1、第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 第八章 Z變換與離散系統(tǒng)的Z域分析 8.1 Z變換的定義變換的定義8.2 Z變換收斂區(qū)及典型序列變換收斂區(qū)及典型序列Z變換變換8.3逆逆Z變換變換 Z變換的性質(zhì)定理變換的性質(zhì)定理8.4 Z變換的性質(zhì)定理變換的性質(zhì)定理 8.5 離散系統(tǒng)的復(fù)頻域分析離散系統(tǒng)的復(fù)頻域分析第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 8.1 Z變換的定義變換的定義 Z變換的定義可由抽樣信號的拉氏變換引出。連續(xù)信號的理想抽樣信號為 nTsnTtnTxttxtx)()()()()(式中, T為抽樣間隔。對上式取雙邊拉氏變換，得到 dtenTtnTxdtetxtxLSXststsss)()()()()

2、(第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 交換運(yùn)算次序， 并利用沖激函數(shù)的抽樣性， 得到抽樣信號的拉氏變換為 nsnTnstsenTxdtenTtnTxsX)()()()(8.1-1)令z=esT或 ，引入新的復(fù)變量，式(8.1-1)可寫為 nzTs11nnsznTxsX)()(8.1-2)第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 式(8.1-2)是復(fù)變量Z的函數(shù)（T是常數(shù)）， 可寫成 212)2() 1 ()0() 1()2()()(zxzxxzxzxznxzXnn (8.1-3) 式(8.1-3)是雙邊Z變換的定義。 如果x(n)是因果序列是因果序列，則式(6.1-3)的Z變換為 210)2() 1 (

3、)0()()(zxzxxznxzXnn (8.1-4) 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 總結(jié)總結(jié) ：雙邊雙邊Z變換的定義式變換的定義式nnznxzX)()(單邊單邊Z變換的定義式變換的定義式0)()(nnznxzX只有當(dāng)級數(shù)收斂時(shí)，只有當(dāng)級數(shù)收斂時(shí)，Z Z變換才有意義變換才有意義nnznx|)(|即：即：第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 8.2 Z變換收斂域及典型序列變換收斂域及典型序列Z變換變換 例例8.2-1 已知序列已知序列 000)(,000)(21nannxnnanxnn分別求它們的分別求它們的Z變換及收斂域。變換及收斂域。 對于任意給定的有界序列對于任意給定的有界序列x(n),x

4、(n),使使z z變換定義式級數(shù)收斂變換定義式級數(shù)收斂 的所有的所有z z值得集合，稱為值得集合，稱為z z變換變換X(z)X(z)是收斂域（是收斂域（region of region of convergence,convergence,簡寫為簡寫為ROCROC）第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 解解 |1|111)(1lim)()(11110101azazzazazazazazzazXnnnnnnn收斂域?yàn)椋海?）第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 |1|1111)(1lim1)(1)()()(1111011112azazzzaazzazazazazazXnnnnnnnnn收斂域?yàn)椋海?）第

5、六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 X1(z)與與X2(z)相同，但相同，但X1(z)的收斂區(qū)是以的收斂區(qū)是以|a|為半徑為半徑的圓外，的圓外， 而而X2(z)的收斂區(qū)是以的收斂區(qū)是以|a|為半徑的圓內(nèi)。為半徑的圓內(nèi)。 此例說明，收斂區(qū)與此例說明，收斂區(qū)與x(n)有關(guān)，并且對于雙邊有關(guān)，并且對于雙邊Z變變換，換，不同序列的不同序列的ZTZT表示式有可能相同，但各自的收斂表示式有可能相同，但各自的收斂區(qū)一定不同。區(qū)一定不同。所以為了所以為了惟一確定惟一確定Z變換所對應(yīng)的序列，變換所對應(yīng)的序列，雙邊雙邊Z變換除了要給出變換除了要給出X(z)的表示式外，還必須標(biāo)明的表示式外，還必須標(biāo)明X(z)的收斂區(qū)的

