1、1.3 1.3 空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積與體積 上面提到的物體的幾何結構特征大致有以上面提到的物體的幾何結構特征大致有以下幾類：下幾類：問題:1.長方體的展開圖與其表面積有何關系？水立方的長，寬，高分別為177m 177m30m試求它的表面積(1)矩形面積公式：矩形面積公式： _。(2)三角形面積公式：三角形面積公式：_。 正三角形面積公式：正三角形面積公式：_。(3)圓面積面積公式：圓面積面積公式：_。(4)圓周長公式：圓周長公式： _。(5)扇形面積公式：扇形面積公式： _。(6)梯形面積公式：梯形面積公式： _。(7)扇環面積公式：扇環面積公式： _。Sab12Sah2

2、34Sa2Sr2Cr12Srl1()2Sab h1()()2Sllrr如何用展開圖來計算棱柱棱錐棱臺的表面積？如何用展開圖來計算棱柱棱錐棱臺的表面積？側面側面展開圖的構成展開圖的構成幾何體的展開圖幾何體的展開圖一組平行四邊形一組平行四邊形一組梯形一組梯形一組三角形一組三角形 棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側面展開圖還是平面圖形，計算它們的體，它們的側面展開圖還是平面圖形，計算它們的表面表面積就是計算它的積就是計算它的各個側面面積和底面面積之和各個側面面積和底面面積之和h例例1 已知棱長為已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面，

3、各面均為等邊三角形的四面體體S-ABC，求它的表面積，求它的表面積 D分析：四面體的展開圖是由四個全等的正三角形組分析：四面體的展開圖是由四個全等的正三角形組成。成。因為因為SB=a，aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此，四面體因此，四面體S-ABC 的表面積的表面積 交交BC于點于點D解：先求解：先求 的面積，過點的面積，過點S作作SBCBCSD BCASa23a例例2.下圖是一個幾何體的三視圖下圖是一個幾何體的三視圖(單位單位:cm)想想象對應的幾何體象對應的幾何體，并求出它的表面積，并求出它的表面積66101081012解：直觀圖是四棱臺,側

4、面是四個全等的梯形,上下底面為不同的正方形4SS側梯形SSS側表底2566610102392()cm2(6 10) 84256()2cm v求多面體的表面積可以通過求各個平面多邊形的面積和得到,那么旋轉體的面積該如何求呢?思考圓柱、圓錐、圓臺的側面積分別和矩形、三角形、梯形的面積有什么相似的地方？梯梯形形三三角角形形矩矩形形平面圖形面積空間體的側空間體的側面積空間體側面展開圖22Sr lrl側122Sr lrl側1(2 2)2( )Srrlrrl側1()2Sa b hSab12Sah表面積側側面積 側面展開圖22Sr lrl側122Sr lrl側2()Sr rl()Sr rl1(2 2)2(

5、)Srrlrrl側22( )Srrr lrl從而我們得出了求旋轉體的表面方法：從而我們得出了求旋轉體的表面方法：_SS 圓圓柱柱側側圓圓柱柱表表_SS 圓圓錐錐側側圓圓錐錐表表1.看圖回答問題看圖回答問題_SS圓圓臺臺側側圓圓臺臺表表2463116 做一做做一做 3.以直角邊長為以直角邊長為1的等腰直角的等腰直角三角形的一直角邊為軸旋轉，三角形的一直角邊為軸旋轉，所得旋轉體的表面積為所得旋轉體的表面積為_._ .1m224 2.一個圓柱形鍋爐的底面半徑為一個圓柱形鍋爐的底面半徑為 ,側面展側面展開圖為正方形，則它的表面積開圖為正方形，則它的表面積為為212m21 4.已知圓錐的表面積為已知圓錐

6、的表面積為 ，且它的側面展開，且它的側面展開圖是一個半圓，這個圓錐的底面直徑圖是一個半圓，這個圓錐的底面直徑_.2 a m23 3am21例題例題3、如圖，一個圓臺形花盆盆口的、如圖，一個圓臺形花盆盆口的直徑為直徑為20cm，盆底直徑為，盆底直徑為15cm，底，底部滲水圓孔直徑為部滲水圓孔直徑為1.5cm，盆壁，盆壁15cm。為了美化花盆的外觀，需要涂漆。已知為了美化花盆的外觀，需要涂漆。已知每平方米用每平方米用100毫升油漆，漆毫升油漆，漆100個這個這樣的花盆需要多少油漆（樣的花盆需要多少油漆（取取3.14，結，結果精確到果精確到1毫升，可用計算器計算）？毫升，可用計算器計算）？分析分析

7、(1)(1)花盆外壁的面積花盆外壁的面積= =花盆的側花盆的側 面積面積+ +底面積底面積- -底面圓孔面積底面圓孔面積2322221515201.5()1515()22221000()0.1()Scmm(2)涂100個需漆: y=0.1100100=1000(毫升) 答答:每個涂漆面積0.1 , 100個需涂漆1000毫升.2m24解解:(1)蜜蜂爬行的最短路線問題蜜蜂爬行的最短路線問題.易拉罐的易拉罐的底面直徑底面直徑為為8cm,高高25cm.分析分析: 可以把圓柱沿開始時蜜蜂所在位置的母線展開可以把圓柱沿開始時蜜蜂所在位置的母線展開,將問題轉化為平面幾何的問題將問題轉化為平面幾何的問題.

