1、會計學1三重積分的變量代換三重積分的變量代換.),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),(),()1(),(),(),(:),(3dwdudvJwvuzwvuywvuxfdxdydzzyxfTwvuzyxwvuJwvuzwvuywvuxxyzuvwwvuzzwvuyywvuxxTRzyxf 是一對一的，則有是一對一的，則有變換變換上雅可比式上雅可比式在在；上具有一階連續偏導數上具有一階連續偏導數在在，且滿足，且滿足空間中的空間中的變為變為閉區域閉區域空間中的空間中的將將上連續，變換上連續，變換中的有界閉區域中的有界閉區域在在設設定理定理 一、三重積分的換元法第1頁

2、/共33頁例1. 求由下面方程表示的曲面所圍立體的體積:其中,)()()(2233322222111hzcybxazcybxazcybxa . 0:333222111 cbacbacba解: 令,333222111zcybxawzcybxavzcybxau 則 ),(),(wvuzyxJ. 01 2222|1hwvududvdwV.|343h 第2頁/共33頁oxyz,R),(3zyxM設,代代替替用用極極坐坐標標將將 ryx),zr （則則就稱為點M 的柱坐標. zr 200 sinry zz cosrx 直角坐標與柱面坐標的關系:常常數數 r坐標面分別為圓柱面常數半平面常數z平面oz),(

3、zyxMr)0 ,(yx第3頁/共33頁zrrvdddd 因此 zyxzyxfddd),(.ddd),sin,cos( zrrzrrf 適用范圍:1) 積分域是圓柱或它在某坐標面上的投影為圓(或一部分) ;2) 被積函數中含有x2+y2(相應地, y2+z2, x2+z2)形式. ,1000cossin0sincos,rrrzrJ 第4頁/共33頁其中為由zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所圍解: 在柱面坐標系下: cos202drrdcos342032a cos20 r20az 0及平面2axyzozrrvdddd 20d azz0dzrrzddd2 原式原式398

4、a柱面 cos2 r成半圓柱體.第5頁/共33頁o oxyz解: 在柱面坐標系下h: hrz42d hrdrhrr2022)4(12 4)41ln()41(4hhhhz hr20 20 hrrr202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中由拋物面42r原式 =zrrvdddd 第6頁/共33頁,R),(3zyxM設),(z其柱坐標為就稱為點M 的球坐標.直角坐標與球面坐標的關系,ZOMMoxyzzr),(r則0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐標面分別為常數r球面常數半平面常數錐面, rOM 令),(rMsinrcosrz 第7

5、頁/共33頁 dddsind2rrv 因此有 zyxzyxfddd),(.dddsin)cos,sinsin,cossin(2 rrrrrf適用范圍:1) 積分域表面是球面或頂點在原點的圓錐面;2) 被積函數含 x2+y2+z2 一類式子 . . 0sincoscossinsincossinsinsinsinsincoscossin, rrrrrrJ ,sin2 r 第8頁/共33頁,)(222zdydxdzyx22yxz為錐面2222Rzyx解: 在球面坐標系下:zyxzyxddd)(222所圍立體.40Rr 020其中 與球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin

6、20dxyzo4Rr 第9頁/共33頁直角坐標與廣義球坐標的關系0200r cossinrax sinsinrby cosrcz , rJ sin2rabc例13.3.9. 橢球 的體積 .34sin102020abcdrrddabcV 1222222czbyax第10頁/共33頁zyxdddzrrddd dddsin2rr積分區域多由坐標面被積函數形式簡潔, 或坐標系 體積元素 適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐標系* 說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:),(),(wvuzyxJ對應雅可比行列式為*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf變量可分離.圍成 ;第11頁

7、/共33頁二、利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應注意：.積分區域關于坐標面的對稱性；.被積函數在積分區域上的關于三個坐標軸的奇偶性 一般地，當積分區域 關于xoy平面對稱，且被積函數),(zyxf是關于z的奇函數，則三重積分為零，若被積函數),(zyxf是關于z的偶函數，則三重積分為 在xoy平面上方的半個閉區域的三重積分的兩倍. .,0),(相應地）面對稱相應地）面對稱或或（或（或則曲面所圍立體關于則曲面所圍立體關于）以偶次方形式出現，）以偶次方形式出現，或或（或（或中中若曲面若曲面xyxzyzzyxzyxF 第12頁/共33頁例例利用對稱性簡化計算利用對稱性簡化計算 dxdydzzy

8、xzyxz1)1ln(222222其中積分區域其中積分區域1| ),(222 zyxzyx.解積分域關于三個坐標面都對稱，被積函數是 的奇函數,z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz第13頁/共33頁解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 其其中中yzxy 是是關關于于y的的奇奇函函數數, 且且 關關于于zox面面對對稱稱, 0)(dvyzxy,第14頁/共33頁同同理理 zx是是關關于于x的的奇奇函函數數, 且且 關關于于yoz面面對對稱稱, 0 xzdv由由對對稱稱性性知知 dvydvx22,則則 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx第15

