1、第五章 剛體力學剛體力學兩個重要公式 轉動定律 角動量守恒定律zdMJJdt0zM恒量JLz 機械能守恒定律： 當除重力矩以外的其他合外力矩不作功或作功為零時，則剛體機械能守恒。m O r T r T a mg T r T a mg 221atS )12(22 SgtmrJ由、式解得： Jm( ga) r2 / a 將式代入式得：2分又根據已知條件 v00a2S / t 22分TrJaJ【例】基礎訓練（18）如圖5-17所示、質量分別為m和2m、半徑分別為r和2r的兩個均勻圓盤，同軸地粘在一起，可以繞通過盤心且垂直盤面的水平光滑固定軸轉動，對轉軸的轉動慣量為9mr2/2，大小圓盤邊緣都繞有繩子

2、，繩子下端都掛一質量為m的重物，求盤的角加速度的大小 【解】：受力分析如圖對質點：對剛體：聯立以上幾式解得：11TT22TT11mgTma22Tmgma122T rT rJ12ar， 2ar219gr【例】基礎訓練（18）如圖5-17所示、質量分別為m和2m、半徑分別為r和2r的兩個均勻圓盤，同軸地粘在一起，可以繞通過盤心且垂直盤面的水平光滑固定軸轉動，對轉軸的轉動慣量為9mr2/2，大小圓盤邊緣都繞有繩子，繩子下端都掛一質量為m的重物，求盤的角加速度的大小 ， 【例】基礎訓練（18）如圖5-17所示、質量分別為m和2m、半徑分別為r和2r的兩個均勻圓盤，同軸地粘在一起，可以繞通過盤心且垂直盤

3、面的水平光滑固定軸轉動，對轉軸的轉動慣量為9mr2/2，大小圓盤邊緣都繞有繩子，繩子下端都掛一質量為m的重物，求盤的角加速度的大小 【解】：受力分析如圖對質點：對剛體：聯立以上幾式解得：11TT22TT11mgTma22Tmgma122T rT rJ12ar， 2ar219gr【例】基礎訓練（16）一轉動慣量為J的圓盤繞一固定軸轉動，起初角速度為 ，設它所受阻力矩與轉動角速度成正比，即 (k為正的常數)，求圓盤的角速度從 變為 時所需時間Mk 00【解】根據：所以得：kMdtdJJMJdMdt Jddt tdJdt02100kJt2ln【例】質量 m= 1.1 kg 的勻質圓盤，可以繞通過其中

4、心且垂直盤面的水平光滑固定軸轉動，對軸的轉動慣量 （r為圓盤半徑），圓盤邊緣饒有繩子，繩子下端掛一質量 m1=1.0 kg 的物體，如圖所示。起初在圓盤上加一恒力矩使物體以速率v0=0.6 m/s 勻速上升，若撤去所加力矩，問經歷多少時間圓盤開始做反向轉動？221mrJ m1 O rm1 O r1m gTa1102211006.32/20.0095m gTm aTrJarvatm gmram smmvtst解：1代入J=有2【例】自測提高（15）如圖5-23所示，轉輪A、B可分別獨立地繞光滑的固定軸O轉動，它們的質量分別為mA10 kg和mB20 kg，半徑分別為rA和rB現用力fA和fB分別

5、向下拉繞在輪上的細繩且使繩與輪之間無滑動為使A、B輪邊緣處的切向加速度相同，相應的拉力fA、fB之比應為多少？（其中A、B輪繞O軸轉動時的轉動慣量分別為 和 ）5-23 圖圖 fB B A fA rB rA221AAArmJ221BBBrmJ 【解】據轉動定律有：要使A、B 輪邊緣處的切向加速度相同，應有：所以有：故A AAAf rJB BB Bf rJ rAABBarrAA BAA AABB ABB BBfJ rm rfJ rm rAABBrr12AABBfmfm【例】自測提高（16）如圖5-24所示，長為 的輕桿，兩端各固定質量分別為m和2m的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎直面內轉動，轉

