1、不定積分的概念和性質不定積分的概念和性質不定積分的概念和性質 前面我們已經研究了一元函數微分學。但在科學前面我們已經研究了一元函數微分學。但在科學技術領域中，還會遇到與此相反的問題：即尋求一技術領域中，還會遇到與此相反的問題：即尋求一個可導函數，使其導數等于一個已知函數。從而產個可導函數，使其導數等于一個已知函數。從而產生了一元函數積分學。積分學分為不定積分和定積生了一元函數積分學。積分學分為不定積分和定積分兩部分。分兩部分。 本章我們先從導數的逆運算引出不定積分的概本章我們先從導數的逆運算引出不定積分的概念念然后介紹其性質，最后著重系統地介紹積分方法。然后介紹其性質，最后著重系統地介紹積分方

2、法。不定積分的概念和性質重點重點原函數與不定積分的概念原函數與不定積分的概念基本積分公式基本積分公式換元積分法換元積分法分部積分法分部積分法有理函數積分有理函數積分難點難點換元積分換元積分分部積分分部積分有理函數積分有理函數積分不定積分的概念和性質基本要求基本要求正確理解原函數和不定積分概念正確理解原函數和不定積分概念熟記基本積分公式熟記基本積分公式熟練地運用換元積分法和分部積分法熟練地運用換元積分法和分部積分法會用待定系數法求有理函數積分會用待定系數法求有理函數積分會用萬能代換和三角代換求三角有理式積分會用萬能代換和三角代換求三角有理式積分會求簡單無理函數的積分會求簡單無理函數的積分不定積分

3、的概念和性質例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數數. )0(1ln xxxxln是是x1在區間在區間), 0(內的原函數內的原函數.如果在區間如果在區間I內，內，定義：定義：可可導導函函數數)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函數數)(xF就就稱稱為為)(xf導函數為導函數為)(xf，或或dxxf)(在在區區間間I內內原原函函數數. .一、原函數與不定積分的概念一、原函數與不定積分的概念不定積分的概念和性質對原函數的研究須討論解決以下兩個對原函數的研究須討論解決以下兩個問題問題(1) 是否任何一個函數都存在原函數？是否

4、任何一個函數都存在原函數？考察如下的例子考察如下的例子 0100)(xxxf若存在可導函數若存在可導函數)()()(xfxFxF 使使)(xf則由則由的定義的定義時時當當0 x0)()( xfxF1)(CxF 時時當當0 x0)()( xfxF2)(CxF 處處連連續續在在可可導導由由0)()( xxFxF關于原函數的說明：關于原函數的說明：不定積分的概念和性質21CC （左、右極限存在且相等）（左、右極限存在且相等）CxF )(0)0( F而已知而已知1)0()0( fF矛盾矛盾這說明這說明)(xf沒有原函數沒有原函數 既然不是每一個函數都有原函數，那么我們自然既然不是每一個函數都有原函數，

5、那么我們自然要問：具備什么條件的函數才有原函數？對此我們要問：具備什么條件的函數才有原函數？對此我們給出如下的結論：給出如下的結論：原函數存在定理：原函數存在定理：如如果果函函數數)(xf在在區區間間I內內連連續續，那么在區間那么在區間I內存在可導函數內存在可導函數)(xF，使使Ix ，都都有有)()(xfxF . .不定積分的概念和性質簡言之：連續函數一定有原函數簡言之：連續函數一定有原函數.（證明待下章給出）（證明待下章給出）（2）原函數是否唯一？若不唯一，它們之間有）原函數是否唯一？若不唯一，它們之間有 什么聯系？什么聯系？若若 ，則對于任意常數，則對于任意常數 ，)()(xfxF CC

6、xF )(都都是是)(xf的的原原函函數數. 若若 和和 都是都是 的原函數，的原函數，)(xF)(xG)(xf則則CxGxF )()(（ 為任意常數）為任意常數）C證證 )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 為任意常數）為任意常數）C不定積分的概念和性質任意常數任意常數積分號積分號被積函數被積函數不定積分的定義：不定積分的定義：在在區區間間I內內，CxFdxxf )()(被積表達式被積表達式積分變量積分變量函函數數)(xf的的帶帶有有任任意意常常數數項項的的原原函函數數稱為稱為)(xf在區間在區間I內的內的不不定定積積分分，記記為為 dxxf)(. .

