1、會計學1必修必修 向量數乘運算及其幾何意義向量數乘運算及其幾何意義 新人新人教教A必修必修1.1.向量加法三角形法則向量加法三角形法則: :aAbBCba aaAbBbOCba 特點特點:首尾相接首尾相接特點特點:共起點共起點b a b Ba ABAab 2.2.向量加法平行四邊形法則向量加法平行四邊形法則: :3.3.向量減法三角形法則向量減法三角形法則: :O特點：特點：共起點，連終點，方向指向被減量共起點，連終點，方向指向被減量第1頁/共27頁思考題思考題1:已知向量已知向量 如何作出如何作出 和和 a, aaa( a)( a)( a)? a OAa Ba Ca NMQPa a a OC

2、OAABBCaaa 記記:aaa3a即即:OC3a. 同理可得同理可得:PN( a)( a)( a)3a 思考題思考題2: 向量向量 與向量與向量 有什么關系有什么關系? 向量向量 與向量與向量 有什么關系有什么關系? 3a a a 3a (1)向量向量 的方向與的方向與 的方向相同的方向相同, 向量向量 的長度是的長度是 的的3倍倍,即即3a a a 3a 3a3 a . (2)向量向量 的方向與的方向與 的方向相反的方向相反, 向量向量 的長度是的長度是 的的3倍倍,即即3a a 3a a 3a3 a . 探究一：向量的數乘運算及其幾何意義探究一：向量的數乘運算及其幾何意義第2頁/共27頁

3、思考思考3 3： 一般地，我們規定：實數一般地，我們規定：實數與與向量向量a的積是一個向量，這種運算叫做的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘向量的數乘. .記作記作a，該向量的長度與，該向量的長度與方向與向量方向與向量a有什么關系？有什么關系？（1 1）|a|=|=|a| |；（2 2）0 0時時,a與與a方向相同；方向相同； 0 0時時,a與與a方向相反；方向相反； =0=0時時,a =0.=0.第3頁/共27頁探究二探究二: :向量的數乘運算性質向量的數乘運算性質 思考思考1 1：你認為你認為2 2（5 5a），），2 2a2 2b， a可分別轉化為什么運算？可分別轉化為什么運算？(32

4、)+思考思考2 2：一般地，設一般地，設，為實數，為實數，則則(a) )，() a，(ab) )分別等于什么？分別等于什么？第4頁/共27頁實數與向量的積的結合律：實數與向量的積的結合律： aa)()( ?6)2(3aaa2)2(3aa6a第5頁/共27頁aaa )(a5a2a3?32)32(aaaa實數與向量的積的第一分配律：實數與向量的積的第一分配律： 第6頁/共27頁?222babaababa2b2baba22 baba )(實數與向量的積的第二分配律：實數與向量的積的第二分配律： 第7頁/共27頁任意實數，則有：為、為任意向量，設ba, babaaaaaa)( (3) )( (2)()

5、( (1)總結：實數與向量的積的運算律總結：實數與向量的積的運算律： 第8頁/共27頁2) 可以是零向量嗎可以是零向量嗎?思考思考:1) 為什么要是非零向量為什么要是非零向量?共線向量基本定理：共線向量基本定理： 向量向量 與非零向量與非零向量 共線共線當且僅當當且僅當有唯一一個實數有唯一一個實數 ，使得，使得ababab第9頁/共27頁第10頁/共27頁思考思考6 6：若存在實數若存在實數，使，使 ，則則A A、B B、C C三點的位置關系如何？三點的位置關系如何？A BBCl=uuu ruuu r思考思考7 7：如圖，若如圖，若P P為為ABAB的中點，則的中點，則 與與 、 的關系如何？

6、的關系如何？O Puuu rO Auuu rO Buuu rA AB BP PO OA BB CABCl=?uuu ruuu r、 、共線1()2O PO AO B=+uuu ruuu ruuu r第11頁/共27頁思考思考8 8：向量的加、減、數乘運算統稱向量的加、減、數乘運算統稱為為向量的線性運算向量的線性運算，對于任意向量，對于任意向量a、b，以及任意實數，以及任意實數、x x、y y，(x(xay yb）可轉化為什么運算？）可轉化為什么運算？ (x(xay yb b）=x=xayyb b. . 第12頁/共27頁例5 計算(1) (-3) 4a(2) 3(a+b)-2(a-b)-a(3

7、) (2a+3b-c)-(3a-2b+c)=(-34)a=-12a=3a+3b-2a+2b-2a=5b=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c第13頁/共27頁化簡 1 5 324 23;11122323423-xyxya - bbaabababaa=3a-2bba311211=2ya第14頁/共27頁例6 如圖,已知任意兩個非零向量a,b,試作2 ,3OAOBOC a+b,abab 你能判斷 A、B、C三點之間的位置關系嗎?為什么?abOaABC 2ABOBOA ababb 32ACOCOA ababb2ACAB 所以,A、B、C三點共線b2b3b第15頁/共27頁例7 如圖, 的

8、兩條對角線相交于點M,且ABCD=ABADMA MB MCMDa,b,a,b 、 、你能用表示和ADCBabM解：在ABCD中-ACABADDBABADaba b 平行四邊形的兩條對角線互相平分11112222MAAC a+bab11112222MBDBa -bab 111222MCACab 111222MDMBBD ab 第16頁/共27頁第17頁/共27頁第18頁/共27頁定理的應用定理的應用: / CDABCDABCDABCDAB直線直線不在同一直線上與(3)證明兩直線平行的問題證明兩直線平行的問題:(2)證明三點共線的問題證明三點共線的問題: )0(三點共線、CBABCBCAB(1)有

9、關向量共線問題有關向量共線問題:ba 第19頁/共27頁BCAB33BCAB 3AC3DEADAE 解：解： 與與 共線共線 ACAE例例1:如圖：已知如圖：已知試判斷試判斷 與與 是否共線是否共線 ACAE， 3 3BCDEABADABCDE第20頁/共27頁例例2：設：設a，b是兩個不共線的向量，是兩個不共線的向量，求證：求證：A，B，D三點共線三點共線.證明證明：又它們有公共點又它們有公共點BA,B,D三點共線三點共線bababaCDBCBD5382AB5ABBD/， 3 82 baCDbaBCbaAB第21頁/共27頁解：解：例例3:在四邊形在四邊形ABCD中，中，求證：四邊形求證：四

10、邊形ABCD為梯形為梯形 ， 2baAB， 35 4baCDbaBC 28baCDBCABADBC2BCAD直線直線/BCAD/不在同一直線上與CDAB所以四邊形所以四邊形ABCD為梯形為梯形第22頁/共27頁練練習習第23頁/共27頁035,. 4bxaxbax解方程為不共線向量，為未知向量，設第24頁/共27頁小結作業小結作業1.1.實數與向量可以相乘，其積仍是向量實數與向量可以相乘，其積仍是向量，但實數與向量不能相加、相減，但實數與向量不能相加、相減. .實數實數除以向量沒有意義，向量除以非零實數除以向量沒有意義，向量除以非零實數就是數乘向量就是數乘向量. .2.2.若若a=0=0，則可能有，則可能有=0=0，也可能有，也可能有a=0.=0.3.3.向量的數乘運算律，不是規定，