1、電子云電子云原子核原子核510-15 m210-10 m第五章第五章 靜電場靜電場靜止（相對）靜止（相對）電荷電荷靜電場靜電場電場電場磁場磁場運動（相對）運動（相對）1 1 電荷量子化電荷量子化 電荷守恒定電荷守恒定律律物理圖像物理圖像原子核線度原子核線度 10-15m原子線度原子線度（電子云）（電子云） 10-10m電子云電子云電子在空間的概率分布電子在空間的概率分布（并無固定軌道）（并無固定軌道）一一. .電荷的量子化電荷的量子化1897年年 湯姆遜發現湯姆遜發現 1913年密立根試驗驗證年密立根試驗驗證, 321nneQ（不連續）（不連續）最小基本電荷最小基本電荷C10602. 119e

2、元電荷元電荷二二. .電荷守恒定律電荷守恒定律 系統系統 電荷的代數和不變電荷的代數和不變如如 電子偶湮沒電子偶湮沒a. 量子化量子化 自然界一個普遍法則自然界一個普遍法則ee注b. 電荷基本性質電荷基本性質正負性、量子性、守恒性、相對論不變性正負性、量子性、守恒性、相對論不變性（Q與運動狀態無關）與運動狀態無關）1q2qrre2 2 庫侖定律庫侖定律212120mNC1085. 8真空電容率真空電容率( Fm-1 )方向（斥力）方向（斥力）021qqrere方向（引力）方向（引力）021qq真空：真空： 兩點電荷（模型）兩點電荷（模型）rerqqF2210412q：( 與與F萬萬類似類似 )

3、a. 也適用均勻分布球形電荷（對稱性）也適用均勻分布球形電荷（對稱性）注b. 對非點電荷對非點電荷FFdc. 對微觀粒子對微觀粒子F萬萬 0rPEreQ 0re方向方向re方向方向Q r0qq+0r-oPr（1）軸線上一點軸線上一點 AEEEirxqirxq200200)2(41)2(41irxxrq220200)4(24x r0 且且iqrp0 xx20r20r E EA.q+q-o30300241241xpixqrE303004141ypiyqrE0ry （2）垂直平分線上一點垂直平分線上一點 Bqx0ryBeer+- E. EEqyro建立圖示坐標系建立圖示坐標系（利用對稱性）（利用對稱

4、性）由對稱性知由對稱性知 Ey= 0則則iryqExcos)2(41(2202021)2(2cos2020ryr式中式中lqdd20d41drqE EdxEdllxxEEEEcosdd;0dlEE例例1 正電荷正電荷q均勻分布在半徑為均勻分布在半徑為R的圓環上的圓環上.計計算通過環心點算通過環心點O并垂直圓環平面的軸線上任一并垂直圓環平面的軸線上任一 點點P 處處的電場強度的電場強度.分析：分析：a. 線分布線分布 ，d q 取線元形式點電荷取線元形式點電荷b. 對稱性分析與利用對稱性分析與利用c. 物理問題常變量識別物理問題常變量識別本題本題：改變改變d q 位置位置，r 均常量均常量、Px

5、xRo23220)(4RxqxE結論結論（記住）（記住）qdEdr0d)(dxxE令令R22R22Eox討論討論: :Rx a.圓環圓環 “點電荷點電荷”0oEb. 環心處環心處（x = 0） （對稱性（對稱性） c. 極值極值Rx22極大值極大值PxxRo23220)(4RxqxE例例2 有一半徑為有一半徑為R，電荷均勻分布的薄圓盤，電荷均勻分布的薄圓盤，其電荷面密度為其電荷面密度為 . 求通過盤心且垂直盤面的求通過盤心且垂直盤面的軸線上任意一點處的電場強度軸線上任意一點處的電場強度. xPxoR2/ 122)(rx rdr分析：分析：sqdd a. 面分布面分布EEdc. d E 方向沿方