7、 為求不定積分，只須求出被積函數的一個原函數為求不定積分，只須求出被積函數的一個原函數再加上積分常數即可再加上積分常數即可不定積分的概念和性質例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx不定積分的概念和性質例例3 3 設曲線通過點（設曲線通過點（1，2），且其上任一點處的），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解解設曲線方程為設曲線方程為),(xfy 根據題意知根據題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一

8、一個個原原函函數數.,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過點（由曲線通過點（1，2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy不定積分的概念和性質函函數數)(xf的的原原函函數數的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線.顯然，求不定積分得到一積分曲線族顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF結論：結論： 微分運算與求不定積分的運算是微分運算與求不定積分的運算是的的.不定積分的概念和性質實例實例 xx 11.11Cxdxx

9、 啟示啟示能否根據求導公式得出積分公式？能否根據求導公式得出積分公式？結論結論既然積分運算和微分運算是互逆的，既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據求導公式得出積分公式因此可以根據求導公式得出積分公式.)1( 二、二、 基本積分表基本積分表不定積分的概念和性質基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數是常數););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx說明：說明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx簡寫為簡寫為.ln Cxxdx不定積分的概念和性質 xdxxtansec)10(;secCx x

10、dxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsinh)14(;coshCx xdxcosh)15(;sinhCx 以上以上1515個公式是求不定積分的基礎，個公式是求不定積分的基礎，稱為基本積分表，必須熟練掌握。稱為基本積分表，必須熟練掌握。不定積分的概念和性質例例4 4 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根據積分公式（根據積分公式（2）Cxdxx 11 不定積分的概念和性質 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf證證 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)(

11、)().()(xgxf 等式成立等式成立.此性質可推廣到有限多個函數之和的情況此性質可推廣到有限多個函數之和的情況三、三、 不定積分的性質不定積分的性質 dxxfxfn)()(1 dxxfdxxfn)()(1不定積分的概念和性質 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數數，)0 k證明只須驗證右端的導數等于左端的被積函數證明只須驗證右端的導數等于左端的被積函數（1）+（2） dxxfkdxxfkiniiniii)( )(11即線性組合的不定積分等于不定積分的線性組合即線性組合的不定積分等于不定積分的線性組合這說明不定積分具有線性運算性質這說明不定積分具有線性運算性質 注意到上式中有

12、注意到上式中有n個積分號，形式上含有個積分號，形式上含有n個任意個任意常數常數,但由于任意常數的線性組合仍是任意常數，故但由于任意常數的線性組合仍是任意常數，故實際上只含有實際上只含有一個任意常數一個任意常數分項積分法分項積分法不定積分的概念和性質例例5 5 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 注意注意檢驗積分結果是否正確，只要把結果求導，看檢驗積分結果是否正確，只要把結果求導，看其導數是否等于被積函數其導數是否等于被積函數不定積分的概念和性質例例6 6 求積分求積分.)1(122dxxxx

13、x 解解dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 例例7 7 求積分求積分.)1(21222dxxxx 解解dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222不定積分的概念和性質dxxdxx 22111.arctan1Cxx 例例8 8 求積分求積分.2cos11 dxx解解 dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 不定積分的概念和性質例例9dxxx 241解解dxxx 241dxxx 2411)1(dxxx 11122Cxxx 331arctan例例10dxxx

14、22cossin1解解dxxx 22cossin1dxxxxx 2222cossincossin不定積分的概念和性質 dxxxsin1cos122Cxx cottan例例11dxxx 2cos2sin122解解dxxx 2cos2sin122dxxx 2cos2sin4422dxx 2sin14Cx cot4說明：說明： 以上幾例中的被積函數都需要進行以上幾例中的被積函數都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.不定積分的概念和性質例例 1212 已知一曲線已知一曲線)(xfy 在點在點)(,(xfx處的處的切線斜率為切線斜率為xxsinsec2 ，且此曲線與，且此曲

15、線與y軸的交軸的交點為點為)5 , 0(，求此曲線的方程，求此曲線的方程. 解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy不定積分的概念和性質例例13 求求 dxxxI, 1max32解解 1|111, 1max2332xxxxxxx故故時時當當1 x14341CxdxxI 時時當當1 x23231CxdxxI 時時當當1| x 3CxdxI不定積分的概念和性質因被積函數連續，故原函數可導，進而原函數連續因被積函數連續，故原函數可導，進而原函數連續于是有于是有)4(lim)(li

16、m14131CxCxxx 13411CC 3143CC )(lim)31(lim31231CxCxxx 32131CC 332CC I132313 xCx11 xCx143414 xCx不定積分的概念和性質說明說明求不定積分時一定要加上積分常數，它表明求不定積分時一定要加上積分常數，它表明一個函數的原函數有無窮多個，即要求的是全一個函數的原函數有無窮多個，即要求的是全體原函體原函 數，若不加積分常數則表示只求出了一數，若不加積分常數則表示只求出了一個原函數個原函數寫成分項積分后，積分常數可以只寫一個寫成分項積分后，積分常數可以只寫一個積分的結果在形式上可能有所不同，但實質上積分的結果在形式上可能有所不同，但實質上只相差一個常數只相差一個常數不定積分的概念和性質基本積分表基本積分表(1)不定積分的性質不定積分的性質 原函數的概念：原函數的概念：)()(xfxF 不定積分的概念：不定積分的概念： CxFdxxf)()(求微分與求積分的互逆關系求微分與求積分的互逆關