9、頁/共33頁在柱面坐標下：在柱面坐標下：,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投影區域投影區域 xyD： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 第16頁/共33頁)0()(32222azazyx所圍立體體積.解: 由曲面方程可知, 立體位于xoy面上部,cos0:3ar 利用對稱性, 所求立體體積為vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yoz面對稱, 并與xoy面相切, 故在球坐標系下所圍立體為且關于 xoz dddsind2rrv yzxar第17頁/共33頁輪換對稱性：若積

10、分區域的表達式中將 x, y, z 依次輪換,表達式不變,則稱關于 x, y, z 輪換對稱. 此時有 dvzyxf),( dvxzyf),(.),( dvyxzf例8. 設是由平面 x+y+z=1和三個坐標面所圍成的 區域, 求.)( dvzyxI解: 由輪換對稱性, xdvI3 yxxdzdyxdx1010103第18頁/共33頁說明：二重積分也有輪換對稱性.若積分區域 D 的表達式中將 x, y 依次輪換,表達式不變,則稱 D 關于 x, y 輪換對稱. 此時有.),(),( DDdxyfdyxf 例9. 設.)()()(, 02abdxdyyfxfbabaDfD 則則連續函數連續函數證

11、: 由輪換對稱性, Ddxdyyfxf)()( Ddxdyxfyfyfxf)()()()(21.)(2abdxdyD 第19頁/共33頁2,zxz1. 將. )(),(Czyxf用三次積分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中由所提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x綜合例子六個平面圍成 ,:第20頁/共33頁zoxy222yxz和球面4222zyx所圍成 , 計算.d)(2vzyxI提示:4利用對稱性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐標 rr d420dsin4020d221564第21頁/共

12、33頁,ddd12zyxxyI所圍成. 其中 由1,1,12222 yzxzxy分析：若用“先二后一”, 則有zxxyyIyDdd1d201zxxyyyDdd1d210計算較繁! 采用“先一后二”較好.1zxy1o1第22頁/共33頁:4528 1122yzx2211xzx11x1zxy1o1xxId1211zxxd2211yyzxd11221, 1,1222yzxzxy由所圍,故可 表為 第23頁/共33頁,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中.4, 1),(2122圍成由zzyxz解:zyxxIddd2利用對稱性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241z

13、rrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin52220第24頁/共33頁思考題則則上的連續函數上的連續函數為為面對稱的有界閉區域，面對稱的有界閉區域，中關于中關于為為若若,),(3 zyxfxyR ; 0),(,_),(dvzyxfzyxf為為奇奇函函數數時時關關于于當當 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf為偶函數時為偶函數時關于關于當當.1面面上上方方的的部部分分在在為為其其中中xy zz2第25頁/共33頁一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若 由曲面由曲面和和)(3222yxz 16222 zyx所所圍圍, ,則三重積分則三重積

14、分 dvzyxf),(表示成直角坐標下表示成直角坐標下的三次積分是的三次積分是_; ;在柱面坐標下在柱面坐標下的三次積分是的三次積分是_; ;在球面坐標下在球面坐標下的三次積分是的三次積分是_. .2 2、 若若 由曲面由曲面及及222yxz 22yxz 所圍所圍, ,將將 zdv表為柱面坐標下的三次積分表為柱面坐標下的三次積分_, ,其值為其值為_. .練 習 題第26頁/共33頁 3 3、若空間區域、若空間區域 為二曲面為二曲面azyx 22及及 222yxaz 所圍所圍, ,則其體積可表為三重積分則其體積可表為三重積分_; ;或二重積分或二重積分_; ;或柱面坐標下的三次積分或柱面坐標下

15、的三次積分_. . 4 4、若由不等式、若由不等式2222)(aazyx , ,222zyx 所確定所確定, ,將將 zdv表為球面坐標下的三次積分為表為球面坐標下的三次積分為_；其值為；其值為_. .二、計算下列三重積分二、計算下列三重積分: : 1 1、 dvyx)(22, ,其中其中 是由曲面是由曲面 24z)(2522yx 及平面及平面5 z所圍成的閉區域所圍成的閉區域. .第27頁/共33頁 2 2、 dvyx)(22, ,其中其中 由不等式由不等式 0,0222 zAzyxa所確定所確定. . 3 3、 dxdydzczbyax)(222222, , 其中其中 1),(222222

16、czbyaxzyx. .三、求曲面三、求曲面225yxz 及及zyx422 所圍成的立所圍成的立體的體積體的體積. .四、曲面四、曲面2224aazyx 將球體將球體azzyx4222 分分成兩部分成兩部分, ,試求兩部分的體積之比試求兩部分的體積之比. .五五、求求由由曲曲面面, 0,22 xayxyxz0, 0 zy 所所圍圍成成立立體體的的重重心心( (設設密密度度1 ) ). .第28頁/共33頁六、求半徑為六、求半徑為a, ,高為高為h的均勻圓柱體對于過中心而垂的均勻圓柱體對于過中心而垂 直于母線的軸的轉動慣量直于母線的軸的轉動慣量 ( (設密度設密度)1 . .第29頁/共33頁一、一、1 1、 22222216)(34422),(yxyxxxdzzyxfdydx )(3164422222222),(yxyxxxdzzyxfdydx, , 21632020),sin,cos(rrdzzrrfrdrd rrdzzrrfrdrd31620202),sin,cos(, , 406020,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2 406520,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2；練習題答案第30頁/共33頁 2 2、 2221020rrzd