1、第七節(jié)第七節(jié) 貝葉斯公式貝葉斯公式 全概率公式和貝葉斯公式主要用于全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復(fù)雜事件的概率計算比較復(fù)雜事件的概率, 它們實質(zhì)上它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用是加法公式和乘法公式的綜合運用. 綜合運用綜合運用加法公式加法公式p(a+b)=p(a)+p(b)a、b互斥互斥乘法公式乘法公式p(ab)= p(a)p(b|a)p(a)0例例1 有三個箱子，分別編號為有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝號箱裝有有1個紅球個紅球4個白球，個白球，2號箱裝有號箱裝有2紅紅3白球，白球，3號箱裝有號箱裝有3紅球紅球. 某人從三箱中任取一箱，從某人從三箱中任取一箱，從中

2、任意摸出一球，求取得紅球的概率中任意摸出一球，求取得紅球的概率.解：記解：記 ai=球取自球取自i號箱號箱, i=1,2,3; b =取得紅球取得紅球即即 b= a1b+a2b+a3b， 且且 a1b、a2b、a3b兩兩互斥兩兩互斥b發(fā)生總是伴隨著發(fā)生總是伴隨著a1，a2，a3 之一同時發(fā)生，之一同時發(fā)生，p(b)=p( a1b)+p(a2b)+p(a3b)運用加法公式得123將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的得到在概率計算中常用的全概率公式全概率公式.對求和中的每一項運用乘法公式得p(b)=p( a1b)+p(a2b)+p(a3

3、b)31iiiabpapbp)()()(代入數(shù)據(jù)計算得：代入數(shù)據(jù)計算得：p(b)=8/15 設(shè)設(shè)a1,a2,an是兩兩互斥的事件，且是兩兩互斥的事件，且p(ai)0， i =1,2,n, 另有一事件另有一事件b, 它總是與它總是與a1, a2, ,an之一同時發(fā)生，則之一同時發(fā)生，則 niiiabpapbp1)()()(全概率公式全概率公式: 設(shè)設(shè)s為隨機試驗的樣本空間，為隨機試驗的樣本空間，a1,a2,an是是兩兩互斥的事件，且有兩兩互斥的事件，且有p(ai)0，i =1,2,n, niiiabpapbp1)()()(全概率公式全概率公式:稱滿足上述條件的稱滿足上述條件的a1,a2,an為為

4、完備事件組完備事件組.,1sanii則對任一事件則對任一事件b，有，有在一些教科書中，常將全概率公式敘述為：在一些教科書中，常將全概率公式敘述為：在較復(fù)雜情況下直接計算在較復(fù)雜情況下直接計算p(b)不易不易,但但b總是總是伴隨著某個伴隨著某個ai出現(xiàn)，適當(dāng)?shù)厝?gòu)造這一組出現(xiàn)，適當(dāng)?shù)厝?gòu)造這一組ai往往可以簡化計算往往可以簡化計算.niiiabpapbp1)()()(全概率公式的來由全概率公式的來由, 不難由上式看出不難由上式看出:“全全”部概率部概率p(b)被分解成了許多部分之和被分解成了許多部分之和.它的理論和實用意義在于它的理論和實用意義在于: 某一事件某一事件b的發(fā)生有各種可能的原因的發(fā)

5、生有各種可能的原因(i=1,2,n)，如果，如果b是由原因是由原因ai所引起，則所引起，則b發(fā)生的概率是發(fā)生的概率是 每一原因都可能導(dǎo)致每一原因都可能導(dǎo)致b發(fā)生，故發(fā)生，故b發(fā)生的概率是各原因引起發(fā)生的概率是各原因引起b發(fā)生概發(fā)生概率的總和，即率的總和，即全概率公式全概率公式.p(bai)=p(ai)p(b |ai)全概率公式全概率公式.我們還可以從另一個角度去理解我們還可以從另一個角度去理解 由此可以形象地把全概率公式看成為由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果由原因推結(jié)果”，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的生有一定的“作用作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能，即結(jié)果發(fā)生的可能性

6、與各種原因的性與各種原因的“作用作用”大小有關(guān)大小有關(guān). 全概全概率公式表達了它們之間的關(guān)系率公式表達了它們之間的關(guān)系 .a1a2a3a4a5a6a7a8b諸諸ai是原因是原因b是結(jié)果是結(jié)果 例3：某地成年人體重某地成年人體重肥胖者肥胖者(a1)占占0.1，中等，中等者者(a2)占占0.82，瘦小者，瘦小者(a3)占占0.08，又肥胖者、，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血壓病的概率分別為中等者、瘦小者患高血壓病的概率分別為0.2，0.1，0.05.求該地成年人患高血壓的概率。求該地成年人患高血壓的概率。 解：令解：令b某人患高血壓（顯然某人患高血壓（顯然b 是一復(fù)雜事件），是一復(fù)雜事件），a某人