6、收斂區(qū)。 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 1. 1. 有限長序列有限長序列 其它0)()(21nnnnxnx圖圖 8.2-1 有限長序列示意圖有限長序列示意圖 0n1n2nx(n)Z變換為變換為 ：21)()(nnnnznxzXX X( (z z) )是有限項(xiàng)級數(shù)，級數(shù)每項(xiàng)有界，則有限項(xiàng)之和亦有界。是有限項(xiàng)級數(shù)，級數(shù)每項(xiàng)有界，則有限項(xiàng)之和亦有界。當(dāng)當(dāng)x x( (n n) )有界時(shí)，有界時(shí)， n1nn2,Z Z變換的收斂區(qū)變換的收斂區(qū)取決于取決于| |z z| |- -n n， ( (1)0 1)0 n1 ， X X( (z z) )只有只有z z的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng), ,收斂區(qū)為收斂區(qū)為 00

7、| |z z|(2)n(2)n2 2 0, X0, X( (z z) )只有只有z z的正冪項(xiàng)，收斂區(qū)為的正冪項(xiàng)，收斂區(qū)為 0|0|z z|（3 3）n n1 10,0,n n2 2 0, 0,收斂區(qū)為收斂區(qū)為 0|0|z z|(4)x x( (n n)=a)=a( (n n) ) X X( (z z)=a)=a，0|0|z z|第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 例8.2-2 已知序列x(n)=RN(n)，求X(z)。 解 1)1(2110111)(zzzzzzzXNNNnn收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?|z| 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 2. 右邊序列右邊序列 右邊序列是右邊序列是有始無終有始無終

8、的序列，即的序列，即n2，如圖，如圖6.2-2所示。所示。 右邊序列的右邊序列的Z變換為變換為 1)()(nnnznxzX若滿足若滿足n1nx(n)0圖圖8.2-2 右邊序列示意圖右邊序列示意圖1)(limnnnznx即即1)(limxnnRnxz右邊序列的收斂域?yàn)橐粋€(gè)圓外的部分：右邊序列的收斂域?yàn)橐粋€(gè)圓外的部分：|1zRx當(dāng)當(dāng)n10時(shí)，時(shí)，X(z)的和式中沒有的和式中沒有z的正冪項(xiàng)，收斂域?yàn)榈恼齼珥?xiàng)，收斂域?yàn)閨1zRx第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 例例8.2-3 已知序列已知序列 ),(31)(nunxn求X(z)。 解解 31|)3/1 (1131|131311311lim31)(11

9、110zzzzzzzzXnnnnn即當(dāng)推論：推論：在在X X( (z z) )的封閉表示式中，若有多個(gè)極點(diǎn)，則右邊序列的的封閉表示式中，若有多個(gè)極點(diǎn)，則右邊序列的收斂域收斂域是以是以絕絕對值最大對值最大的極點(diǎn)為收斂半徑的圓外。的極點(diǎn)為收斂半徑的圓外。 收斂域是以收斂域是以X(z)的的極點(diǎn)極點(diǎn)1/3為半徑的圓外為半徑的圓外第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 3. 左邊序列左邊序列 左邊序列是左邊序列是無始有終無始有終的序列，即的序列，即n1-，如圖，如圖8.2-3所示。所示。 左邊序列的左邊序列的Z變換為變換為 22)- ()()(nnnnnnznxznxzX當(dāng)滿足當(dāng)滿足n2nx(n)0圖圖 8.