8、 AB)(2lrrS柱)(lrrS錐)(22rllrrrS臺圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關系？圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關系？柱體、錐體、臺體的表面柱體、錐體、臺體的表面積積各面面積之和各面面積之和rr0 r展開圖展開圖)(22rllrrrS 圓臺圓臺圓柱圓柱)(2lrrS)(lrrS圓錐圓錐一、基本知識二、思想方法由特殊到一般由特殊到一般類比、歸納、猜想類比、歸納、猜想轉化的思想轉化的思想柱體、錐體、臺體的體積柱體、錐體、臺體的體積、長方體的體積、長方體的體積DABCD1A1B1C1abcShSVabcV底長方體或d2222cbad等底等高柱體的體積相等嗎？等底

9、等高柱體的體積相等嗎？2、柱體的體積、柱體的體積定理：等底等高柱體的體積相等定理：等底等高柱體的體積相等hShSShSV底柱祖恒原理祖恒原理 將一個三棱柱按如圖所示分解成三將一個三棱柱按如圖所示分解成三個三棱錐，那么這三個三棱錐的體積有個三棱錐，那么這三個三棱錐的體積有什么關系？它們與三棱柱的體積有什么什么關系？它們與三棱柱的體積有什么關系？關系？ （提示：等底面積等高兩個同類（提示：等底面積等高兩個同類幾何體體積相等）幾何體體積相等）1 12 23 31 12 23 3推廣到一般的棱錐和圓錐，你猜想錐體推廣到一般的棱錐和圓錐，你猜想錐體的體積公式是什么？的體積公式是什么？ 13VSh高高h

10、h底面積底面積S S 3、錐體的體積、錐體的體積定理：等底等高錐體的體積相等定理：等底等高錐體的體積相等hSV底錐31h等底等高的等底等高的棱柱和棱錐棱柱和棱錐體積的關系體積的關系棱臺和圓臺的體積hSSSSV)(31高高h h 例例3 3 有一堆規格相同的鐵制六角螺帽有一堆規格相同的鐵制六角螺帽共重共重5.8kg5.8kg（鐵的密度是（鐵的密度是7.8g/cm7.8g/cm3 3），已），已知螺帽的底面是正六邊形，邊長為知螺帽的底面是正六邊形，邊長為12mm12mm，內孔直徑為內孔直徑為10mm10mm，高為，高為10mm10mm，問這堆，問這堆螺帽大約有多少個？螺帽大約有多少個？ 12101

11、096.210514.3106124322V251)96.28 .7(108 .53求此棱柱挖去圓求此棱柱挖去圓柱后的體積柱后的體積190)40406060(3122h75h190V60a40b?h引申引申2:已知正四棱臺兩底面的邊長已知正四棱臺兩底面的邊長, 和棱臺體積和棱臺體積, 求棱求棱臺的高臺的高.球球球的體積和表面積334RV O B A24 RS 設球的半徑為R，則有體積公式和表面積公式R例例1.1.鋼球直徑是鋼球直徑是5cm,5cm,求它的體積求它的體積. .3336125)25(3434cmRV 思考:用一個平面去截一個球，截面是什么圖形？O思考:設球的半徑為R，截面圓半徑為r

12、，球心與截面圓圓心的距離為d，則R、r、d三者之間的關系如何？POORrd22dRr【例1】已知球的半徑為10cm，一個截面圓的面積是 cm2，則球心到截面圓圓心的距離是 .368cm22dRr222rRd22rRd【例2】湖面上浮著一個球，湖水結冰后將球取出，冰上留下一個面直徑為24 cm，深為8 cm的空穴，則這球的半徑為_.ABh=8AB=24【例1】有三個球，第一個球內切于正方體的六個面，第二個球與這個正方體各條棱相切，第三個球過這個正方體的各個頂點，求這三個球的表面積之比.思路點撥：畫出截面圖，據圖分析比較即可.ooo經過四個切點及球心作截面過球心作正方體的對角面得截面( (變式變式

13、1) 1)把鋼球放入一個正方體的有蓋紙盒中把鋼球放入一個正方體的有蓋紙盒中, ,至少要用多少紙至少要用多少紙? ?用料最省時用料最省時, ,球與正方體有什么位置關系球與正方體有什么位置關系? ?球內切于正方體球內切于正方體2215056cmS 側側側棱長為側棱長為5cm例例2.2.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為a,a,它的各它的各個頂點都在球個頂點都在球O O的球面上，問球的球面上，問球O O的表面積。的表面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內接于球，則由球和

14、正方分析：正方體內接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。合，則正方體對角線與球的直徑相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O4.4.若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積之比是_. .練習一練習一2422:134:11.若球的表面積變為原來的若球的表面積變為原來的2倍倍,則半徑變為原來的則半徑變為原來的_倍倍.2.若球半徑變為原來的若球半徑變為原來的2倍，則表面積變為原來的倍，則表面積變為原來的_倍倍.3.若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是，則其體積之比是_.7.7.將半徑為將半徑為1 1和和2 2的兩個鉛球，熔成一個大鉛球，那么的兩個鉛球，熔成一個大鉛球，那么