xù)：在在函數(shù)函數(shù)).lim(0 xfxx )()(lim()(lim000 xgfxgfxgfxxxx 則則第17頁/共25頁內(nèi)內(nèi)處處處處連連續(xù)續(xù)在在),(e)( xxf xxxxxx11lnlime11l

16、im1e e. 例例.11limxxx 利用函數(shù)連續(xù)性求極限利用函數(shù)連續(xù)性求極限解解, 01lim xx由于由于 xxx11lnlimxxx1lim 1 xxxxxx11lnelim11lim),(111ln xxx因此因此ennn 11lim（冪指函數(shù)）（冪指函數(shù)） xxx11lnlime型型 1 exxx 101lim第18頁/共25頁例例 .) 1sin(1lim)3(;2321lim)2(;)21 (lim) 1 (11110 xxxxxxxxxxx 求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的極極限限：解解xxx10)21(lim)1( xxxx 111)1sin(1lim)3()21ln(10elim

17、xxx )21ln(1lim0exxx .e2 xxxx 2321lim)2(xxxx2321lnelim 12321limexxxxe. )1sin(1ln()11(1elim xxxx.e1 )2(1lim0exxx xxxx2321lnlime )1sin(1ln()11(lim1e xxxx型型 1（冪指函數(shù)）（冪指函數(shù)）)1sin()(11(lim21e xxxxx)1()(11(lim21e xxxxx)1(lim21exxx 第19頁/共25頁性質(zhì)性質(zhì)2.18.)(lim,)(limAnfAxfnx 則則若若例例.1211limnnn 求極限求極限解解 1211lnelim121

18、1limxxxxxx由于由于 1211lnlimxxxnnn 1211lim因此由性質(zhì)因此由性質(zhì)2.18 可得可得 121limxxx,21 .e21 限。限。利用函數(shù)極限求數(shù)列極利用函數(shù)極限求數(shù)列極 1211lnlimexxx型型 1第20頁/共25頁例例 連續(xù)復利問題：連續(xù)復利問題：. )1(00010rArAAArA 為為，則一年后的本息之和，則一年后的本息之和是本金，年利率為是本金，年利率為設設則以一年末的本利和為則以一年末的本利和為金金本利和作為后一期的本本利和作為后一期的本且前一期的且前一期的每期利率為每期利率為如果一年分兩期計息，如果一年分兩期計息，,21r)211(02rAA 200)211(21)211(rArrA .nrn次，則每次利率為次，則每次利率為假設一年計息假設一年計息,10nnnrAA 一年后的本息之和為一年后的本息之和為第21頁/共25頁,e)(,00rArArA 一年后的本息之和為一年后的本息之和為則則年利率為年利