1、課時作業梯級練十七導數與函數的零點 一、選擇題(每小題5分,共35分)1.若函數f(x)=x3-3x+a有3個不同的零點,則實數a的取值范圍是()a.(-,-1)b.(1,+)c. d. 【解析】選c.因為f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).當x0,當-1x1時,f(x)1時,f(x)0,所以當x=-1時,f(x)有極大值,當x=1時,f(x)有極小值.要使f(x)有3個不同的零點,只需 解得-2a2.2.(2021鄭州模擬)設函數f 是函數f 的導函數,當x0時,f + 0,則函數g =f - 的零點個數為()a.3b.2c.1d.0【解析】選d.設f =x3f -1,則f =x3

2、f +3x2f =x3 .當x0時,f + 0時,x30,故f 0,所以,函數y=f 在 上單調遞減;當x0時,x30,所以,函數y=f 在 上單調遞增.所以f =f(0)=-10得x ,由g(x)0得0x .所以g(x)在 上單調遞減,在 上單調遞增,且g(x)min=g( )=- ,由圖可知- a0,其中f(x)為f(x)的導函數,則不等式f(sin x)-cos 2x0的解集為()a. ,kzb. ,kzc. ,kzd. ,kz【解析】選d.設g(x)=f(x)+2x2-1,所以g(x)=f(x)+4x0在r上恒成立,所以g(x)在r上單調遞增,不等式f(sin x)-cos 2x=f(

3、sin x)+2sin2x-1,且g =0,不等式f(sin x)-cos 2x0,所以g(sin x)g ,sin x ,所以 +2kxx +2k,kz.5.(2020吉安模擬)已知定義在r上的奇函數f(x)滿足x0時,f(x)= x-ln x+ln ,則函數g(x)=f(x)-sin x(e為自然對數的底數)的零點個數是()a.1b.2c.3d.5【解析】選c.根據題意,函數g(x)=f(x)-sin x的零點即函數y=f(x)與y=sin x的交點,設h(x)=sin x,函數f(x)為r上的奇函數,則f(0)=0,又由h(0)=sin 0=0.則函數y=f(x)與y=sin x存在交點

4、(0,0),當x0時,f(x)= x-ln x+ln ,其導數f(x)= - ,分析可得在區間 上,f(x)0,f(x)為增函數,則f(x)在區間(0,+)上存在最小值,且其最小值為f = -ln +ln =1,又由h =sin =1,則函數y=f(x)與y=sin x存在交點 ,又由y=f(x)與y=sin x都是奇函數,則函數y=f(x)與y=sin x存在交點 .綜合可得,函數y=f(x)與y=sin x有3個交點,則函數g(x)=f(x)-sin x有3個零點.6.(2021石嘴山模擬)若函數f(x)=x2ex-a恰有3個零點,則實數a的取值范圍是()a. b. c.(0,4e2)d.

5、(0,+)【解析】選b.函數f(x)=x2ex-a的導數為f(x)=2xex+x2ex=xex(x+2),令f(x)=0,則x=0或-2,函數在(-2,0)上單調遞減,在(-,-2),(0,+)上單調遞增,所以0或-2是函數f(x)的極值點,函數的極值為:f(0)=0-a=-a,f(-2)=4e-2-a= -a,函數f(x)=x2ex-a恰有三個零點,則實數a的取值范圍是 .7.設函數f(x)= 則函數f(x)=xf(x)-1的零點的個數為()a.4b.5c.6d.7【解析】選c.xf(x)=1,轉化為f(x)= ,如圖,畫出函數y=f(x)和g(x)= 的圖象,當x0時,f(1)=1,g(1

6、)=1,此時f(1)=g(1)=1,x=1是函數的一個零點,f(3)= f(1)= ,g(3)= ,滿足f(3)g(3),所以在(2,4)有兩個交點,同理f(5)g(5),所以在(4,6)有兩個交點,f(7)7時,恒有f(x)0在(0,+)上恒成立,則f(x)在(0,+)上單調遞增,又f(0)=1,所以此時f(x)在(0,+)內無零點,不滿足題意.當a0時,由f(x)0得x ,由f(x)0得0x0,f(x)單調遞增,當x(0,1)時,f(x)0,所以函數在(0,+)上為增函數且f =-1- 0,所以當m0時,與g(x)= 有一個公共點,當m0)有唯一實數解,求實數m的值.【解析】(1)由題意,

7、得函數f(x)的定義域為(0,+),則導數為f(x)= -ax-b,由f(1)=0,得b=1-a,所以f(x)= -ax+a-1= ,若a0,由f(x)=0,得x=1.當0x0,此時f(x)單調遞增;當x1時,f(x)0,此時f(x)單調遞減.所以x=1是f(x)的極大值點.若a1,解得-1a-1.(2)因為當a=0,b=-1時,方程2mf(x)=x2有唯一實數解,所以x2-2mln x-2mx=0有唯一實數解,設g(x)=x2-2mln x-2mx,則g(x)= ,令g(x)=0,即x2-mx-m=0.因為m0,x0,所以x1= 0(舍去),x2= ,當x(0,x2)時,g(x)0,g(x)