10、2-3 左邊序列示意圖左邊序列示意圖 1)- (limnnnznx即即2)(1limxnnRnxz左邊序列的收斂域?yàn)橐粋€(gè)圓內(nèi)的部分：左邊序列的收斂域?yàn)橐粋€(gè)圓內(nèi)的部分：若n2 0 ，收斂域還包含0點(diǎn)2|0 xRz 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 例例8.2-4 已知序列已知序列x(n)=-bnu(-n-1)，求，求X(z)。 解解 |0111)(1lim11)(111011bzbzzbzzbzbzbzbzbzXnnnnnnnnnnn推論：推論： 在在X(z)的封閉表示式中，若有多個(gè)極點(diǎn)，則左邊序列收斂區(qū)是以的封閉表示式中，若有多個(gè)極點(diǎn)，則左邊序列收斂區(qū)是以絕對絕對值最小值最小的極點(diǎn)為收斂半徑的

11、圓內(nèi)。的極點(diǎn)為收斂半徑的圓內(nèi)。 收斂域是以收斂域是以X(z)的的極點(diǎn)極點(diǎn)b為半徑的圓內(nèi)為半徑的圓內(nèi)第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 4. 雙邊序列雙邊序列 雙邊序列是無始無終的序列，即雙邊序列是無始無終的序列，即n1-，n2。其。其Z變換為變換為 nnznxzX)()(將雙邊序列的將雙邊序列的X(z)分為兩部分分為兩部分 01)()()(nnnnznxznxzX2xRz 1xRz 21xxRzR 雙邊序列的收斂域?yàn)閳A環(huán)：雙邊序列的收斂域?yàn)閳A環(huán)：注意：注意：若若Rx2 Rx2,兩序列的兩序列的ROC無無重疊區(qū)，則該雙邊序列的重疊區(qū)，則該雙邊序列的ROC不存在不存在第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析

12、 例例8.2-5 已知雙邊序列已知雙邊序列x(n)=c|n|，c為實(shí)數(shù)，求為實(shí)數(shù)，求X(z)。 00)(|ncnccnxnnn)()()()(2101|zXzXznxczcczXnnnnnnnn n0時(shí)，時(shí)， |1|1|11)(1lim)()(1211czczczczczczczczczzczczXnnnnnnnn或解：解：第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 n0時(shí)時(shí) |1|11)()(1102zcczczzczznxczXnnn或討論：討論：(1) |c|1時(shí)，時(shí)，c|n|波形如圖波形如圖6.2-4所示。所示。 |1| |)(1 ()1 (1)()()(221czcczczczczzczczz

13、XzXzX0ncnc n1c|n|c| 1圖圖 8.2-4 |c|1時(shí)，時(shí)，c|n|波形如圖波形如圖6.2-5所示。因?yàn)樗尽Ｒ驗(yàn)?無公共無公共收斂區(qū)，所以收斂區(qū)，所以X(z)的雙邊的雙邊Z變換不存在。變換不存在。 XXRccR|1|圖 8.2-5 |c|1雙邊序列示意圖 0c ncnc|n|1n|c|1第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 8.2.2 典型序列的典型序列的Z變換變換 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中非因果信號較少，但在離散系統(tǒng)中非因果序列(單邊序列、雙邊序列)卻有一定的應(yīng)用。 1. (n) 1)(1)()(0nznnZnn第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 2. u(n) 1|11|11)(110z

14、zzzzznuZnn第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 3. 斜變序列斜變序列nu(n) nnnnzzznzznuZ2102)(|z-1|1 同理 1cos2)sin21)()(21)()sin(02000000zzzsezzezzjnueejnunjjnjnj|z|1 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 6. 雙邊指數(shù)序列雙邊指數(shù)序列 |1|)(1 ()1 ()(1|)(2|azaazazazzXaanxn第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 表表8-1常用序列常用序列Z變換表變換表 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 8.3 逆逆 Z變變 換換 逆Z變換也稱反變換，Z反變換可用英文縮寫Z-1表示，是