7、體重的特征某人體重的特征（、），顯然它們構(gòu)成（、），顯然它們構(gòu)成 一完備事件組，且事件一完備事件組，且事件b只能與其中之一事只能與其中之一事 件同時發(fā)生。故用全概率公式計算。件同時發(fā)生。故用全概率公式計算。p(b)=0.10.2+0.820.1+0.080.05=0.106p(b)= p( a1) p(b|a1)+ p( a2) p(b|a2)+ p( a3) p(b|a3)該球取自哪號箱的可能該球取自哪號箱的可能性最大性最大?實際中還有下面一類問題，是實際中還有下面一類問題，是“已知結(jié)果求原因已知結(jié)果求原因” 這一類問題在實際中更為常見，它所求這一類問題在實際中更為常見，它所求的是條件概率，

8、是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小求各原因發(fā)生可能性大小. 某人從任一箱中任意某人從任一箱中任意摸出一球，摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球發(fā)現(xiàn)是紅球,求求該球是取自該球是取自1號箱的概率號箱的概率.1231紅紅4白白或者問或者問:njjjiiiabpapabpapbap1)()()()()|( 該公式于該公式于1763年由貝葉斯年由貝葉斯(bayes)給出給出. 它它是在觀察到事件是在觀察到事件b已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致致b發(fā)生的每個原因的概率發(fā)生的每個原因的概率.貝葉斯公式貝葉斯公式： 設(shè)設(shè)a1,a2,an是兩兩互斥的事件，且是兩兩

9、互斥的事件，且p(ai)0，i=1,2,n, 另有一事件另有一事件b，它總是與，它總是與a1,a2,an 之一同時發(fā)生，則之一同時發(fā)生，則 ni, 21 直觀地將直觀地將ai 看成是導(dǎo)致隨機事件看成是導(dǎo)致隨機事件b發(fā)生的各發(fā)生的各種可能的原因，則種可能的原因，則p(ai)可以理解為隨機事件可以理解為隨機事件ai發(fā)生的發(fā)生的先驗概率先驗概率(a priori probability).如果如果我們知道隨機事件我們知道隨機事件b發(fā)生這個新信息，則它可發(fā)生這個新信息，則它可以用于對事件以用于對事件ai發(fā)生的概率進行重新的估計發(fā)生的概率進行重新的估計.事件事件p(ai|b)就是知道了新信息就是知道了新

10、信息“a發(fā)生發(fā)生”后對后對于概率的重新認(rèn)識，稱為隨機事件于概率的重新認(rèn)識，稱為隨機事件ai的的后驗概后驗概率率(a posteriori probability).njjjiiiabpapabpapbap1)()()()()|(貝葉斯公式貝葉斯公式： 貝葉斯公式在實際中有很多應(yīng)用，它貝葉斯公式在實際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件可以幫助人們確定某結(jié)果（事件 b）發(fā)生）發(fā)生的最可能原因的最可能原因. “thomas bayes，一位偉，一位偉大的數(shù)學(xué)大師，他的理論照大的數(shù)學(xué)大師，他的理論照亮了今天的計算領(lǐng)域，和他亮了今天的計算領(lǐng)域，和他的同事們不同：他認(rèn)為上帝的同事們不同：他認(rèn)為上

11、帝的存在可以通過方程式證明，的存在可以通過方程式證明，他最重要的作品被別人發(fā)行，他最重要的作品被別人發(fā)行，而他已經(jīng)去世而他已經(jīng)去世241年年 了了”。 例例 1 一個有一個有5個選擇的考題，其中只有一個個選擇的考題，其中只有一個選擇正確的選擇正確的.假定應(yīng)考人知道正確答案的概假定應(yīng)考人知道正確答案的概率為率為p.如果他最后選對了，問他確實知道答如果他最后選對了，問他確實知道答案的概率是多少案的概率是多少?求解如下求解如下:設(shè)設(shè) a=知道答案知道答案，b=選則正確選則正確，由題意可知：，由題意可知：1(|),(|)1,()( )5p b ap b ap abp ap由全概率公式由全概率公式:(

12、)(|) ( )(|) ( )p bp b a p ap b a p a141(1)55ppp得到得到:()5(|)( )41p abpp a bp bp例如，若例如，若12p則則5(|)6p a b 這說明老師們依據(jù)試卷成績來衡量學(xué)這說明老師們依據(jù)試卷成績來衡量學(xué)生平時的學(xué)習(xí)狀況還是有科學(xué)依據(jù)的生平時的學(xué)習(xí)狀況還是有科學(xué)依據(jù)的. 例例 2 某一地區(qū)患有癌癥的人占某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者，患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，問此人是

