1、10/22/20211第二章 數學模型一、控制系統的運動微分方程五、非線性數學模型的線性化二、拉氏變換和拉氏反變換三、傳遞函數四、系統方框圖和信號流圖六、控制系統傳遞函數推導舉例七、小結、數學模型的基本概念第二章 數學模型10/22/20212 學習目的學習目的1. 了解建立系統數學模型的一般步驟了解建立系統數學模型的一般步驟2. 掌握拉氏變換和反變換方法掌握拉氏變換和反變換方法3. 掌握建立系統數學模型的各種方法（包括時域、掌握建立系統數學模型的各種方法（包括時域、復數域；解析式、圖示式）復數域；解析式、圖示式）4. 了解非線性數學模型線性化的方法了解非線性數學模型線性化的方法 5. 熟悉各

2、種不同物理屬性控制系統數學模型的建立熟悉各種不同物理屬性控制系統數學模型的建立過程過程 內容提要內容提要本章主要闡述控制系統數學模型的基本概念、時域本章主要闡述控制系統數學模型的基本概念、時域模型模型運動微分方程和復數域模型運動微分方程和復數域模型傳遞函數傳遞函數的建立、數學模型的圖示法的建立、數學模型的圖示法方框圖和信號流圖方框圖和信號流圖的建立步驟與方法，介紹拉氏變換與拉氏反變換的建立步驟與方法，介紹拉氏變換與拉氏反變換 重重 點點傳遞函數概念的建立、典型環節和控制系統傳遞函傳遞函數概念的建立、典型環節和控制系統傳遞函數的推導數的推導 難難 點點實際物理系統，特別是機械系統傳遞函數的推導實

3、際物理系統，特別是機械系統傳遞函數的推導 10/22/20213、數學模型的基本概念l 數學模型數學模型 數學模型是描述系統輸入、輸出量以及內部各變量之間關系的數學表達式，它揭示了系統結構及其參數與其性能之間的內在關系。 靜態數學模型靜態數學模型：靜態條件（變量各階導數為零）下描述變量之間關系的代數方程。 動態數學模型動態數學模型：描述變量各階導數之間關系的微分方程。 第二章 數學模型 10/22/20214l 建立數學模型的方法建立數學模型的方法 解析法 實驗法 依據系統及元件各變量之間所遵循的物理或化學規律列寫出相應的數學關系式，建立模型。人為地對系統施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用

4、適當的數學模型進行逼近。這種方法也稱為系統辨識。數學模型應能反映系統內在的本質特征，同時數學模型應能反映系統內在的本質特征，同時應對模型的簡潔性和精確性進行折衷考慮。應對模型的簡潔性和精確性進行折衷考慮。第二章 數學模型10/22/20215l 數學模型的形式數學模型的形式 時間域：微分方程（一階微分方程組）、差 分方程、狀態方程 復數域：傳遞函數、結構圖 頻率域：頻率特性 第二章 數學模型系統數學模型有多種形式，這取決于變量和系統數學模型有多種形式，這取決于變量和坐標系統的選擇。坐標系統的選擇。10/22/20216一、控制系統的運動微分方程l 建立數學模型的一般步驟建立數學模型的一般步驟

5、分析系統工作原理和信號傳遞變換的過程， 確定系統和各元件的輸入、輸出量； 從輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依 據各變量遵循的物理學定律，依次列寫出各 元件、部件的動態微分方程； 消去中間變量，得到描述元件或系統輸入、 輸出變量之間關系的微分方程； 標準化：右端輸入，左端輸出，導數降冪排第二章 數學模型10/22/2021710/22/20218l 控制系統微分方程的列寫控制系統微分方程的列寫 機械系統機械系統中以各種形式出現的物理現象，都可簡化為質量、彈簧和阻尼三個要素： 質量mfm(t)參考點x (t)v (t)()()(22txdtdmtvdtdmtfm第二章 數學模型10/22/20

6、219 彈簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)ttKdttvKdttvtvKtKxtxtxKtf)()()()()()()(2121第二章 數學模型10/22/202110 阻尼dttdxBdttdxdttdxBtBvtvtvBtfC)()()()()()()(2121BfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)第二章 數學模型10/22/202111q 機械平移系統)()()()()()()()(22txdtdBtftKxtftxdtdmtftftfoBoKoKBimmfi(t)KBxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)機械平移系

7、統及其力學模型fB(t)靜止（平衡）工作點作為零點，以消除重力的影響第二章 數學模型10/22/202112)()()()(22tftKxtxdtdBtxdtdmiooo式中，m、B、K通常均為常數，故機械平移系統可以由二階常系數微分方程描述。第二章 數學模型顯然，微分方程的系數取決于系統的結構參數，而階次等于系統中獨立儲能元件（慣性質量、彈簧）的數量。 10/22/202113q 彈簧阻尼系統xo(t)0fi(t)KB彈簧-阻尼系統系統運動方程為一階常系數微分方程。 )()()(tftKxtxdtdBioo)()()(tftftfKBi第二章 數學模型10/22/202114q 機械旋轉系統