15、由X(z)求x(n)的運(yùn)算，若 XXnnRzRznxzX|,)()(8.3-1) 則由柯西積分定理，可以推得逆變換表示式為 ),(,)(21)(1XXcnRRcdzzzXjnx(8.3-2) 即對X(z)zn-1作圍線積分，其中c是在X(z)的收斂區(qū)內(nèi)一條逆時(shí)針的閉合圍線。一般來說，計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分比較困難，所以當(dāng)X(z)為有理函數(shù)時(shí)，介紹常用的兩種反變換方法。 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 8.3.1 冪級數(shù)展開法冪級數(shù)展開法 將X(z)展開，X(z)=+x(-1)z+x(0)+x(1)z-1+，其系數(shù)就是x(n)。特別的，對單邊的左序列或右序列，當(dāng)X(z)為有理函數(shù)時(shí)， 冪級數(shù)法也稱長

16、除法。舉例說明用長除法將X(z)展開成級數(shù)求得X(z)的方法。 例例8.3-1 已知 , 求x(n)。 |,| /1| ,)(1azzaazX第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 解解 因?yàn)槭諗繀^(qū)在因?yàn)槭諗繀^(qū)在1/|a|外，序列為外，序列為右序列右序列，應(yīng)展開為，應(yīng)展開為z的降冪級數(shù)的降冪級數(shù)。 0332211111)(nnnzazazazazX由此可得x(n)=a-nu(n)。 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 例例6.3-2 已知，求x(n)。 |1| ,)(1azzaazX 解解 因?yàn)槭諗繀^(qū)在1/|a|圓內(nèi)，序列為左序列，應(yīng)展開為z的升的升冪級數(shù)冪級數(shù)。 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 1

17、443322)(nnnzazazazaazzX由此可得x(n)=-a-nu(-n-1)。 用長除法可將X(z)展開為z的升冪或降冪級數(shù)，它取決于X(z)的收斂區(qū)。所以在用長除法之前，首先要確定用長除法之前，首先要確定x(n)是左序列還是左序列還是右序列，由此決定分母多項(xiàng)式是按升冪還是按降冪排列。是右序列，由此決定分母多項(xiàng)式是按升冪還是按降冪排列。 由長除法可以直接得到x(n)的具體數(shù)值，但當(dāng)X(z)有兩個(gè)或兩個(gè)以上極點(diǎn)時(shí)，用長除法得到的序列值，要?dú)w納為x(n)閉合式還是比較困難的，這時(shí)可以用部分分式法求解x(n)。 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 8.3.2 部分分式法部分分式法 X(z)一

18、般是z的有理函數(shù)，可表示為有理分式形式。最基本的分式及所對應(yīng)的序列為式（8.3-3）是基本Z變換對。部分分式法就是基于此基礎(chǔ)上的一種方法，即將X(z)的一般有理分式展開為基本（單極點(diǎn)）有理分式之和。 這與傅氏變換、 拉氏變換的部分分式法相似。 |) 1(|)(111knkknkkkdznuddznuddzzzd（8.3-3） 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 通常X(z)表示式為 NNNNMMMMzazazaazbzbzbbzDzNzX11101110)()()(（8.4-4）式中, 分子最高次為M，分母最高次為N。 設(shè)MN， 且X(z)均為單極點(diǎn)，X(z)可展開為 NkkkdzAzAzzX1

19、0)(式中 0000| )(, 1 , 0)()(abzXANkzzXdzAzdzkkk（8.4-5）（8.4-6）（8.4-7）第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 因?yàn)橐驗(yàn)閆變換的基本形式為變換的基本形式為 ，在用部分分式展開法時(shí)，在用部分分式展開法時(shí)，可以先將可以先將 展開，然后每個(gè)分式乘以展開，然后每個(gè)分式乘以z，X(z)就可以展開就可以展開為為的形式，即的形式，即 kdzzzzX)(kdzzNkkkdzzAAzX10)(（6.4-8）式中式中, A0對應(yīng)的變換為對應(yīng)的變換為A0 (n)， 根據(jù)收斂域最終確定根據(jù)收斂域最終確定x(n)。 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 例例8.4-3 已

