1、知識立意還是能力立意 2016年11月21日下午，筆者在南寧市9中聽了一節(jié)視導(dǎo)課，內(nèi)容是反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)。聽市教研員農(nóng)老師說，“反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)”這節(jié)課曾是全國初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽決賽的題目，由此可見這節(jié)課內(nèi)容的重要以及其能夠很好考查教師對于“三個理解”的掌握程度和教學(xué)基本功。下面我就按照這節(jié)課的流程談?wù)勔恍┛捶ā?一、復(fù)習(xí)引入環(huán)節(jié)。執(zhí)教者在讓學(xué)生讀反比例函數(shù)的概念后提問：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了的概念，類比前面學(xué)習(xí)一次函數(shù)和二次函數(shù)的方法，這節(jié)課我們學(xué)習(xí)？課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。注重啟

2、發(fā)學(xué)生積極思考，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境，促使學(xué)生主動地、富有個性地學(xué)習(xí)，不斷提高發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力。根據(jù)課標(biāo)的精神，先提出問題，改成這樣提問“這節(jié)課我們要干什么（學(xué)什么）？”是否會更好些？等學(xué)生回答后再問“為什么接下來先學(xué)這個內(nèi)容”，若學(xué)生自己能回答用類比思想，學(xué)習(xí)函數(shù)的一般套路是：概念-圖象和性質(zhì)-應(yīng)用，只有先學(xué)圖象和性質(zhì)才能利用圖象和性質(zhì)去解決問題（應(yīng)用），若能這樣就更好了。就像農(nóng)老師說的那樣：“為什么要學(xué)函數(shù)呢？方程也可以解決問題啊，學(xué)函數(shù)不僅是為了利用它去解決問題，還要通過學(xué)它來感悟思想方法?！闭\然，若問為什么學(xué)函數(shù)，說淺一點，方程一般只能用來

3、解實際問題，且不能解決所有的實際問題，當(dāng)涉及最值、圖形運動與變化時，常常需要利用函數(shù)圖象及其性質(zhì)的知識。說深一點，從函數(shù)的觀點看數(shù)與式、方程與不等式，可以進一步加深對它們的理解。學(xué)習(xí)函數(shù)可以發(fā)展學(xué)生的符號意識、幾何直觀、運算能力、推理能力、模型思想以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，可以滲透類比思想、分類思想、從特殊到一般的思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想，可以掌握學(xué)習(xí)函數(shù)乃至學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一般方法。 二、探究新知環(huán)節(jié)。這個環(huán)節(jié)其實就是分析問題（怎樣學(xué)）和解決問題。執(zhí)教者用提示的話語引導(dǎo)學(xué)生先分k0和k0和k0和k0和k0和a0和k0的情況，讓學(xué)生在學(xué)案上畫的圖象。在這里是否可以先問一個問題“你能畫出k0時的圖象

4、嗎？”學(xué)生可能就會回答“需要取定一個k的值才能畫?！边@樣再追問“為什么要先取一個具體的值才能知道k0時的圖象？”這樣就可以趁機滲透從特殊到一般的思想。大數(shù)學(xué)家希爾伯特說過：“在討論數(shù)學(xué)問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用。”波利亞也說過：“如果你不能解決所提出的問題，那么可現(xiàn)去解決一個更特殊的問題或解決這個問題的一部分?！比A羅庚教授也強調(diào)：解題時先足夠地退，退到我們最易看清楚問題的地方，認透了，鉆深了，然后再上去。所有這些世界聞名的數(shù)學(xué)大師都非常重視特殊化的方法，先退后進，以退求進。我覺得不給學(xué)生看課本、不給出提示k取6，讓學(xué)生自己取一個值畫圖，然后圖象連帶表格一起投影，比較分析為何

5、k取6比較好。 得出圖象后執(zhí)教者引導(dǎo)學(xué)生探究圖象的特征。在這之前是否可以問一下“這里我們從解析式出發(fā)，經(jīng)過列表、描點連線得到圖象，是運用了什么數(shù)學(xué)思想？”讓學(xué)生知道這是數(shù)形結(jié)合思想，具體一點是從數(shù)到形。接下來先問一下“得到函數(shù)圖象后我們研究什么呢？”也許有些學(xué)生會回答“研究圖象的形狀、位置、特征。”當(dāng)然也可能沒有，也許會有些學(xué)生回答“研究函數(shù)的性質(zhì)?！比暨@樣就可提示學(xué)生回憶以前所學(xué)知識即可得出答案。形狀、位置很容易看出來，學(xué)生回答后執(zhí)教者問了一個問題“是不是所有k0的圖象都這樣？”這個問題問得不錯，若是學(xué)生能自己提出來就好了，若還有學(xué)生會問“老師，能用推理的方法來說明嗎？”就更好了。之后執(zhí)教者

