1、題目： 山羊吃草問題 【摘 要】山羊吃草問題對于牧區人民放牧時，對放牧羊，牛群的放牧數量和放牧區域的選擇提供了參考，有利于合理利用牧場資源，追求利益最大化。針對本題，以下解決方案：問題一分為兩個子問題，即分析池塘有無圍欄情況下山羊的吃草面積，在無圍欄的情況下，可直接根據已知條件利用定積分的相關知識求得；在有圍欄的情況下，限定繩長，利用微元法對不規則的區域進行分割，近似，求和求得。問題二是對問題一的補充，在第一問的前提下求得所需的繩長。 問題三要求對五只羊可活動的范圍進行比較，通過對繩長和區域半徑的比較，利用圓面積計算公式、旋轉曲面積分計算公式以及環形面積計算公式分別求得五只羊可活動范圍的面積大

2、小，然后分情況逐個比較每只羊可活動范圍面積大小，最后進行排序。問題四，仍設繩長為ka，限定繩長，假設山羊間放牧面積不能重疊，討論繩長與池塘半徑a的大小關系，列舉1-4只羊放牧面積的比較，得出一般性結論，對于繩長ka不同取值，得到可最大放牧羊只數和對應到最大放牧面積。關鍵詞：積分，旋轉曲面積分，微元法目錄一、問題重述3二、問題分析3三、基本假設3四、符號說明4五、模型建立與求解45.1一只羊放牧面積模型45.2兩只山羊放牧面積模型75.3比較不同區域的羊的活動范圍大小85.4放牧規劃問題9六、模型評價106.1模型的優點106.2模型的缺點10七、參考文獻10八、附錄11一、問題重述請根據題意解

3、決下列問題：1、一只老山羊被栓在了一個半徑為的圓形池塘的邊緣上，它的繩長度為。試計算山羊可吃草的范圍（ 例如圖1的陰影部分）。假設池塘周圍有圍欄繞著，繩子不可越過圍欄（見圖2），試計算此時山羊可吃草的范圍。圖1 圖22、如果有一只沒有栓住的、被圍在半徑是的院子里面的老山羊，另一只山羊被栓在周圍有圍欄繞著的，半徑為的圓形池塘的邊緣上，使得兩只山羊的放牧面積是一樣的，試計算該只山羊的繩長。3、假設五只山羊分別得到幾塊區域。前四只山羊分別用長為的繩子栓起來，第一只在一個水平面上，第二只在一個半徑為的圓盤區域的外面，第三只在一個半徑為的圓盤區域里面，第四只栓在半徑為的球外。第五只必須在一個半徑為的環行

4、的內部，這個環行在半徑為的圓盤區域內部。寫出計算區域面積的計算公式，并且按大小排序。4、若山羊栓在扎有圍欄的半徑為的圓形池塘的邊緣上，并且栓山羊的繩長固定，最多能栓幾只山羊？如何栓？并且保證山羊吃草總面積最大。二、問題分析根據題意，把現實中放牧問題，抽象成數學問題既求陰影面積，以拴羊點o為坐標原點，以點o與池塘中心點o連線的延伸線作為x軸，以點o在池塘的切線作為y軸，建立坐標系。對于不同的問題具體分析，選取合適的方法求解之。三、基本假設1， 羊抽象成一個點。2， 繩子光滑無彈性，近似看成一條光滑連續的線段。3， 池塘抽象成一個圓。4， 池塘的籬笆假設建在池塘一周，并忽略因建籬笆增加的半徑長。5

5、， 假設放牧區域平整，無凸凹部分。四、符號說明O放牧區栓山羊點O池塘的圓心a繩子與池塘的交點b從a點向oo連線（或oo延長線）的垂線的交點Si第i只羊的放牧面積S所有羊加起來的放牧面積n放牧的總羊數（n取正整數）五、模型建立與求解5.1一只羊放牧面積模型5.1.1池塘不設圍欄情況下的放牧面積模型由分析知，根據k的取值不同，陰影面積的計算方法不同第一種0k2,如圖1-1所示，記線段ob長為x,應用勾股定理可知ba2+ob2=oa2 ba2+bo2=ao2即（ka）2-x2+a-x2=a2計算的x=ak22s=0ak22(ka2-x2-a2-x-a2)dx所以總的放牧面積第二種2k2,如圖1-3所

6、示。總的放牧面積為 S3=(ka)2-a25.1.2池塘設置圍欄情況下的放牧面積模型如圖所示山羊能夠吃到草的范圍由y軸左邊的半圓(面積為)和y軸右邊的小圓之外，漸近線以內的部分構成。為求山羊能吃草范圍的面積，關鍵是求y軸右邊，小圓之外，漸近線以內部分的面積。記這部分在第一象限的區域為s(也用表示這部分的面積)。為求s，用小圓周的一系列切線分割區域s。設對應圓心角=t的切線為PQ，對應圓心角=t+dt的切線為。易知=ka-at，當圓心角t該變量dt很小時，由圍成的小面積可看作圓扇形，于是面積元ds=從而s=因此，山羊能吃到草的草地面積為=2s +=+5.2兩只山羊放牧面積模型兩只山羊保證吃草面積

7、一樣，第一只羊可活動的范圍是一定的(),所以根據5.1.2所求的結果，令S= 。利用MATLAB求得 syms k; solve(3.1415926*k2/2+k3/3=3.1415926)ans = -4.1705259376688299616643629175798 -1.7984318597419016288923275068658 1.2565688974107315905566904244455k取正值 即k=1.257,繩長即為1.257a。5.3比較不同區域的羊的活動范圍大小在這里假設圓盤區域是不可穿越的，并且根據題中所示：ab。所以可得如下結論：5.3.1水平面上第一只羊的可活

8、動范圍A區域：繩長為b，所以。5.3.2圓盤外第二只羊的可活動范圍B區域：1.假設羊離圓盤區域較遠，則可活動范圍最大為；2.假設羊被拴在緊挨著圓盤區域，這可以引用第一題中的結論，所以羊可活動范圍面積為。綜上所述：5.3.3圓盤內第三只羊的可活動范圍C區域：由題設(ab),所以第三只羊的可活動范圍為：5.3.4球體外側的羊D區域：羊的繩長為b,則可看作第四只羊是在一個半徑為a的球面上活動，此題可看作求旋轉曲面的面積，如圖所示，圓形為該球體的剖面圖圓的方程為，圓心角，解得，。所以，(0.5403cosab1)。5.3.5環形區域羊的活動范圍第五只羊的可活動范圍為。綜上所述： 5.4放牧規劃問題假設山羊間放牧面積不能重疊，繩長為ka，且（），則總共可放牧只羊。則山羊吃草總面積為，（）對總面積求導得，當（）時，恒成立，所以當時，最大面積Max在此列舉四種的取值比較只羊1234K234S由表格數據可知，時（），總共可放牧n只羊，相鄰兩只羊栓點在池塘圓弧長,總放牧面積六、模型評價6.1模型的優點模型建立簡單明了，易于求解。6.2模型的缺點忽略了放牧面積的地形，簡化為平地，不夠貼近實際放牧地區情況。在問題一中對設有圍欄的池塘邊求解放牧面積時，無依據的限定繩長，對于繩長的情況未考慮，并且在后續問題中也是限定繩長的