20、知 ，|z|1，求x(n)。 )5 . 0)(1()(2zzzzX)()5 . 02()(1|5 . 012)(25 . 0)() 1(11)()5 . 0(15 . 0)(1125 . 05 . 0121nunxzzzzzzXzzzzXzAzzzzXzAzAzAzzXnzzzz解解 1|z|，是右邊（因果）序列。 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 例例8.4-4 已知已知 , 3|2 ,615)(211zzzzzX求x(n)。 解解 ) 3()2() 3)(2(565615)(212212zAzAzzzzzzzzzX135)()2(221zzzzzXzA第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 )

21、3()2()() 3(1)2(1)(125)() 3(332zzzzzXzzzzXzzzXzAzz因?yàn)槭諗繀^(qū)為2|z|3，是雙邊序列，由此可得x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1) 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 若若X(z)在在z=d1有一階的重極點(diǎn)，其余為單極點(diǎn)。有一階的重極點(diǎn)，其余為單極點(diǎn)。X(z)可展開為可展開為 skNskkkkkdzzAAdzzBzX1101)()(其中, A0、Ak計(jì)算同前，Bk為 1)()()!(11dzskskskzzXdzdzdksB（8.4-9） 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 作業(yè)（1） P103 8-1 單號題 8-2 8-4 單號題 8

22、-5 （2） （4） 8-12第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 8.4 Z變換的性質(zhì)定理變換的性質(zhì)定理 1. 線性線性 若 YYXXRzRzYnyRzRzXnx|)()(|)()(則 ax(n)+by(n) aX(z)+bY(z) R-|z|0）若序列x(n)的雙邊Z變換為 )()()()(zXzmnxzXnxmXXXXRzRRzR|證明證明 nmmnnnzzmnxzmnxmnxZ)()()()(令n+m=k，代入上式 )()()(zXzzkxzmnxZmkkm第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 例例8.4-2 |0,)() 1() 1(|0,)() 1() 1(.,|0 , 1)()()(12

23、1zzzXnnxzzzXnnxzzzXnnx平面全第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 3. 單邊單邊Z變換的位移性變換的位移性(1) 若序列x(n)的單邊Z變換為 )()()(zXnunx則序列左移后單邊Z變換為 0)()()()(10mzkxzXznumnxmkkm（8.4-3） 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 證明證明 )()()()()()()()()()(101000)(0mkkmmkkkkmmkkmnmmnnnzkxzXzzkxzkxzzkxzkmnzzmnxzmnxnumnxZ令第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 序列左移后單邊Z變換的示意圖如圖6.4-1所示。特別的， ) 1 ()

24、0()()()2()0()()() 1(22zxxzzXznunxZzxzzXnunxZ圖 6.3-1 序列左移后單邊Z變換的示意圖 n01x(n m)u(n)X(z)zm0n1x(n)X(z)減8.4-1)()(10mkkmzkxzXz第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 (2) 若x(n)u(n) X(z), 則 )()()()(1mkkmzkxzXznumnxm0 （6.3-4） 證明證明 1100)(0)()()()()()()()()()(mkkmmkkkkmmkkmnmmnnnzkxzXzzkxzkxzzkxzkmnzzmnxzmnxnumnxZ令第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 序列

25、右移后單邊Z變換的示意圖如圖8.4-2所示。特別的， )2() 1()()()2() 1()()() 1(121xxzzXznunxZxzXznunxZ圖 6.3-2 序列右移后的單邊Z變換 n01x(n m)u(n)X(z)z m0n1x(n)X(z)加8.4-21)()(mkkmzkxzXz第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 (3) 若x(n)為因果序列， )()()(zXnunx, 則 0)()()()(0)()()(10mzkxzXznumnxmzXznumnxmkkmm(8.4-5) (8.4-6) 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 例例8.4-3 求周期序列的單邊Z變換。 解解 周期