13、抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大癌癥患者的概率有多大?則則 表示表示“抽查的人不患癌癥抽查的人不患癌癥”. ccc已知已知 p(c)=0.005,p( )=0.995, p(a|c)=0.95, p(a| )=0.04求解如下求解如下:設(shè)設(shè) c=抽查的人患有癌癥抽查的人患有癌癥， a=試驗結(jié)果是陽性試驗結(jié)果是陽性， 求求p(c|a).現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義.由由貝葉斯公式貝葉斯公式，可得，可得 )|()()|()()|()()|(capcpcapcpcapcpacp代入數(shù)據(jù)計算得代入數(shù)據(jù)計算得: p(ca)= 0.1066 2. 檢出陽性是否

14、一定患有癌癥檢出陽性是否一定患有癌癥? 1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥 有無意義？有無意義？如果不做試驗如果不做試驗,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率 p(c)=0.005 患者陽性反應(yīng)的概率是患者陽性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗后得陽性，若試驗后得陽性反應(yīng)，則根據(jù)試驗得來的信息，此人是患者的反應(yīng)，則根據(jù)試驗得來的信息，此人是患者的概率為概率為 p(ca)= 0.1066 說明這種試驗對于診斷一個人是否患說明這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有意義有癌癥有意義.從從0.005增加到增加到0.1066,將近增加約將近增加約21倍倍.1.

15、這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥 有無意義？有無意義？2. 檢出陽性是否一定患有癌癥檢出陽性是否一定患有癌癥? 試驗結(jié)果為陽性試驗結(jié)果為陽性,此人確患癌癥的概率為此人確患癌癥的概率為 p(ca)=0.1066 即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有你有癌癥，這種可能性只有10.66% (平均來平均來說，說，1000個人中大約只有個人中大約只有107人確患癌癥人確患癌癥)，此時醫(yī)生常要通過再試驗來確認(rèn)此時醫(yī)生常要通過再試驗來確認(rèn). 例3：某地成年人體重某地成年人體重肥胖者肥胖者(a1)占占0.1，中等，中等

16、者者(a2)占占0.82，瘦小者，瘦小者(a3)占占0.08，又肥胖者、，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血壓病的概率分別為中等者、瘦小者患高血壓病的概率分別為0.2，0.1，0.05. 若已知某人患高血壓病，他最可能若已知某人患高血壓病，他最可能屬于哪種體型屬于哪種體型。 解：令解：令b某人患高血壓（顯然某人患高血壓（顯然b 是一復(fù)雜事件），是一復(fù)雜事件），a某人體重的特征某人體重的特征（、），顯然它們構(gòu)成（、），顯然它們構(gòu)成 一完備事件組，且事件一完備事件組，且事件b只能與其中之一事只能與其中之一事 件同時發(fā)生。故用全概率公式計算。件同時發(fā)生。故用全概率公式計算。p(b)=0.10.2+0.8

17、20.1+0.080.05=0.106p(b)= p( a1) p(b|a1)+ p( a2) p(b|a2)+ p( a3) p(b|a3)111232333() (/)0.1 0.2(/)0.189( )0.106() (/)0.82 0.1(/)0.774( )0.106() (/)0.08 0.05(/)0.038( )0.106p a p b ap abp bp a p b ap abp bp a p b ap abp b這一講我們介紹了這一講我們介紹了貝葉斯公式貝葉斯公式值得一提的是，后來的學(xué)者依據(jù)貝葉斯公值得一提的是，后來的學(xué)者依據(jù)貝葉斯公式的思想發(fā)展了一整套統(tǒng)計推斷方法，叫式的

18、思想發(fā)展了一整套統(tǒng)計推斷方法，叫作作“貝葉斯統(tǒng)計貝葉斯統(tǒng)計”. 可見貝葉斯公式的影可見貝葉斯公式的影響響 .定義：定義：在相同條件下進行在相同條件下進行次重復(fù)試驗次重復(fù)試驗，如果各次試驗結(jié)果的出現(xiàn)互不影響如果各次試驗結(jié)果的出現(xiàn)互不影響(獨立獨立)，則，則稱這種試驗為稱這種試驗為重獨立重復(fù)試驗。重獨立重復(fù)試驗。(2), ( ), ( )1naap ap p anpq (1)試驗在相同條件下獨立重復(fù)地進行 次；每次試驗只有兩個可能結(jié)果在獨立重復(fù)試驗中，它具有如下特征：這， 和重貝類試努且驗稱為里概型.( )(1),0,1,:2,kkn knnp kc ppkaknn定理在 重貝努里試驗中事件 恰好發(fā)生 次的概率為例：例：據(jù)報道，有的人對某藥有據(jù)報道，有的人對某藥有胃腸道反應(yīng)。為考察某廠的產(chǎn)品質(zhì)量，胃腸道反應(yīng)。為考察某廠的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)選名患者服用此藥，現(xiàn)選名患者服用此藥，試求下列事件的概率。試求下列事件的概率。（）有人有反應(yīng)；（）