1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 第六章利用元素法解決: 定積分在幾何上的應用定積分在物理上的應用定積分的應用目錄 上頁 下頁 返回 結束 第一節定積分的元素法元素法 二二 、如何應用定積分解決問題、如何應用定積分解決問題 第六六章 一、再論曲邊梯形的面積一、再論曲邊梯形的面積 目錄 上頁 下頁 返回 結束 回顧曲邊梯形求面積的問題一、再論曲邊梯形的面積一、再論曲邊梯形的面積)(xfy ab xyoA研究步驟如下( )iiiAfxiix （1）把區間 分成 個長度為 的小區間，相應的，第 個小窄曲邊梯形的面積為 ，則 , a bixniiAiA的近似值 求和取極限，得A的精確值（2）01lim(

2、)niiiAfx( )baf x dx目錄 上頁 下頁 返回 結束 若用 表示任一小區間 上的窄曲邊梯形的面積，則A ,x xx分析：分析：d( )baAA x( )d .baf xx,AA并取 ，于是 ( )dAf xx ab xyo)(xfy xxx dAd面積元素則dA就是所求面積的典型元素（簡稱典型元或微元）.工程應用上需用定積分解決的問題，常用微元分析法工程應用上需用定積分解決的問題，常用微元分析法.目錄 上頁 下頁 返回 結束 二二 、如何應用定積分解決問題、如何應用定積分解決問題 第一步第一步微分表達式xxfUd)(d第二步第二步積分表達式Uxxfbad)(這種分析方法稱為近似值

3、精確值第二節 利用“化整為零 , 以常代變” 求出局部量的利用“ 積零為整 , 無限累加 ” 求出整體量的元素法元素法 (或微元分析法微元分析法 )元素元素條, 帶, 段, 環, 扇, 片, 殼的幾何形狀常取為:等目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、體積二、體積第二節一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積三、三、 平面曲線的弧長平面曲線的弧長 定積分在幾何學上的應用 第六六章 1. 旋轉體的體積旋轉體的體積2. 平行截面面積為已知的平行截面面積為已知的立立體的體積體的體積目錄 上頁 下頁 返回 結束 ybxa)(2xfy )(1xfy O一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標情形直角

4、坐標情形設曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲則xxfAd)(dxxfAbad)(邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為 xxfxfAbad)()(21Oxbay)(xfy xxdxxxxd目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1 計算兩條曲線3, 322xyxxy所圍圖形的面積 . 解解 由322xxy3 xy得交點 ，則)6, 3( , )3,0(2d(3)(23)dAxxxx313x32032x92320(3 )dAxxxO3yxxy(3,6)(0,3)xdxx目錄 上頁 下頁 返回 結束 O24yx24xyxy例例224yx與直線的面積 . 解解 由由24yx24

5、xy得交點(0, 2) , (12,4)(0,2)2d(42 )(4)dAyyy3624xy所圍圖形(12,4)313y2y248y則有224(28)dAyyyyyyd計算拋物線為簡便計算, 選取 作積分變量,y目錄 上頁 下頁 返回 結束 ab例例3 12222byaxxyAdd所圍圖形的面積 . 有axyA0d4利用橢圓的參數方程)20(sincosttbytax應用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當 a = b 時得圓面積公式xxxdxyO求橢圓解解 利用對稱性 ,目錄 上頁 下頁 返回 結束 xya2O例例4)cos1 (, )

6、sin(tayttax)0( a的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .dAydx解解 (1cos )(1cos )datattttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20(1 cos )(1 cos )dAatattttad)cos1 (2022求由擺線目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 極坐標情形極坐標情形,0)(, ,)(C設求由曲線)(r及,射線圍成的曲邊扇形的面積 .)(r d在區間,上任取小區間d,則對應該小區間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為d)(212A xO目錄 上頁 下頁 返

7、回 結束 對應 從 0 變例例5 計算阿基米德螺線解解 )0( aard21d() d2Aa2201() d2Aa22a331022334a到 2 所圍圖形面積 . a2xO目錄 上頁 下頁 返回 結束 圓柱圓錐圓臺1. 旋轉體的體積旋轉體的體積二二、體積、體積 就是由一個平面圖形饒這平面內一條直線旋轉一周而成的立體旋轉體旋轉體旋轉軸旋轉軸這直線叫做旋轉軸目錄 上頁 下頁 返回 結束 則體積為多少？為底的窄曲邊梯形繞取以dxx軸旋轉而成的薄片的體積為體積元素，xyabxyabO)(xfy 2( ) dbaVf xx、( )yf xxaxbxx一般地，如果旋轉體是由連續曲線、直及軸所圍成的曲邊梯

8、形繞軸旋轉一周而成的立體，線取積分變量為, x , xa b， , a b在上任取小區間 ,d x xx，由此得旋轉體的體積為：2d ( ) d .Vf xx則xyo)(xfy xdxx 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Oxy)(yx由此 , 當考慮連續曲線段2)(xf軸旋轉一周圍成的立體體積時,有軸繞xbxaxfy)()(xdbaV而當考慮連續曲線段)()(dycyx繞 y 軸旋轉一周圍成的立體體積時,有2)(yyddcVycdxyabxyabO)(xfy x2d ( ) dVf xx2d ( ) dVyy目錄 上頁 下頁 返回 結束 ayxb例例912222byax所圍圖形繞 x 軸旋轉而成