26、序列x(n)=x(n+rN) 令n=0N-1的主值區(qū)序列為x1(n)，其Z變換為X1(z)x(n)u(n)=x1(n)+ x1(n-N)+x1(n-2N)+第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 則x(n)的單邊Z變換為 1)(1|11)(11lim)()()1)()()()()(11011211211NNNNmNmmmNNNNNzzzXzzzXzzzXzzXzzzXzXzzXzzXzX 與連續(xù)周期信號的單邊拉氏變換相同， 也稱為離散周期因子。1NNzz第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 4. 指數(shù)序列加權(quán)指數(shù)序列加權(quán)(z域尺度變換域尺度變換) 則若,|),()(XXRzRzXnxXXnRzaRzaX

27、nxa|)()(11（8.3-7） 證證 XXXXnnnnnnRazaRaRzaRazXzanxznxanxaZ|)()()(111 利用指數(shù)序列加權(quán)性及， 可推得 1|1)()()(zzzzXnunx第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 1|cos21sin111121)(sin1|cos21cos1111121)(cos1| , 1|1)()(| , 1|1)()(20101110201011101111000000000zzzzzezennuzzzzzezennuzzeezzzezezeXnueazzaazzzazazaXnuajjjjjzjjjjnjn第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 5.

28、 x(n)線性加權(quán)或線性加權(quán)或z域微分性域微分性 則若,|),()(XXRzRzXnxXXRzaRdzzdXznnx|)()(1(8.3-8) 證證 )()()()()()(111nnxZzznnxzznnxzdzdnxznxdzddzzdXnnnnnnnn(交換運(yùn)算次序) 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 利用z域微分性及 ， 可推得 ) 1|(|1)()()(zzzzXnunx1|) 1() 1() 1(1)(22zzzzzzzzzdzdznnu1|) 1() 1() 1()(322zzzzzzdzdznun第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 6. 復(fù)序列的共軛復(fù)序列的共軛 則若,|),()

29、(XXRzRzXnxnnnnnnXXzXznxznxznxnxZRzRzXnx)()()()()(|)()(*證明： （8.4-9） 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 利用復(fù)序列的共軛及ZT的線性性質(zhì)，我們可以得到 )()(21)(21)(21)(Im)()(21)(21)(21)(Re*zXzXnxnxZnxZzXzXnxnxZnxZ第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 7. 初值定理初值定理對因果序列因果序列x(n)，有 )(lim)0(zXxz（8.4-10） 證明證明: 021)2() 1 ()0()()(nnzxzxxznxzX對等式兩邊取極限 )0()2() 1 ()0(lim)(li

30、m21xzxzxxzXzz第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 8. 終值定理終值定理 若x(n)是因果序列因果序列, 除單位圓上單位圓上可有z=1的一階極點(diǎn)一階極點(diǎn)外， 其余其余極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)。則 )() 1(lim)(lim1zXznxzn（8.4-11） 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 9. 時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積定理若w(n)=x(n)*y(n)，則 RzRzYzXzW|)()()(式中 ,max,maxYXYXRRRRRR第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 例例8.4-4 1|11)()()(1zzzXnunx1|,|11)()()(1aazazzYnuanyn其中求w(

31、n)=x(n)*y(n)。 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 )()1 (11)(1|11111)(1111111111111)()()(111/11211112111111nuaanwzazazazWaazAaazAazAzAazzzYzXzWnazz解解 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 圖 8.4-3 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解 h(n)x(n)X(z)H(z)y(n) x(n)*h(n)Y(z) X(z) H(z)第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 表表8-2 Z變換性質(zhì)與定理變換性質(zhì)與定理 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 作業(yè)（2） 8-7(選做，目的是加深性質(zhì)的理解) 8-8 8-1