6、軸O距兩端分別為 和 輕桿原來靜止在豎直位置今有一質量為m的小球，以水平速度 與桿下端小球m作對心碰撞，碰后以 的速度返回，試求碰后輕桿所獲得的角速度？3l23l0v02vl圖圖5-242mmmO23l3l0v02v【解】系統所受的合外力矩為零，角動量守恒：碰前的角動量為：碰后的角動量為：所以：得：023mvl2201221()2() 2333mvlmlml220021221()2() 32333mvlmvlmlml 032vl例：基礎訓練（5）如圖5-9所示，一靜止的均勻細棒，長為L、質量為M，可繞通過棒的端點且垂直于棒長的光滑固定軸O在水平面內轉動，轉動慣量為 一質量為m、速率為v的子彈在

7、水平面內沿與棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，設穿過棒后子彈的速率為 ，則此時棒的角速度應為 解：把質點與子彈看作一個系統，該系統所受合外力矩為零，系統角動量守恒有： O v21 v 俯視圖 21123L mvL mvML【例】基礎訓練（7）一圓盤正繞垂直于盤面的水平光滑固定軸O轉動，如圖5-11射來兩個質量相同，速度大小相同，方向相反并在一條直線上的子彈，子彈射入圓盤并且留在盤內，則子彈射入后的瞬間，圓盤的角速度 (A) 增大 (B) 不變 (C) 減小 (D) 不能確定 O M m m 把三者看作同一系統時,系統所受合外力矩為零,系統角動量守恒。 000()JLLJJJJJ子彈子彈【例】（

8、17）如圖5-25所示，一質量均勻分布的圓盤，質量為 ，半徑為R，放在一粗糙水平面上(圓盤與水平面之間的摩擦系數為)，圓盤可繞通過其中心O的豎直固定光滑軸轉動開始時，圓盤靜止，一質量為m的子彈以水平速度v0垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊上。求：(1) 子彈擊中圓盤后，盤所獲得的角速度(2) 經過多少時間后，圓盤停止轉動(圓盤繞通過O的豎直軸的轉動慣量為 ，忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩) m R O 0v 解:（1）子彈和圓盤為系統角動量守恒（2）圓盤的質量面密度 在圓盤上取一半徑為r,寬為dr的小環帶，質量元 此環帶受到的摩擦阻力矩 220001()2mv RmRm R m R O 0v

9、 0001()2mvmm R02mR2dmrdr 22fdMr gdmr gr dr 230223RfMg r drg R fdMJdt0000220012tfM dtJdm RmRd0032mvtm g例：如圖所示，一均質桿可繞通過其一端的水平光滑軸在豎直平面內自由轉動，l=(5/3)m,今使桿從與豎直方向成60角又靜止釋放，求桿的最大角速度。060解：機械能守恒（主要零勢點選取）2211()23cmghJJml21(1 cos )22lmgJ33(/ )2grad sl例題例題5-3一輕繩跨過兩個質量均為m、半徑均為r的均勻圓盤狀定滑輪， 繩的兩端分別掛著質量為m和2m的重物，如圖5-2a

10、所示繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸光滑兩個定滑輪的轉動慣量均為 將由兩個定滑輪以及質量為m和2m的重物組成的系統從靜止釋放，求兩滑輪之間繩內的張力m,rm2mm,r解：解：受力分析如圖所示 對右側物體： 對左側物體：對右側滑輪：對左側滑輪： 解上述5個聯立方程得： m 2m T2 2P 1P T a T1 a 122(1)mgTma2(2)Tmgma211(3)2TrTrmr221(4)2TrT rmr(5)ar118Tmg【例】基礎訓練（17）在半徑為R的具有光滑豎直固定中心軸的水平圓盤上，有一人靜止站立在距轉軸為 處，人的質量是圓盤質量的1/10開始時盤載人對地以角速度 勻速轉動，現在此人垂直圓盤半徑相對于盤以速率v沿與盤轉動相反方向作圓周運動，如圖5-16所示 已知圓盤對中心軸的轉動慣量為 求：(1) 圓盤對地的角速度(2) 欲使圓盤對地靜止，人應沿著 圓周 對圓盤的速度 的大小及方向？12R212MR12R R v R/2 解：解：（1）設當人以速率v沿相對圓盤轉動相反的方向走動時，圓盤對地的繞軸角速度為，則人對地的繞軸角速度為視人與盤為系統，所受對轉軸合外力矩為零