1、1揚(yáng)州市 20142015 學(xué)年度第四次調(diào)研測(cè)試試題高高 三三 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 參參 考考 答答 案案第一部分1已知集合，則 2，41,2,4,2,3,4,5ABAB 2設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則_z132i zi z1 3i3命題“2,10 xR x ”的否定是 2,10 xR x 4已知為第三象限角，且，則 tan2sin2455從 3 名男同學(xué)，2 名女同學(xué)中任選 2 人參加體能測(cè)試，則選到的 2 名同學(xué)中至少有一名男同學(xué)的概率是 9106已知向量(1,3)a，( 2,1) b，(3,2)c.若向量c與向量k ab共線，則實(shí)數(shù)k 17銳角中角的對(duì)邊分別是，, 的面積為, 則 ABC, ,A B C, ,

2、a b c4,5abABC5 3c=218用半徑為的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則此圓錐的體積是 69 39已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于 1 nannS2244aSaS12015SS10若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則該函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線傾斜角等( )cosf xkx(,1)3PP于 23析：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，( )cosf xkx(,1)3P()cos1233fkk，xxfcos2)( )2sinfxx ()2sin333kf 11若直線截半圓所得的弦長(zhǎng)為，則 30 xym225yx8m 3 1012平面內(nèi)四點(diǎn)滿足，則面積, , ,O A B C4,2 5,5,0OAOBOCOB OC ABC

3、的最大值為 152MDCBA13已知橢圓 E：的右焦點(diǎn)為 F，離心率為，過(guò)原點(diǎn) O 且傾斜角22221(0)xyabab32為的直線 與橢3l圓 E 相交于 A、B 兩點(diǎn)，若AFB 的周長(zhǎng)為，則橢圓方程為 8 134132214xy析：由已知，橢圓方程可化為：，將代入得，2ab2224xya:3l yx13|13Axa由橢圓對(duì)稱性，AFB 的周長(zhǎng)=，可得2| 24|AaABax2a 14已知函數(shù)， 若|( )()xxf xxRe12( )421()xxg xaaaaR ， |(g( )RAx fxe則的取值范圍是 a 1,0析：當(dāng)時(shí)，得在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，當(dāng)0 x 1( )xxfxe(

4、 )f x0,11,時(shí)有極大值；1x 1e當(dāng)時(shí)，恒成立，是減函數(shù)，且0 x 1( )0 xxfxe( )f x( 1)fe設(shè)，由得，即對(duì)恒成立，( )g xt( )f te1t ( )1g x xR，22( )(2)21xg xaaa 當(dāng)時(shí)，而，不合題意；0a 2( )21g xaa2211aa 當(dāng)時(shí)，得0a 2( )(,1)g xaa 211aa 10a 15如圖，三棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，是的中心ABCDABCMABC 若，求證；DMBCADBC 若上存在點(diǎn)，使平面，求的值A(chǔ)DN/ /MNBCDANND證連并延長(zhǎng)交于，連AMBCEDE 因?yàn)槭堑冗叺闹行模允堑闹悬c(diǎn)， MABCEBCAE

5、BC2 分3 又因?yàn)椋矫妫珼MBCAEDMM,AE DM ADE 所以平面， BC ADE5 分 因?yàn)槠矫妫裕?AD ADEADBC7 分 平面，所以平面，,MAE AEADEM ADE 因?yàn)樯洗嬖邳c(diǎn)，所以平面，ADNN ADE 所以平面， MN ADE9 分 又平面，平面平面，/ /MNBCDADE BCDDE 所以， / /MNDE12 分 在中，因?yàn)椋?ADE12AMME12ANND14 分16的內(nèi)角滿足(單位向量互相垂直)，且ABC,A B2cossin22ABABaij, i j 6|2a 求的值；tantanAB 若，邊長(zhǎng)，求邊長(zhǎng)2sin13A 2a c解因?yàn)椋?223|