8、Ki(t)o(t)00TK(t)TC(t)B粘性液體齒輪JJ 旋轉體轉動慣量；K 扭轉剛度系數；B 粘性阻尼系數柔性軸第二章 數學模型10/22/202115)()()()()()()()(22tTtTtdtdJtdtdBtTttKtTBKooBoiK)()()()(22tKtKtdtdBtdtdJiooo第二章 數學模型10/22/202116 電氣系統 電阻)()(tRitu電氣系統三個基本元件：電阻、電容和電感。Ri(t)u(t)第二章 數學模型10/22/202117 電容dttiCtu)(1)(Ci(t)u(t) 電感dttdiLtu)()(Li(t)u(t)第二章 數學模型10/2

9、2/202118dttiCtudttiCtidtdLtRituoi)(1)()(1)()()(q R-L-C無源電路網絡第二章 數學模型LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無源電路網絡10/22/202119一般R、L、C均為常數，上式為二階常系數微分方程。 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo若L=0，則系統簡化為：)()()(tututudtdRCioo第二章 數學模型10/22/202120)()(0)(21titituaq 有源電網絡+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)adttduCRtuoi)()()()(tudttduRCio即：第二章

10、 數學模型10/22/202121 小結 物理本質不同的系統，可以有相同的數學模 型，從而可以拋開系統的物理屬性，用同一 方法進行具有普遍意義的分析研究（信息方 法） 。 從動態性能看，在相同形式的輸入作用下， 數學模型相同而物理本質不同的系統其輸出 響應相似。相似系統是控制理論中進行實驗 模擬的基礎； 第二章 數學模型10/22/202122 通常情況下，元件或系統微分方程的階次等 于元件或系統中所包含的獨立儲能元（慣性 質量、彈性要素、電感、電容、液感、液容 等）的個數；因為系統每增加一個獨立儲能 元，其內部就多一層能量（信息）的交換。 系統的動態特性是系統的固有特性，僅取決 于系統的結構

11、及其參數。 第二章 數學模型10/22/202123 線性系統與非線性系統可以用線性微分方程描述的系統。如果方程的系數為常數，則為線性定常系統；如果方程的系數是時間t的函數，則為線性時變系統； q 線性系統線性是指系統滿足疊加原理，即：)()()(2121xfxfxxf 可加性：)()(xfxf 齊次性：)()()(2121xfxfxxf或：第二章 數學模型10/22/202124用非線性微分方程描述的系統。非線性系統不滿足疊加原理。q 非線性系統為分析方便，通常在合理的條件下，將非線性系統簡化為線性系統處理。 實際的系統通常都是非線性的，線性只在一定的工作范圍內成立。 第二章 數學模型10/

12、22/202125 液體系統節流閥節流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統設液體不可壓縮，通過節流閥的液流是湍流。 )()()()()(tHtqtqtqdttdHAooiA：箱體截面積；第二章 數學模型10/22/202126)()()(tqtHtHdtdAi上式為非線性微分方程，即此液位控制系統為非線性系統。 ：由節流閥通流面積和通流口的結構形式決定的系數，通流面積不變時，為常數。第二章 數學模型10/22/202127q 線性系統微分方程的一般形式 式中，a1，a2，an和b0，b1，bm為由系統結構參數決定的實常數，mn。 )()()()()()()()(111101111txbtxd

13、tdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn第二章 數學模型10/22/2021282.3 拉氏變換與反變換 機電控制工程所涉及的數學問題較多，經常要解算一些線性微分方程。如果用拉普拉斯變換，可將經典數學中的微積分運算轉化為代數運算，又能夠單獨地表明初始條件的影響，并有變換表可查找，因而是一種較為簡便的工程數學方法。 能夠把描述系統運動狀態的微分方程很方便的轉換為系統的，并由此發展出分析和設計控制系統的工程方法。10/22/20212910/22/202130三、拉氏變換和拉氏反變換l 拉氏變換拉氏變換 設函數f(t) (t0)

14、在任一有限區間上分段連續，且存在一正實常數，使得：0)(limtfett則函數f(t)的拉普拉斯變換存在，并定義為：式中：s=+j（，均為實數）；0)()()(dtetftfLsFst第二章 數學模型10/22/2021310dtest稱為拉普拉斯積分；F(s)稱為函數f(t)的拉普拉斯變換或象函數，它是一個復變函數；f(t)稱為F(s)的原函數；L為拉氏變換的符號。l 拉氏反變換拉氏反變換 0,)(21)()(1tdsesFjsFLtfjjstL1為拉氏反變換的符號。第二章 數學模型10/22/202132l 幾種典型函數的拉氏變換幾種典型函數的拉氏變換 q 單位階躍函數1(t) 10tf(