6、向沿x 軸軸112220RxxxE結論結論如仍取點電荷如仍取點電荷 二重積分二重積分ds 極坐標形式極坐標形式如取均勻帶電細圓環如取均勻帶電細圓環(上例上例) 單積分單積分 dE 上例結論上例結論b. 對任取細圓環對任取細圓環( r,dr )rrsd2d討論：討論：a. x R “點電荷點電荷”b. x 0 穿出穿出穿進穿進 0 穿出穿出 0 面內正電荷為多面內正電荷為多 0 V 0 , q 0 V 0三三. .電勢的疊加原理電勢的疊加原理點電荷系點電荷系: :1q2q3qA1r1E2r2E3r3EAAAAlElElEVddd2121VVniiiArqV104即即Arqd一般一般VVd或或iV

7、V式中式中dV、Vi ：為點電荷或其它基本電荷的電勢分布式為點電荷或其它基本電荷的電勢分布式b. 一般場一般場電勢和電勢差求解的兩種方法電勢和電勢差求解的兩種方法討論討論: :Ea. 已知已知 的分布函數式或的分布函數式或 很易求出很易求出E(高度對稱性場高度對稱性場)ABAlEVd 的線積分法：的線積分法：E( VB = 0 )ABABlEUd疊加法疊加法VVd或或iVV記住：記住：一些基本電荷場一些基本電荷場（如點電荷、均勻帶電細圓環、均勻帶電球面（如點電荷、均勻帶電細圓環、均勻帶電球面）BAABVVU先求先求VA 和和VB 例例1 正電荷正電荷q均勻分布在半徑為均勻分布在半徑為R的細圓環

8、上的細圓環上. 求環軸線上距環心為求環軸線上距環心為x處的點處的點P的電勢的電勢.rqV04ddPxxRoqdr分析：分析：a. 疊加法疊加法lRqqd2d任取點電荷任取點電荷積分中：積分中：r與與d q 選取無關選取無關 常量常量b. 線積分法線積分法利用利用P.159例例1結論結論 積分路徑積分路徑 P 無窮遠無窮遠x軸軸xoVRq042204Rxq討論討論2204RxqV結論結論（記住）（記住）a. 比較上述兩種方法的區別比較上述兩種方法的區別Rxb. “點電荷點電荷”c. 均勻帶電圓平面（均勻帶電圓平面（, R）軸線上）軸線上V 分布？分布？xPxoR2/ 122)(rx rdr法法

9、疊加法疊加法取均勻帶電細圓環取均勻帶電細圓環( r,d r )利用上例結論積分利用上例結論積分法法 線積分法線積分法利用利用P.160例例2結論結論 ， 選選 x 軸為積分路徑軸為積分路徑例例2 真空中有一電荷為真空中有一電荷為Q，半徑為，半徑為R的均勻帶的均勻帶電球面電球面. 試求試求 (1) 球面外兩點間的電勢差球面外兩點間的電勢差; (2) 球球面內兩點間的電勢差面內兩點間的電勢差; (3) 球面外任意點的電勢球面外任意點的電勢 ; (4) 球面內任意點的電勢球面內任意點的電勢.RABorArBrrerdr分析：分析：a. E 的分布函數已知的分布函數已知, 用線用線積分法較方便積分法較

10、方便b. 選徑向為積分路徑選徑向為積分路徑rldd 則則rrerdd c. 對球面內一點對球面內一點B : 分段積分分段積分RRrBBrErElEVddd21RoArRABorrd結論結論)(4)(400RrrqRrRqV(記住記住)討論：討論：a. 等勢體等勢體 ； “點電荷點電荷”Rr Rr 2R1R1Q2Qb. 如何求兩同心均勻帶電球面如何求兩同心均勻帶電球面( Q1、R1 , Q2、R2 )電勢分布？電勢分布？法法 疊加法疊加法法法 線積分法線積分法需先用高斯定理或疊加法求需先用高斯定理或疊加法求 E 分布分布利用上述結論利用上述結論iVVRQ04 RoVrQ04 r例例3 “無限長無