6、2cossin222ABABa即， 1 cos()31 cos()22ABAB3 分4所以，coscossinsincoscossinsin02ABABABAB化簡(jiǎn)整理，得，故=. 13tantan022ABtantanAB137 分(2)由(1)可知為銳角因?yàn)椋裕?A B2sin13A 2tan3A 1tan2B ， tantan7tantan()1tantan4ABCABAB 7sin65C 12 分因?yàn)檎叶ɡ恚裕赃呴L(zhǎng) sinsinacAC2271365c7 55c 14 分17一件要在展覽館展出的文物近似于圓柱形，底面直徑為 0.8 米，高 1.2 米，體積約為 0.6立方

7、米為保護(hù)文物需要設(shè)計(jì)各面是玻璃平面的正四棱柱形無(wú)底保護(hù)罩，保護(hù)罩底面邊長(zhǎng)不少于 1.2 米，高是底面邊長(zhǎng)的 2倍保護(hù)罩內(nèi)充滿保護(hù)文物的無(wú)色氣體，氣體每立方米 500 元為防止文物發(fā)生意外，展覽館向保險(xiǎn)公司進(jìn)行了投保，保險(xiǎn)費(fèi)用與保護(hù)罩的占地面積成反比例，當(dāng)占地面積為 1 平方米時(shí)，保險(xiǎn)費(fèi)用為 48000 元 若保護(hù)罩的底面邊長(zhǎng)為米，求氣體費(fèi)用與保險(xiǎn)費(fèi)用的和；2.5 為使氣體費(fèi)用與保險(xiǎn)費(fèi)用的和最低，保護(hù)罩應(yīng)如何設(shè)計(jì)？解； 2248000500(2.550.6)230052.5 4 分 保護(hù)罩的底面邊長(zhǎng)為米，底面積為平方米，體積為立方米，總費(fèi)用為元，則xSVy =， （48000500(0.6)yV

8、S2248000500(20.6)x xx32480001000300 xx）9 分1.2x ，令得，5233960003230003000 xyxxx0y 2x 當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增當(dāng)時(shí)，有極小1.22x0y y2x 0y y2x y值即最小值答：為了使這兩項(xiàng)總費(fèi)用最低，保護(hù)罩的底面邊長(zhǎng)應(yīng)設(shè)計(jì)為 2 米 14 分518已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為 ， 與軸相22221(0)xyababAFllx交于點(diǎn)，T且是的中點(diǎn)FAT求橢圓的離心率；過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，都在T,M N,M N軸上方，并且在之間，且xM,N T2NFMF記的面積分別為，求；,NFMNFA12,S S12S

9、S若原點(diǎn)到直線的距離為，求橢圓方程OTMN20 4141解因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，即，F(xiàn)AT22aacc (2 )()0ac ac又、，所以，所以； a0c 2ac12cea4 分解法一：過(guò)作直線 的垂線，垂足分別為，依題意，,M Nl11,MN11NFMFeNNMM又，故，故是的中點(diǎn)，2NFMF112NNMMMNT12MNFTNFSS 又是中點(diǎn)，； FATANFTNFSS1212SS8 分解法二：，橢圓方程為，2ac3bc2222143xycc( ,0)F c(4 ,0)Tc設(shè)，點(diǎn)在橢圓上，即有11( ,)M x y22(,)N xyM2222143xycc，22211334ycx6222221

10、1113()()34MFxcyxccx22111111124|2 | 2422xcxcxccx同理，2122NFcx又，故得是的中點(diǎn)，2NFMF1224xxcM,N T12MNFTNFSS 又是中點(diǎn)，； FATANFTNFSS1212SS8 分解法一：設(shè)，則橢圓方程為，( ,0)F c2222143xycc 由知是的中點(diǎn)，不妨設(shè)，則，M,N T00(,)M xy00(24 ,2)Nxcy 又都在橢圓上，即有即,M N220022220022143(24 )4143xyccxcycc220022220022143(2 )1434xyccxcycc兩式相減得：，解得， 220022(2 )3444

11、xxccc074xc10 分可得，故直線的斜率為， 03 58ycMN3 5587644ckcc 13 分 直線的方程為，即MN5(4 )6yxc 564 50 xyc7 原點(diǎn)到直線的距離為，OTMN4 54 553641cdc依題意，解得，4 520 414141c 5c 故橢圓方程為 2212015xy16 分解法二：設(shè)，則橢圓方程為，( ,0)F c2222143xycc 由知是的中點(diǎn)，故，M,N T1224xxc直線的斜率顯然存在，不妨設(shè)為，故其方程為，與橢圓聯(lián)立，MNk(4 )yk xc并消去得：，整理得：y22222(4 )143xkxccc， （*）222222(43)32641