15、t)單位階躍函數0100)( 1ttt)0)(Re(101 )(1)(10ssesdtettLstst第二章 數學模型10/22/202133q 指數函數atetf)(（a為常數）指數函數0tf(t)1)0)(Re(,1 0)(0asasdtedteeeLtasstatat第二章 數學模型10/22/202134q 正弦函數與余弦函數 正弦及余弦函數10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-10sinsindtettLst0coscosdtettLst由歐拉公式，有： tjtjtjtjeeteejt21cos21sin第二章 數學模型10/22/2021350)Re(112121si

16、n2200ssjsjsjdteedteejtLsttjsttj從而：22cossstL同理：第二章 數學模型10/22/202136q 單位脈沖函數(t) 0tf(t)單位脈沖函數1)0(1lim)0(0)(0tttt且)1 (1lim1lim)(000sstesdtetL)()1 (lim)1 (1lim00seesss由洛必達法則：1lim)(0setL所以：第二章 數學模型10/22/202137q 單位速度函數（斜坡函數） 10tf(t)單位速度函數1000)(ttttf0)Re(1)(2000ssdtsesetdttetfLststst第二章 數學模型10/22/202138q 單位

17、加速度函數02100)(2ttttf0)Re(121)(302ssdtettfLst單位加速度函數0tf(t)函數的拉氏變換及反變換通常可以由拉氏變換表直接或通過一定的轉換得到。 第二章 數學模型10/22/202139l 拉氏變換積分下限的說明拉氏變換積分下限的說明 在某些情況下，函數f(t)在t0處有一個脈沖函數。這時必須明確拉氏變換的積分下限是0還是0+，并相應記為：0)()(dtetftfLst000)()()()(dtetftfLdtetftfLstst第二章 數學模型10/22/202140l 拉氏變換的主要定理拉氏變換的主要定理 疊加定理 q 齊次性：Laf(t)=aLf(t)，

18、a為常數；q 疊加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t) a，b為常數；顯然，拉氏變換為線性變換。第二章 數學模型10/22/202141 實微分定理 0)()0(),0()()(ttfffssFdttdfL00)(0)()(dtsedttdfsetfdtetfststst證明證明：由于dttdfLssfsF)(1)0()(即：第二章 數學模型10/22/202142)0()()(fssFdttdfL所以：)0()0()0()()()0()0()()()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdL同樣有：式中，f (0)，f (0)，

19、為函數f(t)的各階導數在t=0時的值。第二章 數學模型10/22/202143)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn當f(t)及其各階導數在t=0時刻的值均為零時（零初始條件）：第二章 數學模型10/22/202144當f(t)在t=0處具有間斷點時，df(t)/dt在t=0處將包含一個脈沖函數。故若f(0+) f(0)，則：)0()()()0()()(fssFdttdfLfssFdttdfL第二章 數學模型10/22/202145 復微分定理 ), 3, 2, 1()() 1()()()()()(222ntftLsFdsdtftLsFds

20、dttfLsFdsdnnnn若Lf(t)=F(s)，則除了F(s)的極點之外，有：第二章 數學模型10/22/202146 積分定理 0)()0(,)0()()()1()1(tdttffsfssFdttfL)(1)(sFsdttfL當初始條件為零時：若f(0+) f(0)，則：sfssFdttfLsfssFdttfL)0()()()0()()()1()1(第二章 數學模型10/22/202147證明證明：0)()(dtedttfdttfLst00)()(dtsetfsedttfststssFsf)()0()1(0)(10)(1dtetfstdttfsst第二章 數學模型10/22/202148

21、)(1)(sFsdttfLnn)0(1)0(1)(1)()1()1(1nnnnfsfssFsdttfL同樣：當初始條件為零時：第二章 數學模型10/22/202149 延遲定理 )()(sFetfLs設當t0時，f(t)=0，則對任意0，有：函數 f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)第二章 數學模型10/22/202150 位移定理 )()(asFtfeLat例：2222cossinsstLstL2222)()(cos)(sinasasteLasteLatat第二章 數學模型10/22/202151 初值定理 證明證明：)(lim)0()(lim0ssFftfst初值定理建立了函數f(t)

22、在t=0+處的初值與函數sF(s)在s趨于無窮遠處的終值間的關系。 0)0()(lim)(lim)(lim0fssFdtedttdfdttdfLsstss)(lim)0(ssFfs即：第二章 數學模型10/22/202152 終值定理 )(lim)()(lim0ssFftfst若sF(s)的所有極點位于左半s平面， 即：)(limtft存在。則：第二章 數學模型證明證明：)0()(lim)0()(lim)(lim000fssFfssFdttdfLsss10/22/202153終值定理說明f(t)穩定值與sF(s)在s=0時的初值相同。)(lim)(0ssFfs第二章 數學模型)0()()()(

