1、會計學1計算機控制系統分析可控可觀性計算機控制系統分析可控可觀性如果存在著如果存在著無約束無約束的控制信號的控制信號 ，使得任意一個狀，使得任意一個狀態態 由任意的初始狀態由任意的初始狀態 開始，在開始，在最多最多 n n 個采個采樣周期樣周期內，轉移到任意需要的狀態內，轉移到任意需要的狀態 ，那么由方程，那么由方程式（式（4.604.60）所描述的離散系統是系統狀態完全可控的，）所描述的離散系統是系統狀態完全可控的，或簡單地稱為狀態可控的。或簡單地稱為狀態可控的。 ()u kT()kTx(0)xfx下面推導狀態完全可控性的條件，因為方程式（下面推導狀態完全可控性的條件，因為方程式（4.604

2、.60）的解為的解為11012()(0)() (0)(0)( ) (1) )nnnjjnnnnTjTxTunT GGHuGGHuGHuHxx第1頁/共14頁可得可得(4.61）1(1) )(2) )()(0) (0)nnu nTu nTnTuGH GHGHxx因為因為H H是是 維向量，這樣維向量，這樣 中中每一列都是每一列都是 維向量，如果下述矩陣的秩是維向量，如果下述矩陣的秩是 n n ，即，即 （4.624.62）那么，那么，n n 個向量個向量 能跨越能跨越 n n 維空維空間。方程式間。方程式(4.62(4.62）的矩陣叫做可控性矩陣。假如可控性）的矩陣叫做可控性矩陣。假如可控性矩陣

3、的秩是矩陣的秩是 n n ，那么對任意狀態，那么對任意狀態 ，存在著，存在著一系列無約束控制信號一系列無約束控制信號 ，滿足方程式，滿足方程式 （4.614.61）。因此，可控性矩陣的秩）。因此，可控性矩陣的秩 n n 是給出了狀態完全是給出了狀態完全可控的可控的充分條件充分條件。()fx nTx(0), ( ), (1) )uuTu nT1n1n1,nH GHGH1,n HG HGH1rank nnH GHGH第2頁/共14頁為了證明方程式（為了證明方程式（4.624.62）也是狀態完全可控的）也是狀態完全可控的必要條件，我們假設必要條件，我們假設于是，向量于是，向量 不能跨越不能跨越 n

4、n 維空間維空間。因此，對所有的。因此，對所有的 i i ，某些，某些 不存在不存在 ，所以，所以方程方程 （4.624.62）是狀態完全可控的必要條件。）是狀態完全可控的必要條件。1rank nnHGHGH1,iH GHGHfx( )fxiTx( )xkT如果控制信號如果控制信號 是一個是一個 r r 維維的向量，那么的向量，那么H H是是 維的矩陣。可以證明狀態完全可控的條件是維的矩陣。可以證明狀態完全可控的條件是 矩矩陣的秩為陣的秩為 n n ，即，即還可以證明，當還可以證明，當 為標量時，在為標量時，在 n n 個采樣周期內，個采樣周期內，使得狀態使得狀態 由任意的初始狀態由任意的初始

5、狀態 轉移到任意要求的轉移到任意要求的狀態時，所需要的無約束控制信號序列狀態時，所需要的無約束控制信號序列 能唯一的確定。當能唯一的確定。當 為為 r r 維向量時，控制向量序維向量時，控制向量序列列 不是唯一不是唯一的解，存在著多組的控制序列。的解，存在著多組的控制序列。()kTun rn nr1rank nnH GHGH()u kT(0)x()kTu(0,1 ,2, ,k1)n ()kTu()kTu第3頁/共14頁2、線性定常離散系統的輸出完全可控性 在控制系統的設計中，對系統輸出的控制要比狀態的控在控制系統的設計中，對系統輸出的控制要比狀態的控制更為需要。對輸出可控來講，狀態完全可控的條

6、件，制更為需要。對輸出可控來講，狀態完全可控的條件，既不必要也不充分。為此，需要對輸出可控性另作定義既不必要也不充分。為此，需要對輸出可控性另作定義。考慮下述的系統考慮下述的系統 （4.634.63） （4.644.64）(1) ()()kTx kTu kTxGH()()kTkT Cxy其中其中 為為 n n 維向量；維向量； 為標量；為標量；為為 m m 維向量；維向量；H H 為為 維矩陣；維矩陣；G G為為 維維矩陣；矩陣； C C為為 維矩陣。維矩陣。()kTx( )ukT()kTyn n1nm n第4頁/共14頁如果存在著無約束的控制信號如果存在著無約束的控制信號 ，使得輸出，使得輸

7、出 ，由，由任意初始輸出任意初始輸出 開始，在最多開始，在最多 n n 個采樣周期間隔內個采樣周期間隔內，達到輸出空間的任意需要的點，達到輸出空間的任意需要的點 ，那么由方程（，那么由方程（4.634.63）和（）和（4.644.64）所描述的離散系統是輸出完全可控的）所描述的離散系統是輸出完全可控的。或簡單地稱為輸出可控的。或簡單地稱為輸出可控的。( )ukT()kTy(0)yfy下面按照輸出完全可控制的定義，來推導輸出下面按照輸出完全可控制的定義，來推導輸出完全可控性的條件。因為方程式（完全可控性的條件。因為方程式（4.634.63）的解為）的解為并有并有110()(0)()nnnjjnT