12、20kxck xk cc設(shè)，依題意：11( ,)M x y22(,)N xy21222221223243641243ckxxkk ccx xk由解得： 212212324324ckxxkxxc2122221644316443ckcxkckcxk所以，解之得：，即222222221641646412434343ckcckck cckkk2536k 56k 直線的方程為，即MN5(4 )6yxc 564 50 xyc8原點(diǎn)到直線的距離為，OTMN4 54 553641ccd 依題意，解得，4 520 414141c5c 故橢圓方程為 2212015xy16 分19設(shè)個(gè)正數(shù)依次圍成一個(gè)圓圈其中mma

13、aa,.,21*4,mmN1231,.,kka a aaa*(,)km kN 是公差為的等差數(shù)列，而是公比為的等比數(shù)列d111,.,mmkka aaaa2 若，求數(shù)列的所有項(xiàng)的和；12ad8k maaa,.,21mS 若，求的最大值；12ad2015m m 是否存在正整數(shù)，滿足？若存k1211213()kkkkmmaaaaaaaa在，求出值；k若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解依題意，故數(shù)列即為共16ka maaa,.,212，4，6，8，10，12，14，16，8，410 個(gè)數(shù)，此時(shí)， 10m 84mS 4 分由數(shù)列是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列知，1231,.,kka a aaa222kak而是首項(xiàng)為、公

14、比為的等比數(shù)列知，111,.,mmkka aaaa2222mkka 故有，即必是的整數(shù)次冪，222mkk 12mkk k29由知，要使最大，必須最大， 122kmkmk又，故的最大值，從而，的最大值是 2015kmk1021010241222mm10339 分由數(shù)列是公差為的等差數(shù)列知，1231,.,kka a aaad1(1)kaakd而是公比為的等比數(shù)列，111,.,mmkka aaaa2112mkkaa 故，1(1)akd112mka 11(1)(21)mkkda 又，121113()kkkkmmaaaaaaaa12maa則，即，1111 2(1)3 221 2m kkak kda 11

15、111(21)3 2(21)2mkm kkak aa 則，即， 11126(21)22mkm kkk 1126 212mkmkkk 顯然，則6k 112182166mkkkk 所以，將一一代入驗(yàn)證知，6k 12 3 4 5k ，當(dāng)時(shí)，上式右端為，等式成立，此時(shí)，4k 86m 綜上可得：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在滿足等式 6m 4k 16 分20設(shè)函數(shù)，(其中，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） 1( )1f xx ( )1xg xaxaRe若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；( )( )( )F xf xg xa若函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，且在點(diǎn)有相同的切線，求實(shí)數(shù)的值；( ), ( )f x g xPPa若在恒成立，求實(shí)數(shù)的

16、取值范圍()( )xf eg xx0,)a解由得，顯然，都不( )( )( )0F xf xg x2(1)(1)10axax 0 x 1xa 是此方程的根，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有實(shí)根，則，由得：，1a 1a 2(1)4(1)0aa31a 故當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)； ( 3,1a ( )( )( )F xf xg x3 分10，設(shè)它們的公共點(diǎn)為，21( )fxx21( )(1)g xax(,)PPP xy則有即也就是()()()()PPPPPPyf xyg xfxg x()()()()PPPPf xg xfxg x2211111()(1)PPPPPxxaxxax當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，1PPaxx 111Px1PPa

17、xx 111Px 12Px ；8 分3a 由題得在上恒成立，因?yàn)椋剩?11xxeax0,)0 x 10,1)xe所以在上恒成立，故在上恒成立，110 xe0,)01xax0,)所以，. 10 分0a 解法一：不等式恒成立等價(jià)于在上恒成立，11xxeax(1)(1)0 xaxex0,)令，則1( )(1)(1)1xxaxh xaxexaxxe ，1( )1xaxah xae再設(shè)，則，同時(shí)，( )( )m xh x21( )xaxam xe，(0)21ma(0)0h(0)0h當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減， 0a 1( )0,xm xe ( )( )m xh x0,)( )(0)=0h xh，在上單減，