23、lim)(lim0000ffdtdttdfdtedttdfdttdfLstss又由于：)0()(lim)0()(0fssFffs即：10/22/202154 卷積定理 )()()()(sGsFtgtfLttdtgfdgtftgtf00)()()()()(*)(若t p=1 -12 0 25 126p = 1 -12 0 25 126第二章 數學模型10/22/202178用num和den分別表示F(s)的分子和分母多項式，即：num = b0 b1 bm den = a0 a1 anMATLAB提供函數residue用于實現部分分式展開，其句法為：r, p, k = residue(num,

24、den)其中，r, p分別為展開后的留數及極點構成的列向量、k為余項多項式行向量。第二章 數學模型10/22/202179若無重極點，MATLAB展開后的一般形式為：)()()()2() 1 () 1 () 1 ()(sKnpsnrpsrpsrsF若存在q重極點p(j)，展開式將包括下列各項：qjpsqjrjpsjrjpsjr)()1()()1()()(2第二章 數學模型10/22/202180例例：求的部分分式展開。2450351026523911)(234234sssssssssF num=1 11 39 52 26; den=1 10 35 50 24; r,p,k=residue(nu

25、m,den)r = 1.0000 2.5000 -3.0000 0.5000p = -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000k = 1展開式為：115 . 02335 . 241)(sssssF第二章 數學模型10/22/202181例例：求的部分分式展開。27956510)(23425ssssssssF num=1 0 0 10 5 6; den=1 5 9 7 2; r,p,k=residue(num,den)r = -4.0000 20.0000 -20.0000 10.0000p = -2.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000k = 1 -5展

26、開式為：5) 1(10) 1(2012024)(32ssssssF第二章 數學模型10/22/202182num, den = residue(r, p, k)函數 residue 也可用于將部分分式合并，其句法為： r = 1 2 3 4; p = -1 -2 -3 -4; k = 0; num, den = residue(r, p, k)num = 10 70 150 96den = 1 10 35 50 24例例：24503510961507010)(23423ssssssssF第二章 數學模型10/22/202183l 應用拉氏變換解線性微分方程應用拉氏變換解線性微分方程 求解步驟q

27、 將微分方程通過拉氏變換變為 s 的代數方 程； q 解代數方程，得到有關變量的拉氏變換表 達式；q 應用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。 第二章 數學模型10/22/202184原函數（微分方程的解）象函數微分方程象函數的代數方程拉氏反變換拉氏變換解代數方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程第二章 數學模型10/22/202185 實例)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo設系統微分方程為：若xi (t) =1(t)，初始條件分別為xo(0)、xo(0)，試求xo(t)。解解：對微分方程左邊進行拉氏變換： )0()0()()(222ooooxsxsXsdttxdL第二章

28、 數學模型10/22/202186)0()0()5()()65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttxdL即：)0(5)(5)(5oooxssXdttdxL)(6)(6sXtxLoo第二章 數學模型10/22/202187stLsXtxLii1)( 1)()(323265)0()0()5()65(1)(2132122sBsBsAsAsAssxxsssssXooo對方程右邊進行拉氏變換：sxxssXssooo1)0()0()5()()65(2從而：第二章 數學模型10/22/20218861065121sssA212) 3(12sssA313)2(13sssA)0

29、()0(323)0()0()5(1ooooxxssxxsB)0()0(232)0()0()5(2ooooxxssxxsB第二章 數學模型10/22/202189) 0( ) 0() 0(2) 0() 0(3 312161)(3232texxexxeetxtootootto)0312161)(32teetxtto3)0()0(22)0()0(333122161)(sxxsxxssssXooooo所以：查拉氏變換表得：當初始條件為零時：第二章 數學模型零狀態響應零輸入響應10/22/202190q 應用拉氏變換法求解微分方程時，由于初始 條件已自動地包含在微分方程的拉氏變換式 中，因此，不需要根據

30、初始條件求積分常數 的值就可得到微分方程的全解。 q 如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏 變換可以簡單地用sn代替dn/dtn得到。 由上述實例可見：第二章 數學模型q 系統響應可分為兩部分：零狀態響應和零輸 入響應 10/22/202191作業：2-3（2, 4, 6, 10, 16） 2-4 (2, 3) 10/22/202192四、傳遞函數l 傳遞函數的概念和定義傳遞函數的概念和定義 傳遞函數 第二章 數學模型在零初始條件下，線性定常系統輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。 零初始條件：q t0時，輸入量及其各階導數均為0；q 輸入量施加于系統之前，系統處于穩定的工