8、xu jT xGGH110()() (0)()nnnjjnTnTjT yxCxCGCGHu第5頁/共14頁或或110121()(0)() (0)( )(1) (1) (2) (0) nnnjjnnnnTjTuTu nTu nTu nTu yCG xCGHuCGHCGHuCHCH CGHCGH輸出完全可控的必要與充分條件是輸出完全可控的必要與充分條件是 向量跨越了向量跨越了 m 維輸出空間，或維輸出空間，或 （4.644.64）1rank nmCHCGHCGH1, , , nCH CGHCGH第6頁/共14頁現在考慮現在考慮 為為 r 維向量和存在著輸入維向量和存在著輸入/輸輸出出D矩陣的系統矩

9、陣的系統 （4.65） （4.66）()u kT(1) ()()kTkTkTxGxHu()()()kTkTkTCxDuy其中其中 維矩陣；維矩陣； 維矩陣；維矩陣； 維矩陣；維矩陣； 維矩陣。維矩陣。G n n H n r C m n D m r 這一系統的輸出完全可控性的必要與充分條這一系統的輸出完全可控性的必要與充分條件是件是 （4.674.67） 比較式（比較式（4.644.64）和式（）和式（4.674.67），不難發現當），不難發現當系統輸出方程中存在著系統輸出方程中存在著 D D 矩陣時，有助于達到輸出完全矩陣時，有助于達到輸出完全可控性。可控性。 rank mn-1DCHCGH第

10、7頁/共14頁4.6 離散控制系統的可觀性離散控制系統的可觀性在這一節中，討論線性定常離散系統的可觀在這一節中，討論線性定常離散系統的可觀測性。設控制作用為零的系統方程為測性。設控制作用為零的系統方程為 （4.684.68） （4.694.69）其中其中 ， ，與的定義與上一，與的定義與上一節同。節同。(1) ()kTkTxGx()()kTkT Cxy()kTx()kTy如果如果每一個每一個初始狀態都可通過在一個初始狀態都可通過在一個有限數有限數的的采樣周期間隔內，由的觀測值來確定，那么這種采樣周期間隔內，由的觀測值來確定，那么這種系統叫做完全可觀測的。或者當一個狀態的轉移時最終系統叫做完全可

11、觀測的。或者當一個狀態的轉移時最終都會影響輸出向量的所有分量，那么系統是完全可觀測都會影響輸出向量的所有分量，那么系統是完全可觀測的。的。 (0)x()kTy控制系統的可觀性概念在狀態觀測、極點配量以及系統控制系統的可觀性概念在狀態觀測、極點配量以及系統辯識中都有十分重要的作用。辯識中都有十分重要的作用。第8頁/共14頁那么那么以及以及110()(0)()kkkjjkTjT xG xGHu110()(0)()()kkk jkkTjTkT yCG xCGHuDu在方程式在方程式(4.68)(4.68)和（和（4.694.69）中，沒有考慮控）中，沒有考慮控制作用的理由是：如果系統由下述方程式描述

12、制作用的理由是：如果系統由下述方程式描述 （4.704.70） （4.714.71） (1) ()()kTkTkTxGxHu()()()kTkTkTCxDyu因為矩陣和是已知的，也是已知的。因為矩陣和是已知的，也是已知的。上式右邊的第上式右邊的第2 2和第和第3 3項是已知的量。因此，它們可以從項是已知的量。因此，它們可以從觀測值中減去。所以，對于研究完全可觀測性的觀測值中減去。所以，對于研究完全可觀測性的充分條件時，只要考慮方程式（充分條件時，只要考慮方程式（4.684.68）和（）和（4.694.69）所描）所描述的系統就足夠了。述的系統就足夠了。 ,G H CD()kTu()kTy第9頁

13、/共14頁下面我們來推導出由方程式（下面我們來推導出由方程式（4.684.68）和（）和（4.694.69）的所描述的離散系統完全可觀測性條件。因為）的所描述的離散系統完全可觀測性條件。因為 的解為的解為 ()(0)kkT xG x()(0)kkT yCG x()x kT()y kT完全可觀測性意味著給定完全可觀測性意味著給定 就能確定就能確定 . .為了確定為了確定 n n個未知數，只需要個未知數，只需要 的的 n n 個值。因此，可利用個值。因此，可利用 的前面的前面 n n 個值，即，個值，即， , , 來 確 定來 確 定 。12(0) (0),(0)nxxx()y kT( ), (1

14、) )yy nTT12(0)(0),(0)nxxx(0), ( ), (2 )yyyTT(0)y對一個完全可觀測系統，給定對一個完全可觀測系統，給定1(0)(0)( )(0)(1) (0)nTy nTxyCxyCGxCG第10頁/共14頁我們就能確定我們就能確定 ，注意到，注意到 是是 m m 維向量，上述的維向量，上述的 n n 個聯立方程式產個聯立方程式產生了生了 個方程，這些方程中包含有個方程，這些方程中包含有 。為了由這。為了由這 個方程中求得唯一的一組解個方程中求得唯一的一組解 ，我們應該從這，我們應該從這 個方程組中寫出個方程組中寫出 n 個線性無關的方個線性無關的方程，這就需要程，這就需要 矩陣矩陣 的秩為的秩為 n n 。12(0)(0),(0)nxxx( )ykTnm12(0)(0),(0)nxxxnm12(0) (0),(0)nxxxnmnm n1n CC GC G這就是由方程式（這就是由方程式（4.684.68）和（）和（4.694.69）所描述的系統完全）所描述的系統完全可觀測性的條件。可觀測性的條件。第11頁/共14頁如果方程式（如果方程式（4.684.68）和（）和（4.694.69）中的矩陣）中的矩陣 和和 是共軛矩陣，并考