32、6 8-17（1）（2） 8-18 8-19（1）第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 8.5 離散系統(tǒng)的復(fù)頻域分析離散系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 8.5.1 利用利用Z變換求解差分方程變換求解差分方程N(yùn) N階階LTILTI離散系統(tǒng)的差分方程一般形式為離散系統(tǒng)的差分方程一般形式為 MkrNkkrnxbknya00)()(（8.5-1） 當(dāng)當(dāng)x(n)是是因果序列因果序列，已知，已知初始（邊界）條件初始（邊界）條件y(-1), y(-2), , y(-N)時(shí)，可利用時(shí)，可利用Z Z變換求解式（變換求解式（8.5-18.5-1），對式（），對式（8.5-18.5-1）等式兩等式兩邊取單邊邊取單邊Z Z變換變換，利

33、用單邊，利用單邊Z Z變換的位移性，得到變換的位移性，得到 100)()()(klrrMrlNkkkzXzbzlyzYza（8.5-2） 式中式中, , y y( (l) )是初始條件。是初始條件。 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 1. 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng)是僅由激勵(lì)引起的響應(yīng)。當(dāng)激勵(lì)零狀態(tài)響應(yīng)是僅由激勵(lì)引起的響應(yīng)。當(dāng)激勵(lì)x(n)是因果序是因果序列時(shí)，并且系統(tǒng)初始條件為零列時(shí)，并且系統(tǒng)初始條件為零（y(l)=0, -Nl-1），），則式（則式（8.5-8.5-2 2）為）為 NkMrrrzskkzXzbzYza00)()(（8.5-3） 由式（由式（8.5-38.5-3）得）得零

34、狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)為為 NkkkMrrrzszazXzbzY00)()(（8.5-4）第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 令令 NkkkMrrrzazbzH00)(（8.5-5）式中式中, , H(z)為系統(tǒng)（傳輸）函數(shù)為系統(tǒng)（傳輸）函數(shù)，零狀態(tài)響應(yīng)還可表示為，零狀態(tài)響應(yīng)還可表示為 )()()()()()()(11zXzHZzYZnyzXzHzYzszszs（8.5-6）（8.5-7）第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 穩(wěn)定因果系統(tǒng)的條件為穩(wěn)定因果系統(tǒng)的條件為: :系統(tǒng)函數(shù)的所有系統(tǒng)函數(shù)的所有極點(diǎn)都在極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)單位圓內(nèi)用系統(tǒng)函數(shù)判斷離散用系統(tǒng)函數(shù)判斷離散LTI系系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性統(tǒng)的穩(wěn)定性

35、與因果性穩(wěn)定的充要條件是穩(wěn)定的充要條件是: : 系統(tǒng)函數(shù)的收斂域系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包含包含單位圓。單位圓。因果性的條件因果性的條件：系統(tǒng)函數(shù)的收斂域是：系統(tǒng)函數(shù)的收斂域是zRz 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 例例8.5-1 8.5-1 已知一離散系統(tǒng)的差分方程為已知一離散系統(tǒng)的差分方程為y(n)-by(n-1)=x(n), 求求y(n)。其中。其中x(n)=anu(n), y(-1)=0。并討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。并討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解解 因?yàn)橐驗(yàn)閥(-1)=0， 是零狀態(tài)響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)。對方程兩邊取單邊。對方程兩邊取單邊Z Z變換變換 bzbzazazbaazzbzzazbzzXbzzYzX

36、zYbzzXzYbzzY11111)(11)()()()1 ()()()(11111)()(1)(11nubabanynn第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 2. 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) 零輸入響應(yīng)是僅由系統(tǒng)初始儲能引起的響應(yīng)，與初始（邊零輸入響應(yīng)是僅由系統(tǒng)初始儲能引起的響應(yīng)，與初始（邊界）條件界）條件y(-1)、y(-2)、y(-N)密切相關(guān)。此時(shí)激勵(lì)密切相關(guān)。此時(shí)激勵(lì)x(n)=0，式，式（8.5-1）差分方程右邊等于零，）差分方程右邊等于零， 式（式（8.5-2）變?yōu)椋┳優(yōu)?NkkkNkkllkkzikllkkNkNkzikkkllziNkkkzazlyzazYzlyzazYzazlyzYza