31、作狀態，即t 0 時，輸出量及其各階導數也 均為0；10/22/202193第二章 數學模型 傳遞函數求解示例 q 質量-彈簧-阻尼系統的傳遞函數 22( )( )( )( )oooiddmx tBx tKx tf tdtdt2( )( )( )( )oooims XsBsXsKXsF s2( )1( )( )oiXsG sF smsBsK所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：按照定義，系統的傳遞函數為：10/22/202194第二章 數學模型q R-L-C無源電路網絡的傳遞函數 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()()()(2sUsUsRCsUsULCsioo

32、o11)()()(2RCsLCssUsUsGio所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：10/22/202195第二章 數學模型q 幾點結論 傳遞函數是復數s域中的系統數學模型， 其參數僅取決于系統本身的結構及參數， 與系統的輸入形式無關。 若輸入給定，則系統輸出特性完全由傳遞函 數G(s) 決定，即傳遞函數表征了系統內在的 固有動態特性。 傳遞函數通過系統輸入量與輸出量之間的關 系來描述系統的固有特性。即以系統外部的 輸入輸出特性來描述系統的內部特性。 10/22/202196第二章 數學模型 傳遞函數的一般形式)()()()()()()()()(111101111mntxbtxdtdbtxdt

33、dbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio考慮線性定常系統當初始條件全為零時，對上式進行拉氏變換可得系統傳遞函數的一般形式：10/22/202197第二章 數學模型mmmmbsbsbsbsM1110)(1011( )nnnnD sa sa sasa令：( )( )( )( )( )oiXsM sG sX sD s則：D(s)=0稱為系統的特征方程，其根稱為系統的特征根。特征方程決定著系統的動態特性。D(s)中s的最高階次等于系統的階次。l 特征方

34、程、零點和極點特征方程、零點和極點 特征方程10/22/202198第二章 數學模型式中，K稱為系統的放大系數或增益。當s=0時： G(0)=bm/an=K從微分方程的角度看，此時相當于所有的導數項都為零。因此K 反應了系統處于靜態時，輸出與輸入的比值。 10/22/202199第二章 數學模型 零點和極點 )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG將G(s)寫成下面的形式： N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj (j=1, 2, , n)，稱為傳遞函數的極點；式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=

35、0的根s=zi (i=1, 2, , m)，稱為傳遞函數的零點；系統傳遞函數的極點就是系統的特征根。零點和極點的數值完全取決于系統的結構參數。10/22/2021100第二章 數學模型 零、極點分布圖 將傳遞函數的零、極點表示在復平面上的圖形稱為傳遞函數的零、極點分布圖。圖中，零點用“O”表示，極點用“”表示。 G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零極點分布圖0 12312-1-2-3-1-2j10/22/2021101第二章 數學模型l 傳遞函數的幾點說明傳遞函數的幾點說明 傳遞函數是一種以系統參數表示的線性定常 系統輸入量與輸出量之間的關系式；傳遞函 數的概念通常只適用于線性定常

36、系統； 傳遞函數是 s 的復變函數。傳遞函數中的各 項系數和相應微分方程中的各項系數對應相 等，完全取決于系統結構參數； 10/22/2021102第二章 數學模型 傳遞函數是在零初始條件下定義的，即在零 時刻之前，系統對所給定的平衡工作點處于 相對靜止狀態。因此，傳遞函數原則上不能 反映系統在非零初始條件下的全部運動規律； 傳遞函數只能表示系統輸入與輸出的關系， 無法描述系統內部中間變量的變化情況。 一個傳遞函數只能表示一個輸入對一個輸出 的關系，只適合于單輸入單輸出系統的描述。 10/22/2021103第二章 數學模型l 典型環節及其傳遞函數典型環節及其傳遞函數 環節 具有某種確定信息傳

37、遞關系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個環節。經常遇到的環節稱為典型環節。 任何復雜的系統總可歸結為由一些典型環節所組成。 10/22/2021104第二章 數學模型 環節的分類 )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG假設系統有b個實零點，c 對復零點，d 個實極點，e對復極點和v個零極點，由線性系統傳遞函數的零、極點表達式：可見：b+2c = m v+d+2e = n10/22/2021105第二章 數學模型iiiiiisszs1),1(1jjjjjjTsTTsps1),1(1對于實零點zi=i和實極點pj=j ，其因式可以變換成如下形式：

38、10/22/2021106第二章 數學模型) 12(12)()(2222221ssssjsjszszs對于復零點對z=+j和z+1= j ，其因式可以變換成如下形式：2222,1式中，10/22/2021107第二章 數學模型對于復極點對pk=k+jk和pk+1=k jk ，其因式可以變換成如下形式：) 12(1 2 )()(2222221sTsTTssjsjspspskkkkkkkkkkkkk2222,1kkkkkkkT式中，10/22/2021108第二章 數學模型ekkkkdjjvcbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(于是，系統的傳遞函