6、用幾何畫板演示說明，我正奇怪為何不用演繹推理的方法說明位置問題，接下來執(zhí)教者就問“我們能否從解析式證明k0時在、象限？”第一個同學(xué)回答不出來，第二個同學(xué)回答出來，這里問一下“你是怎樣想出來的？”揭示思維探索過程，讓學(xué)生學(xué)會如何解題是否會好些？ 圖象特征可就沒有這么簡單了。執(zhí)教者用幾個問題“圖象與坐標(biāo)軸相交嗎？”、“隨著曲線的延伸，曲線是往里彎（偏離坐標(biāo)軸）還是往外彎（越來越靠近坐標(biāo)軸）？”“圖象是不是對稱圖形？”來引導(dǎo)學(xué)生進行探究。若是學(xué)生能自己提出這些問題該有多好，但是很多時候?qū)W生是不會、不愛也不敢提問，那只能由我們來引導(dǎo)、來培養(yǎng)和提高他們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力了。反比例函數(shù)圖象是曲線，那

7、我們就以二次函數(shù)圖象來類比分析，我們研究二次函數(shù)圖象特征時討論到開口方向、大小、一些特殊點（頂點、與坐標(biāo)軸的交點）、對稱軸（拋物線是軸對稱圖形）、隨著曲線的延伸越來越偏離對稱軸（隨x的增大或減小函數(shù)值的變化情況）。類似的，我們將要研究反比例函數(shù)圖象的哪些特征呢？學(xué)生由解析式很容易得出“圖象與坐標(biāo)軸不相交”的結(jié)論。那么第二個問題呢？學(xué)生回答“靠近坐標(biāo)軸”后，謝老師問“你是如何得出的？”學(xué)生回答“通過看表格和圖象猜測得到”，這時執(zhí)教者利用幾何畫板演示說明。太可惜了，為什么不追問一句“你能證明嗎？”也許執(zhí)教者認為這是漸近線知識，到高中才學(xué)，其實這個問題很容易，不需用到高中知識，況且這個問題和課本第5

8、頁連問2次“你能由解析式說明這些結(jié)論嗎？”有點相似和聯(lián)系?！胺幢壤瘮?shù)圖象是不是對稱圖形？”學(xué)生很容易知道是中心對稱圖形，老師再提問“那它是軸對稱圖形嗎？若是，在哪里？”學(xué)生經(jīng)仔細觀察思考，也發(fā)現(xiàn)圖象關(guān)于直線y=x軸對稱，執(zhí)教者說“我們利用幾何畫板來演示一下看看”就過了，太遺憾了，其實還有一條對稱軸是直線y=-x，所以應(yīng)該問一下“還有沒有其他的對稱軸”、“怎么證明？”利用信息技術(shù)有助于觀察發(fā)現(xiàn)（合情推理），但不能以此來說明或證明。課標(biāo)指出：現(xiàn)代信息技術(shù)的作用不能完全替代原有的教學(xué)手段，其真正價值在于實現(xiàn)原有的教學(xué)手段難以達到甚至達不到的效果。不應(yīng)在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中簡單地將信息技術(shù)作為縮短思維過程

9、、加大教學(xué)容量的工具；不提倡計算機上的模擬實驗來代替學(xué)生能夠操作的實踐活動；也不提倡利用計算機演示來代替學(xué)生的直觀想象，弱化學(xué)生對數(shù)學(xué)規(guī)律的探索活動。同時課標(biāo)強調(diào)：推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該設(shè)計適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，知道結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認。 接下來是結(jié)合圖象探究性質(zhì)，執(zhí)教者通過提問學(xué)生的方式來進行。記得有位男生回答時漏掉“在每一個象限內(nèi)”這個前提條件，這種情況可能是學(xué)生類比一次函數(shù)的增減性得出的結(jié)論，是一種負遷移，應(yīng)該捕捉這個生成，因勢利導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生舉出反例，分析問題出在哪里，這樣才能加深理解。得出性