9、， 求這個油箱能裝燃料的體積. 解解)(22axaxaaby則xxaabad)(220222(利用對稱性)3222312xxaab0a234abOaV02xy d2x飛機的輔助燃料油箱形狀為橢圓利用直角坐標方程方法方法1dxx2ddVyx目錄 上頁 下頁 返回 結束 方法方法2tbytaxsincos則xyVad202222sin dcosabtt22 ab32234ab1 20ayxbOx特別當 時, 就得半徑為a 的球體的體積.343ab = attabdsin232022ddVyx利用橢圓參數方程目錄 上頁 下頁 返回 結束 柱殼體積xxxdyyx2柱面面積xyxd2Oa2xydyV柱殼

10、法柱殼法目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 試用定積分求圓)()(222bRRbyx繞 x 軸RbR上上半圓為22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbxd求體積 :提示提示:方法方法1旋轉而成的環體體積 V.OxyRV02bR222利用對稱性目錄 上頁 下頁 返回 結束 OxyRbR方法方法2Vdy2x2ydRbRbV4ybyRyd)(22ybR222說明說明:2 RV b2d2bR 20上上半圓為,22xRby下下 y22xRx此式反映了環體元素的另一種取法(如圖所示). dd2bRV用柱殼法上式可變形為目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 平行截面面積為已知的立體的體積

11、平行截面面積為已知的立體的體積 , a b 設所給立體垂直于x 軸 的截面面積為A(x), 則對應于小區間d,xxx的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為xxAVbad)(xabxxxd)(xA上連續, 如果一個立體不是旋轉體, 但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積, 那么, 這個立體的體積也可用定積分來計算.( )A x在目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例10并與底面交成 角,222Ryx解解則圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對稱性計算該平面

12、截圓柱體所得立體的體積 .ORxyx一平面經過半徑為R 的圓柱體的底圓中心 ,如圖所示取坐標系,d( )dVA xx目錄 上頁 下頁 返回 結束 sdabyxO(1) 曲線弧由直角坐標方程給出:)()(bxaxfy)(xfy 弧長元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs三、平面曲線的弧長三、平面曲線的弧長目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2) 曲線弧由參數方程給出:)()()(ttytx弧長元素(弧微分) :因此所求弧長tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs目錄 上頁 下頁 返回 結束 (3) 曲線弧

13、由極坐標方程給出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧長d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr則得sd弧長元素(弧微分) :(自己驗證)目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例11)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20( t的弧長 .解解 tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyOa2計算擺線目錄 上頁 下頁 返回 結束 d222aa例例12相應于 02一段的弧長 . 解解 )0( aard)()(d22rrs

14、d12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aara2Oar 求阿基米德螺線目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1. 平面圖形的面積邊界方程參數方程極坐標方程2. 平面曲線的弧長曲線方程參數方程方程極坐標方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐標方程直角坐標方程注意注意: 求弧長時積分上下限必須上大下小21d)()(tttttAd)(212AddAy x面積元素:目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 已知平行截面面積函數 A(x) 的立體體積baxxAVd)(旋轉體的體積2)(yxA繞 x 軸 :yxxA2)(繞 y 軸 :(柱殼法)

15、(xyy d( )dVA xx目錄 上頁 下頁 返回 結束 分析曲線特點1. ) 1( xxyOyx解解 41)(221 x1A) 1( xxy與 x 軸所圍面積1101d) 1(xxxA61,0時2A12d) 1(xxxA,21AA 由61213123,0)2131(2得0,2321由圖形的對稱性 ,21312 也合于所求. 為何值才能使) 1( xxy.) 1(軸圍成的面積及與于xxxxy與 x 軸圍成的面積等故21（舍去）目錄 上頁 下頁 返回 結束 第三節定積分在物理學上的應用 第六六章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、一、 變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功設物體在連續變力 F(

16、x) 作用下沿 x 軸從 x a 移動到,bx 力的方向與運動方向平行, 求變力所做的功 .xabxxxd，上任取子區間在d,xxxba在其上所作的功元素為xxFWd)(d因此變力F(x) 在區間 ,ba上所作的功為baxxFWd)(目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例13 一個單求電場力所作的功 . qOrabrrrd11解解 當單位正電荷距離原點 r 時,2rqkF 則功的元素為rrqkWdd2所求功為barrqkWd2rqk1ab)11(baqk說明說明:處的電勢為電場在ar arrqkd2aqk位正電荷沿直線從距離點電荷 a 處移動到 b 處 (a b) , 在一個帶 電荷所產生的電場作

17、用下, 由 電場力為庫侖定律庫侖定律+q(k為常數)目錄 上頁 下頁 返回 結束 試問要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? xxgd9m3m5例例14 23解解Oxxxxd在任一小區間d,xxx上的一薄層水的重力為g這薄層水吸出桶外所作的功(功元素功元素)為Wd故所求功為50Wxxgd9g922xg5 .112( J )設水的密度為05(N)一蓄滿水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為3m, 建立坐標系如圖.dx目錄 上頁 下頁 返回 結束 面積為 A 的平板二、液體的側壓力二、液體的側壓力設液體密度為 深為 h 處的壓強: hgph當平板與水面平行時, ApP 當平板不與水面平行時,所受側壓

18、力問題就需用積分解決 .平板一側所受的壓力為目錄 上頁 下頁 返回 結束 小窄條上各點的壓強xgp332Rg例例15 的液體 , 求桶的一個端面所受的側壓力. 解解所論半圓的22xRy)0(Rx 利用對稱性 , 側壓力元素RP0 xxRxgd222OxyRxxxd222xR Pdxg端面所受側壓力為xd方程為一水平橫放的半徑為R 的圓桶,內盛半桶密度為 建立坐標系如圖.目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,d222xxR 說明說明:當桶內充滿液體時,),(xRg小窄條上的壓強為側壓力元素Pd故端面所受側壓力為RRxxRxRgPd)(222奇函數奇函數3Rg)(xRgRxxRgR022d4根據幾何意義OxyRxxxd目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、三、 引力