39、數可以寫成：ekkdjjcbiiTTabK1211210011式中，為系統放大倍數。10/22/2021109第二章 數學模型121,11,1, 12, 1,2222TssTTsssssK由上式可見，傳遞函數表達式包含六種不同的因子，即：一般，任何線性系統都可以看作是由上述六種因子表示的典型環節的串聯組合。上述六種典型環節分別稱為：10/22/2021110第二章 數學模型比例環節：K一階微分環節：s+11222ss二階微分環節：s1積分環節：11Ts慣性環節：12122TssT振蕩環節：10/22/2021111第二章 數學模型)()(sXesXiso實際系統中還存在純時間延遲現象，輸出完全

40、復現輸入，但延遲了時間，即xo(t)=xi(t-)，此時：sesG)(或：se因此，除了上述六種典型環節外，還有一類典型環節延遲環節 。10/22/2021112第二章 數學模型 典型環節示例 q 比例環節 輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關系。其運動方程為：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)分別為環節的輸出和輸入量；K比例系數，等于輸出量與輸入量之比。10/22/2021113第二章 數學模型KsXsXsGio)()()(比例環節的傳遞函數為：z1z2ni(t)no(t)齒輪傳動副R2R1ui(t)uo(t)運算放大器KzzsNsNsGio21)()()(KRRsUs

41、UsGio12)()()(10/22/2021114第二章 數學模型q 慣性環節 )()()(tKxtxtxdtdTioo1)()()(TsKsXsXsGio凡運動方程為一階微分方程：形式的環節稱為慣性環節。其傳遞函數為： T時間常數，表征環節的慣性，和 環節結構參數有關式中，K環節增益（放大系數）；10/22/2021115第二章 數學模型( )( )( )ooidx tBKx tKx tdt1( ),1KBG sTBsKTsK如：彈簧-阻尼器環節xi(t)xo(t)彈簧-阻尼器組成的環節KB10/22/2021116第二章 數學模型q 微分環節 輸出量正比于輸入量的微分。dttdxtxio

42、)()(運動方程為：ssXsXsGio)()()(傳遞函數為：式中，微分環節的時間常數在物理系統中微分環節不獨立存在，而是和其它環節一起出現。10/22/2021117第二章 數學模型dttdKtuito)()(sKssUsGtio)()()(如：測速發電機uo(t) i (t)測 速 發 電 機式中， Kt為電機常數。 無負載時：10/22/2021118第二章 數學模型RCui(t)uo(t)i(t)無源微分網絡無源微分網絡 RtituRtidttiCtuoi)()()()(1)(RCTTsTsRCsRCssG,11)(顯然，無源微分網絡包括有慣性環節和微分環節，稱之為慣性微分環節，只有當

43、|Ts|1時，才近似為微分環節。 10/22/2021119第二章 數學模型) 1()()()(sKsXsXsGio除了上述純微分環節外，還有一類一階微分環節，其傳遞函數為：微分環節的輸出是輸入的導數，即輸出反映了輸入信號的變化趨勢，從而給系統以有關輸入變化趨勢的預告。因此，微分環節常用來改善控制系統的動態性能。10/22/2021120第二章 數學模型q 積分環節 輸出量正比于輸入量對時間的積分。 tiodttxTtx0)(1)(運動方程為：TssXsXsGio1)()()(傳遞函數為：式中，T積分環節的時間常數。10/22/2021121第二章 數學模型AtTAdtTtxto11)(0積分

44、環節特點： 輸出量取決于輸入量對時間的積累過程。 且具有記憶功能； 具有明顯的滯后作用。積分環節常用來改善系統的穩態性能。如當輸入量為常值 A 時，由于：輸出量須經過時間T才能達到輸入量在t = 0時的值A。10/22/2021122第二章 數學模型如：有源積分網絡 +CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a)()(tudttduRCioRCTTsRCssG,11)(10/22/2021123第二章 數學模型液壓缸 Aqi(t)xo(t)dttqAtxio)(1)(AssQsXsGio1)()()(10/22/2021124第二章 數學模型q 振蕩環節 含有兩個獨立的儲能元件，且所存儲的

45、能量能夠相互轉換，從而導致輸出帶有振蕩的性質，運動方程為： 10),()()(2)(222tKxtxtxdtdTtxdtdTiooo12)()()(22TssTKsXsXsGio傳遞函數：10/22/2021125第二章 數學模型式中，T振蕩環節的時間常數 阻尼比，對于振蕩環節，01 K比例系數TsssGnnnn1,2)(222振蕩環節傳遞函數的另一常用標準形式為（K=1）：n稱為無阻尼固有頻率。10/22/2021126第二章 數學模型)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo12/11)(222TssTKKCsmssG如：質量-彈簧-阻尼系統傳遞函數：mKCKmT2,式