11、限長”帶電直導線的電勢帶電直導線的電勢.Pror分析：分析：用線積分法用線積分法a.rE02b. 不能選無窮遠為電勢零點不能選無窮遠為電勢零點BBr等等勢勢面面電場線一一. .等勢面等勢面5 58 8 電場強度與電勢梯度電場強度與電勢梯度1. 常見電場的等勢面常見電場的等勢面等等勢勢面面電場線電場線等勢面等勢面電場線+-+-+2. 特點特點(2)(2)沿電場線電勢逐點降低沿電場線電勢逐點降低(1)(1)電場線電場線等勢面等勢面 在等勢面上移動電荷不作功在等勢面上移動電荷不作功相鄰等勢面電勢差均相等相鄰等勢面電勢差均相等(3)(3)規定規定VVV EBIIIAl等勢面等勢面 電場線電場線對應對應

12、疏密疏密疏密疏密lE二二. . 電場強度與電勢梯度電場強度與電勢梯度lEVlElElcos沿沿 從從 A 到到BllVEl則則lVEldd令令,0l物理含義：物理含義：場強在場強在 l 方向分量方向分量 = 勢函數在該方向上勢函數在該方向上空間變化率的負值空間變化率的負值（方向導數）（方向導數）VVV E低電勢低電勢ld高電勢高電勢ndlne0ddlV如如 l 為切向為切向nnlVEEdd如如 l 為法向為法向(“坡度坡度”最大最大)E“” 方向與方向與 (電勢升高方向電勢升高方向) 反反向向ne),(zyxVV 直角坐標系：直角坐標系：VVkzVjyVixVEgrad)()（ 電勢梯度電勢梯

13、度xVExyVEyzVEz梯度梯度梯度算符梯度算符kzjyixa. 式中式中V 為所求點相關區域空間分布函數，為所求點相關區域空間分布函數， 而非所求點而非所求點V 值值E V 的空間變化率（方向導數）的空間變化率（方向導數）b. V 與與E 本質本質 微積分關系微積分關系V E 的空間累積效應（線積分）的空間累積效應（線積分）注空間某一區域：空間某一區域： E處處為零處處為零 V處處相等處處相等（等勢區）（等勢區）空間某點空間某點P ： Ep與與VP 無必然關系無必然關系a. 高度對稱性場高度對稱性場b. 一般場一般場法法 分別用疊加法求分別用疊加法求V 和和E 的線積分法的線積分法 V 分

14、布或分布或UABGauss定理定理 分布分布EE討論：討論：求解場量（求解場量（ 、V ）方便路徑）方便路徑E法法 先用疊加法求出先用疊加法求出V（函數式）（函數式）再求再求 （ ）VEE 例例 用電場強度與電勢的關系，求均勻帶電用電場強度與電勢的關系，求均勻帶電細圓環軸線上一點的電場強度細圓環軸線上一點的電場強度. . 23220)(4RxqxRxoxP解：解：)()(421220 xVRxqV已知已知xVEEx則則0yVEy0zVEz討論：討論：當場分布無明顯對稱性時，當場分布無明顯對稱性時，先求先求V 再求再求 E ,如教材如教材 P.185 例例2比直接求比直接求 E 方便方便！ * * 5 59 9 靜電場中的電偶極子靜電場中的電偶極子一一. .外電場對電偶極子的力矩和取向作用外電場對電偶極子的力矩和取向作用勻強場勻強場合力：合力：0EqEqFFFsinsin0pEqErM力矩大小：力矩大小：qEFFq0rEpM矢量式：矢量式：圖中圖中 垂直屏幕向里垂直屏幕向里, ,轉動方向轉動方向 順時針順時針( (右螺旋右螺旋) )MEp取向取向( ( M0 ) ) 與與 正向平行正向平行( (穩定平衡穩定平衡) )pEEp靜止靜止( ( M = 0 ) ) 其中