10、質(zhì)后執(zhí)教者也及時滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，具體一點是從形到數(shù)。只有證明才有說服力，課本第5頁連問2次“你能由解析式說明這些結(jié)論嗎？”且有“并結(jié)合解析式，我們可以發(fā)現(xiàn)”這樣一句話，所以該問。至此，k0時的圖象與性質(zhì)探究完畢。再類比k0探究k0和k0時的情況進行分析。k0時圖象在、象限以及圖象與坐標(biāo)軸不相交在課堂上已經(jīng)推理證明，反比例函數(shù)圖象是中心對稱圖形、單調(diào)性也易證，下面證明：1.隨著曲線的延伸，曲線越來越靠近坐標(biāo)軸；2.反比例函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x軸對稱。證明：用表示增大，表示減小。這里用絕對值避免了討論符號（正負），運用了轉(zhuǎn)化思想把實數(shù)轉(zhuǎn)化為算術(shù)數(shù)。當(dāng)然，逆向證明也可以。設(shè)點A（a,b）是雙曲

11、線上任意一點，則A1（b,a）、A（-b,-a）也在雙曲線上,再證明線段A1A被直線y=x垂直平分、線段AA被直線y=-x垂直平分即可。 在評課時農(nóng)老師說對稱特征課標(biāo)不要求，其證明可能用到高中知識。農(nóng)老師可能站在比較高的角度去分析，按照他的意思可能用“兩條直線互相垂直，則斜率的乘積k1k2=-1”和“中點坐標(biāo)公式（，）”來求。若用中點坐標(biāo)公式，還有幾種方法（不需用k1k2=-1，用初中知識即可。）在這里就不說了。倒是中點坐標(biāo)公式值得一提（可能有些老師在課堂中也讓學(xué)生記），因為中點坐標(biāo)公式可以很好地滲透從特殊到一般的思想，求解思路我就用幾個圖來說明吧： 課標(biāo)指出培養(yǎng)目標(biāo)是：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)

12、教育（普及性），不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展（發(fā)展性）。所以我們可視學(xué)生基礎(chǔ)而定，若學(xué)生基礎(chǔ)較差則不講，若學(xué)生基礎(chǔ)較好則講，否則總是提問一些簡單的問題，怎能激發(fā)他們的興趣？又怎能提高他們的能力？要不就留作課后探究作業(yè)。毛爺爺說過：具體情況具體分析嘛。 用初中知識用表達式不能解答為何像圖1這樣彎而不是像圖2圖3圖4這樣彎 需要用到高中導(dǎo)數(shù)的知識。（k0時的情況）由此圖可知圖2中x0時雖有y隨x增大而增大，但y0。由此圖可知圖4中x0時雖有y0，但y隨x增大而減小。（圖3與圖4道理一樣）附文2：一些教育觀點 大數(shù)學(xué)家克萊因說過：“唱歌能使你煥發(fā)激情，美術(shù)能使你賞心悅目，詩歌能使你撥動心弦，哲學(xué)能

13、使你增長智慧，科學(xué)能使你改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給你以上的一切！”我們要學(xué)會欣賞數(shù)學(xué)的簡單美、抽象美、統(tǒng)一美、對稱美、精確美、模糊美。 愛因斯坦說過:“提出問題比解決問題更重要?！惫柲挂舱f過：“問題是數(shù)學(xué)的心臟?！碧招兄舱f過：“發(fā)明千千萬，起點在一問。”數(shù)學(xué)的起源和發(fā)展就是由問題引起的，數(shù)學(xué)是在不斷地發(fā)現(xiàn)和提出問題并不斷地加以解決中前進的，數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)該是圍繞問題來進行的。物理學(xué)家與現(xiàn)代物理教育家趙凱華教授說：“中國史書上有哈雷彗星的出現(xiàn)，差不多有完整的記錄，但從來沒有人問它的軌道，更不會提出像“這些記錄是否屬于同一彗星”這類最基本的問題?！?古希臘著名哲學(xué)家、思想家亞里士多德曾說過:“吾

14、愛吾師，吾更愛真理！”韓愈在師說中也提到：弟子不必不如師，師不必賢于弟子。我們應(yīng)該有不唯書，不唯上的精神。為什么著名科學(xué)家錢學(xué)森會提出著名的“錢學(xué)森之問”？這個問題值得我們反思。“再創(chuàng)造、數(shù)學(xué)化”是荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾教育思想的核心，著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞也認為：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑，都是由自己去發(fā)現(xiàn)、探究，因為這種理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系?！比A羅庚教授說：“對書本的某些原理、公式，我們在學(xué)習(xí)的時候，不僅應(yīng)該記住它的結(jié)論，懂得它的道理，而且還應(yīng)該設(shè)想一下人家是怎樣想出來的，經(jīng)過多少曲折，攻破多少關(guān)鍵，才得出這個結(jié)論的。而且還不妨進一步設(shè)想一下，如