8、在(x2,+)上單調遞增,當x=x2時,g(x)=0,g(x)取最小值g(x2),則 即 所以2mln x2+mx2-m=0,因為m0,所以2ln x2+x2-1=0,(*)設函數h(x)=2ln x+x-1,因為當x0時,h(x)是增函數,所以h(x)=0至多有一解,因為h(1)=0,所以方程(*)的解為x2=1,即 =1,解得m= . 1.(5分)已知f(x)=1- ,過點(k,0)與f(x)相切的直線有且僅有3條,則k的取值范圍是()a.(-,2-e2) b.(-,2-e2c.(-,4-e2) d.(-,4-e2【解析】選c.設切點為 ,f(x)= ,則切線為y-1+ = (x-x0),

9、代入點(k,0)得k=x0+ - ,令g(x)=x+ - ,則g(x)= ,當x0,g(x)單調遞增,注意到x1,故g(x)的遞增區間為(-,1),(1,2),當x2時,g(x)單調遞減,要使g(x)=k有三個根,由圖象可得,k0時,令f(x)=0,可得x3-x2-a=0,設g(x)=x3-x2,則g(x)=x(3x-2),當0x 時,g(x) 時,g(x)0,g(x)min=g = - .當x0時,令f(x)=0,可得x2+2x-a=0,設h(x)=x2+2x,h(x)min=-1,所以函數f(x)= 恰有2個零點,則a的取值范圍為 .3.(5分)已知函數f(x)= + 與g(x)=6x+a

10、的圖象有3個不同的交點,則a的取值范圍是.【解析】原問題等價于函數h(x)= + -6x與函數y=a的圖象有3個不同的交點,由h(x)=x2+x-6=(x-2)(x+3)=0,得x=2或x=-3,當x(-,-3)時,h(x)0,h(x)單調遞增;當x(-3,2)時,h(x)0,h(x)單調遞增.且h(-3)= ,h(2)=- ,數形結合可得a的取值范圍是 .答案: 4.(10分)(2019全國卷)已知函數f(x)=sin x-ln(1+x),f(x)為f(x)的導數.證明:(1)f(x)在區間 存在唯一極大值點;(2)f(x)有且僅有2個零點.【證明】(1)設g(x)=f(x),則g(x)=c

11、os x- ,g(x)=-sin x+ .當x 時,g(x)單調遞減,而g(0)0,g( )0;當x 時,g(x)0.所以g(x)在(-1,)單調遞增,在 單調遞減,故g(x)在 存在唯一極大值點,即f(x)在 存在唯一極大值點.(2)f(x)的定義域為(-1,+).當x(-1,0時,由(1)知,f(x)在(-1,0)單調遞增,而f(0)=0,所以當x(-1,0)時,f(x)0,故f(x)在(-1,0)單調遞減,又f(0)=0,從而x=0是f(x)在(-1,0的唯一零點.當x 時,由(1)知,f(x)在(0,)單調遞增,在 單調遞減,而f(0)=0,f 0;當x 時,f(x)0,所以當x 時,

12、f(x)0.從而,f(x)在 沒有零點.當x 時,f(x)0,f()1,所以f(x)0,從而f(x)在(,+)沒有零點.綜上,f(x)有且僅有2個零點.5.(10分)設函數f(x)=ln x+ax2-a+1,g(x)= .(1)若g(x1)=g(x2)=t(其中x1x2).求實數t的取值范圍;(一題多解)證明:2x1x20時,g(x)0,所以0t1.方法一:由不妨令0x11x2,所以 1.要證2x1x2x1+x2成立,只需證x1 .因為g(x)在(-,1)上單調遞增,故只需證g(x2)=g(x1)0.令u=2x2-11,只需證 -u0(u1),即證ln u- 1).令(u)=ln u- (u1

13、),因為(u)= 0,所以(u)(1)=0,故2x1x2x1+x2.方法二:由不妨令0x111),因為(u)= 0,所以(u)1,得ln - ,即 =1,所以0x1x22 2,所以2x1x2-(x1+x2)0,故2x1x20),因為h(1)=0,且h(x)0在(0,+)上恒成立,則x=1是極小值點,所以h(1)=0,可得a=- ,事實上,當a=- 時,h(x)= -ln x+ x2- ,所以h(x)= ,易知exex, 1x+1(x0),所以h(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+)上單調遞增,h(x)min=h(1)=0.所以h(x)0在(0,+)上恒成立,即f(x)g(x)在(0,+)上恒成立,且f(x)=g(x)在(0,+)內有唯一解.方法二:事實上,h(x)0在(0,+)上恒成立,也可以由下式說明:h(x)= -ln x+ x2- =e1-x+ln x-ln x+ x2- (1-x+ln x)+1-ln x+ x2- = (x-1)20.【加練備選拔高】設函數f(x)=ln x+x.(1)令f(x)=f(x)+ -x(00,所以=m2+4m0,又x0,所以x1= 0(舍去),x2= .