46、中，mkC2當時，為振蕩環節。10/22/2021127第二章 數學模型q 二階微分環節 式中，時間常數 阻尼比，對于二階微分環節，01 K比例系數 10,)()(2)()(222txtxdtdtxdtdKtxiiio運動方程：12)(22ssKsG傳遞函數：10/22/2021128第二章 數學模型q 延遲環節 慣性環節從輸入開始時刻起就已有輸出，僅 由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要 求的輸出值；)()(txtxio運動方程：sesG)(傳遞函數：式中，為純延遲時間。 延遲環節從輸入開始之初，在0 時間內, 沒有輸出，但t=之后，輸出完全等于輸入。延遲環節與慣性環節的區別：10/22/

47、2021129第二章 數學模型ALvhi(t)ho(t)軋制鋼板厚度測量vLththio)()(10/22/2021130第二章 數學模型 小結 q 環節是根據微分方程劃分的，不是具體的 物理裝置或元件；q 一個環節往往由幾個元件之間的運動特性 共同組成；q 同一元件在不同系統中作用不同，輸入輸 出的物理量不同，可起到不同環節的作用。 10/22/2021131第二章 數學模型五、系統方框圖和信號流圖l 系統方框圖系統方框圖 系統方框圖是系統數學模型的圖解形式。可以形象直觀地描述系統中各元件間的相互關系及其功能以及信號在系統中的傳遞、變換過程。注意：即使描述系統的數學關系式相同，其方框圖也不一

48、定相同。10/22/2021132第二章 數學模型 方框圖的結構要素 q 信號線 帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，直線旁標記信號的時間函數或象函數。X(s), x(t)信號線10/22/2021133第二章 數學模型q 信號引出點（線） 表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。 同一信號線上引出的信號，其性質、大小完全一樣。 引出線X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)10/22/2021134第二章 數學模型q 函數方框(環節) G(s)X1(s)X2(s)函數方框函數方框具有運算功能，即： X2(s)=G(s)X1(s) 傳遞函數的圖解表示。10/22/2021135第二章

49、數學模型q 求和點（比較點、綜合點）信號之間代數加減運算的圖解。用符號“ ”及相應的信號箭頭表示，每個箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號或減去此信號。 相鄰求和點可以互換、合并、分解，即滿足代數運算的交換律、結合律和分配律。 X1(s)X2(s)X1(s)X2(s) 10/22/2021136第二章 數學模型ABA-BCA-B+CA+C-BBCAA+CABA-B+CCA-B+C求和點可以有多個輸入，但輸出是唯一的。 10/22/2021137第二章 數學模型R1Cs1求和點函數方框函數方框引出線Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框圖示例任何系統都可以由信號線、函數方框、信號引出點及求和

50、點組成的方框圖來表示。 10/22/2021138第二章 數學模型 系統方框圖的建立 q 步驟 建立系統各元部件的微分方程,明確信號 的因果關系（輸入/輸出）。 對上述微分方程進行拉氏變換，繪制各部 件的方框圖。 按照信號在系統中的傳遞、變換過程，依 次將各部件的方框圖連接起來，得到系統 的方框圖。 10/22/2021139第二章 數學模型q 示例 RCui(t)uo(t)i(t)無源RC電路網絡 無源RC網絡 )()()(tututRioidttiCtuo)(1)()(1)()()()(sICssUsUsUsRIooi拉氏變換得：)(1)()()(1)(sICssUsUsURsIooi10

51、/22/2021140第二章 數學模型從而可得系統各方框單元及其方框圖。 R1Ui(s)Ui-UoI(s)Uo(s)()(1)(sUsURsIoi(a)Cs1Uo(s)I(s)(1)(sICssUo(b)10/22/2021141第二章 數學模型R1Cs1Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)無源RC電路網絡系統方框圖10/22/2021142 機械系統 第二章 數學模型m1fi(t)K1C x(t)0m2K2xo(t)0m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fC10/22/2021143第二章 數學模型)()()()(11tftftftxmKCi )()()(11txtxKtfoKdttd

52、xdttdxCtfoC)()()()()()()(212tftftftxmKCKo )()(22txKtfoKm1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fCx(t)0 xo(t)010/22/2021144第二章 數學模型)()()()()(1)()()()()()()()()()(1)(22212122111sXKsFsFsFsFsmsXsXsXCssFsXsXKsFsFsFsFsmsXoKKCKooCoKKCi10/22/2021145第二章 數學模型211smFi(s)X(s)FC(s)FK1(s)(a)()()(1)(121sFsFsFsmsXKCiK1X(s)Xo(s)FK1(s)C

53、sFC(s)(b)()()(11sXsXKsFoK)()()(sXsXCssFoC10/22/2021146第二章 數學模型221smXo(s)FC(s)FK2(s)FK1(s) (c)()()(1)(2122sFsFsFsmsXKCKoK2Xo(s)FK2(s)(d)()(22sXKsFoK10/22/2021147第二章 數學模型211smFi(s)X(s)FC(s)FK1(s)221smXo(s)FK2(s) K1Xo(s)FK1(s)CsFC(s)K2機械系統方框圖10/22/2021148第二章 數學模型 系統方框圖的簡化 q 方框圖的運算法則 串聯連接 G1(s)G2(s)Gn(s