15、果書本上還沒有作出結(jié)論，我自己設(shè)身處地，應(yīng)該怎樣去得出這個結(jié)果？”日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏在其所著的數(shù)學(xué)精神、思想和方法一書的序言中寫到：“學(xué)生在初中高中接受的數(shù)學(xué)知識，出校門不到一兩年，很快就忘掉了，然而，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點，卻隨時隨地地發(fā)揮作用，使他們受益終生。”數(shù)學(xué)思想方法是將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁，因此，在教學(xué)過程中，我們應(yīng)該既要關(guān)注結(jié)果，更要關(guān)注結(jié)果背后的產(chǎn)生過程，因為知識獲得的過程蘊涵著數(shù)學(xué)的靈魂-數(shù)學(xué)思想方法。我們需要充分挖掘教材內(nèi)容和提煉解題過程中所隱藏的最有價值的東西傳授給學(xué)生。子曰：“不憤

16、不啟，不悱不發(fā)。”“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆。”“授之于魚，不如授之于漁。”葉圣陶先生也說過：“教是為了不教?！苯虒W(xué)就是教學(xué)生學(xué)會怎樣學(xué)習(xí)知識，達到不用教的境界。 章建躍博士在中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個論題中說到：“理解數(shù)學(xué)”是當(dāng)好數(shù)學(xué)教師的前提，在數(shù)學(xué)教師的知識結(jié)構(gòu)中，第一要素是“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，其主要內(nèi)涵是：了解數(shù)學(xué)知識的背景，準確把握數(shù)學(xué)概念、定理、法則、公式等的邏輯意義，深刻領(lǐng)悟內(nèi)容所反映的思想方法，具有挖掘知識所蘊涵的科學(xué)方法、理性思維過程和價值觀資源的能力。他認為：盡管現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)歷達標(biāo)率較高，還有許多數(shù)學(xué)教師具有碩士、博士學(xué)位，但總體而言，對中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的內(nèi)容及其反映的思想方法的

17、理解水平仍有很大的提高空間。章博士在談到對中學(xué)課堂教學(xué)的總體印象時說：課堂教學(xué)的品味不高是普遍性的，許多教師匠氣十足，一切圍繞升學(xué)考試轉(zhuǎn)，以題型教學(xué)、技巧訓(xùn)練代替數(shù)學(xué)教學(xué)，功利化色彩濃厚，缺少起碼的思想、精神追求，極大地損害了數(shù)學(xué)的育人功能。 下面是原中國數(shù)學(xué)會理事、著名數(shù)學(xué)特級教師孫維剛老師的觀點。 知識是需要的，但我們更需要的，是駕馭知識的睿智，是面對陌生的科技難題，敢于直面善于功克的創(chuàng)新能力，它的本質(zhì)，是高超的思維水平，是智力素質(zhì)。所以，教學(xué)的目的和實施，應(yīng)當(dāng)是，通過知識的教學(xué)，不斷發(fā)展學(xué)生的智力素質(zhì)，造就他們強大的頭腦，把不聰明的孩子變聰明起來，讓聰明的孩子更加聰明。 在教學(xué)過程中，對

18、任何細節(jié)，都鼓勵學(xué)生追溯本源，凡事都去問為什么，尋找它與其他事物之間的聯(lián)系，使它逐漸成為學(xué)生的一種根深蒂固的習(xí)慣。 站在系統(tǒng)的高度對知識八方聯(lián)系的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)它們是那樣盤根錯節(jié)，又渾然一體，而到后來，愈來愈加“漫江碧透，魚翔淺底”，知識好像在手心里，了如指掌，不再是那一堆瓦礫，不再是那一片望而生畏的戈壁灘。更重要的是，漸漸使學(xué)生的思維養(yǎng)成時時處在浮想聯(lián)翩、思潮如涌的狀態(tài)。培養(yǎng)學(xué)生勤思、善思，讓思考成為習(xí)慣。 人類歷史上，大凡著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、化學(xué)家以及軍事家、政治家等等，無不同時是哲學(xué)家、思想家。盡管他們在哲學(xué)上的成就不像他們在各自學(xué)科領(lǐng)域中的成就那樣耀眼，但他們都是站在哲理的高度，站在思想的高度，進行觀察，進行思考的。把握住哲學(xué)，便可能也才能高屋建瓴，勢如破竹，深入本質(zhì)，切中要害。 在課堂上，要創(chuàng)造條件，造就學(xué)生總是想在老師的前面，向老師（包括課本）挑戰(zhàn)，讓學(xué)生在思維運動中訓(xùn)練思維，真正做課堂的主人。我