37、00110010)()()()(0)()(（8.5-8） （8.5-9） 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 其中其中, y(l)為系統(tǒng)的初始（邊界）條件，為系統(tǒng)的初始（邊界）條件， -Nl-1 )()(1zYZnyzizi（8.5-10） 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 例例8.5-2 已知差分方程為已知差分方程為y(n)-by(n-1)=x(n), 求求y(n)。 其中其中x(n)=0，y(-1)=-1/b，求，求y(n)。 解解 激勵(lì)激勵(lì)x(n)=0，是零輸入響應(yīng)。對方程兩邊取單邊，是零輸入響應(yīng)。對方程兩邊取單邊Z變變換換 )()(11)(1)()1 (01)()(0)1()()(111

38、1nubnybzzYzYbzbzYzbzYyzYzbzYn第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 3. 全響應(yīng)全響應(yīng) 利用利用Z變換，不需要分別求零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)，可變換，不需要分別求零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)，可以直接求解差分方程的全響應(yīng)。以直接求解差分方程的全響應(yīng)。 NkkkNklklkkNkkkMrrrzszizazlyzazazXzbZnynyny001001)()()()()(（8.5-11） 零狀態(tài)響應(yīng)，與零狀態(tài)響應(yīng)，與輸入有關(guān)的項(xiàng)輸入有關(guān)的項(xiàng)零輸入響應(yīng)，與初始零輸入響應(yīng)，與初始儲能有關(guān)的項(xiàng)儲能有關(guān)的項(xiàng)第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 例例8.5-3已知差分方程為已知差分方程為y(n)

39、-by(n-1)=x(n), 已知已知y(0)=0， x(n)=anu(n),求求y(n)。 解解 先求出邊界條件先求出邊界條件y(-1), 將將n=0代入原方程迭代代入原方程迭代 y(0)-by(n-1)=x(0)=1解出解出y(-1)=-1/b，此時(shí)的，此時(shí)的y(n)是全響應(yīng)。是全響應(yīng)。 方程兩邊取方程兩邊取Z變換變換Y(z)-bz-1Y(z)+y(-1)=X(z) )(1)()(1zXbzYzbzY第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 )()()()(11111111)()(1)()()1 (11111nubabaanybzzazzbaabzazazbzazbzbzzXzYzXzYbznn第

40、六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 例例8.5-4 已知某離散系統(tǒng)模擬如圖已知某離散系統(tǒng)模擬如圖8.5-1所示，求系統(tǒng)函數(shù)所示，求系統(tǒng)函數(shù)H(z)及沖激響應(yīng)及沖激響應(yīng)h(n)。 x(n)y(n)z1b圖 8.5-1 例8.5-3離散系統(tǒng) 第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 )()(11)()(11)()()()(111nubnhbzzHzXbzzYzYbzzXzYn解解第六章 變換與離散系統(tǒng)的頻域分析 6.5.2 Z變換與拉普拉斯（傅里葉）變換的變換與拉普拉斯（傅里葉）變換的關(guān)系 要討論要討論Z變換與拉氏變換的關(guān)系，首先要研究變換與拉氏變換的關(guān)系，首先要研究z平面與平面與s平面平面的映射（變換）關(guān)系。在的映射（變換）關(guān)系。在5.1節(jié)中我們將連續(xù)信號的拉氏變換與節(jié)中我們將連續(xù)信號的拉氏變換與采樣序列的采樣序列的Z變換聯(lián)系起來，引進(jìn)了復(fù)變量變換聯(lián)系起來，引進(jìn)了復(fù)變量z，它與復(fù)變量，它與復(fù)變量s有以有以下的映射關(guān)系下的映