54、)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s).G(s)=G1(s) G2(s) Gn(s)Xi(s)Xo(s)10/22/2021149第二章 數學模型 并聯連接 Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)+Gn(s).Xi(s)Xo(s)G1(s)+ G2(s)+ + Gn(s)10/22/2021150第二章 數學模型 反饋連接 G(s)H(s)Xi(s)Xo(s) B(s)E(s)()()()()()()()()(sXsHsBsBsXsEsEsGsXoio)()(1)()()()(sHsGsGsXsXsioXi(s)Xo(s)()(1)(sHsGsG10/22/2021151

55、第二章 數學模型q 方框圖的等效變換法則 求和點的移動 G(s)ABC求和點后移G(s)ABC求和點前移G(s)ABCG(s)G(s)ABC)(1sG10/22/2021152第二章 數學模型 引出點的移動 引出點前移G(s)ACC引出點后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)AC)(1sGA10/22/2021153第二章 數學模型q 由方框圖求系統傳遞函數 基本思路：利用等效變換法則，移動求和點和引出點，消去交叉回路，變換成可以運算的簡單回路。 10/22/2021154第二章 數學模型例：求下圖所示系統的傳遞函數。H1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2

56、(s)BH2(s)A10/22/2021155第二章 數學模型H1(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)Xo(s)H2(s)G3(s)解解：1、A點前移；10/22/2021156第二章 數學模型2、消去H2(s)G3(s)反饋回路2232( )1( )( )( )G sG s G s H sH1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)10/22/2021157第二章 數學模型)()()()()()()()()()(1)()()(3321232121321sHsGsGsGsHsGsGsHsGsGsGsGsGXi(s)Xo(s)()()()()()(1)()

57、()(232121321sHsGsGsHsGsGsGsGsGH3(s)Xi(s)Xo(s)3、消去H1(s) 反饋回路4、消去H3(s) 反饋回路10/22/2021158第二章 數學模型2-8 按信息傳遞和轉換過程，繪出圖示兩機械系統的方框圖。K1B2xom輸出K2abfi(t)輸入KB1xiB2xom輸入輸出作業：28、210、21110/22/20211592-10 繪出圖示無源電網絡的方框圖，并求各自的傳遞函數。R1C1C2R2uiuob)C1R1R2uo(t)ui(t)C2d)10/22/20211602-11 基于方框圖簡化法則，求圖示系統的閉環傳遞函數。Xi(s)G1G2G3H2

58、H1G4Xo(s)a)10/22/2021161第二章 數學模型l 系統信號流圖和梅遜公式系統信號流圖和梅遜公式 信號流圖起源于梅遜（S. J. MASON）利用圖示法來描述一個和一組線性代數方程，是由節點和支路組成的一種信號傳遞網絡。 信號流圖及其術語 q 節點 表示變量或信號，其值等于所有進入該節點的信號之和。節點用“”表示。10/22/2021162第二章 數學模型q 支路 連接兩個節點的定向線段，用支路增益（傳遞函數）表示方程式中兩個變量的因果關系。支路相當于乘法器。信號在支路上沿箭頭單向傳遞。例：542534423312gxcxdxxbxxfxaxxexxxx1x2x3x4x5x51

59、eafbdc1g10/22/2021163第二章 數學模型q 輸入節點（源節點） 只有輸出的節點，代表系統的輸入變量。q 輸出節點（阱節點、匯點） 只有輸入的節點，代表系統的輸出變量。 源節點匯點x1x2x3x4x5x51eafbdc1g10/22/2021164第二章 數學模型q 混合節點 既有輸入又有輸出的節點。若從混合節點引出一條具有單位增益的支路，可將混合節點變為輸出節點。x1x2x3x4x5x51eafbdc1g10/22/2021165第二章 數學模型q 通路 沿支路箭頭方向穿過各相連支路的路徑。 q 前向通路 從輸入節點到輸出節點的通路上通過任何節點不多于一次的通路。前向通路上各

60、支路增益之乘積，稱前向通路總增益，一般用pk表示。x1x2x3x4x5x51eafbdc1g10/22/2021166第二章 數學模型q 回路 起點與終點重合且通過任何節點不多于一次的閉合通路。回路中所有支路增益之乘積稱為回路增益，用La表示。 x1x2x3x4x5x51eafbdc1gq 不接觸回路 相互間沒有任何公共節點的回路。 10/22/2021167第二章 數學模型 信號流圖的繪制 由系統微分方程繪制信號流圖根據微分方程繪制信號流圖的步驟與繪制方框圖的步驟類似。 由系統方框圖繪制信號流圖兩種方法：10/22/2021168第二章 數學模型例1：根據微分方程繪制信號流圖R1R2C1C2