18、即在上恒成立，( )h x0,)( )(0)=0h xh，()( )xf eg x0,)當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕?02a21()( )xaa xam xe210aa( )0m x 則在上單調(diào)遞減， 在上單( )( )m xh x0,)( )(0)=0h xh，( )h x0,)減，即在上恒成立，( )(0)=0h xh，()( )xf eg x0,)11當(dāng)時(shí)，12a 21()( )xaa xam xe210aa若，則，即在上單調(diào)遞增，所以210axa( )0m x ( )( )m xh x21(0,)aa( )(0)0h xh即在上也單調(diào)遞增，即，不滿足( )h x21(0,)aa( )(0)=0h

19、 xh()( )xf eg x條件.綜上，在上恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是. ()( )xf eg x0,)a10,216 分解法二：不等式恒成立等價(jià)于在上恒成立，11xxeax(1)(1)0 xxaxee x0,)設(shè)，則( )(1)(1)=(1)(1)xxxh xaxee x eaxxax，( )()xh xeaxxaa再設(shè)，則( )( )()xm xh xeaxxaa( )(1)(21)xm xeaxa同時(shí)，(0)21ma(0)(0)0mh(0)0h當(dāng)時(shí)，故函數(shù)是上的增函數(shù)所以1a (0)210ma ( )h x(0,)，( )(0)0h xh所以函數(shù)是上的增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，( )h x(0

20、,)(0,)x( )(0)0h xh即，與在上恒成立不符，()( )xf eg x()( )xf eg x0,)當(dāng)時(shí)，故函數(shù)是102a2101aa21( )(1)()01xam xaexa( )h x上的減函數(shù)(0,)所以，函數(shù)是上的減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，( )(0)0h xh( )h x(0,)(0,)x，( )(0)0h xh即在上恒成立，( )( )f xg x0,)12當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，112a2101aa21( )(1)()1xam xaexa21(0,)1axa，( )0m x 故函數(shù)是上的增函數(shù)所以在上，( )h x21(0,)1aa21(0,)1axa，( )(0)0h xh所以函數(shù)是上

21、的增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，( )h x21(0,)1aa21(0,)1axa，( )(0)0h xh即，與在上恒成立不符，()( )xf eg x()( )xf eg x0,)綜上可得，使在上恒成立實(shí)數(shù)的取值范圍是()( )xf eg x0,)a10,2第二部分21B已知矩陣，計(jì)算2 13,1 25M 2M解法一：矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，M221( )4312f ( )0f解得，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量分別為， 1,31211,11 5 分令，得，12mn1,4mn 22221212(4)()4()MMMM 2211351 14 31137 10 分解法二：因?yàn)椋?22 12 11 21 2M5 分所以

22、2335537M 10 分21C已知圓的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸C4sinx13的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線 的參數(shù)方程是是參數(shù)） 若直線 與圓相切，l32(12xttytmlC求正數(shù)的值m解：由，得，所以，4sin24 sin2240 xyy即圓方程為 C22(2)4xy4 分又由，消 得， 3212xtytmt330 xym8 分因?yàn)橹本€ 與圓相切，所以得，lC| 2 33|22m4 323m 又，所以 0m 4 323m 10 分22如圖，平行四邊形所在平面與直角梯形所在平面互相垂直，ABCDABEF且，11,/2ABBEAFBEAF為,2,3ABAFC

23、BABCP中點(diǎn)DF求異面直線與所成的角；DAPE求平面與平面所成的二面角（銳角）的余弦值DEFABCD解：在中，ABC1,23ABCBABC所以2222cos3ACBABCBA BCCBA所以，所以222ACBABCABAC又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫鍭BCD ABEFABCD，ABEFAB14平面，所以平面AC ABCDAC ABEF如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則,AB AF AC 13(0,0,0), (1,0,0),(0,0, 3),( 1,0, 3),(1,1,0),(0,2,0), (,1,)22ABCDEFP33(1,0,3),( ,0,)22DAPE 設(shè)異面直線與所成的角為，則DAPE33cos| |2|23D