1、13.2直接證明與間接證明第十三章推理與證明、算法、復(fù)數(shù)基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.直接證明直接證明(1)綜合法定義：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的 ，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法.框圖表示：(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論).思維過程：由因?qū)Ч?知識梳理推理論證(2)分析法定義：一般地，從 出發(fā)，逐步尋求使它成立的 ，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法.框圖表示：(其中Q表示要證明的結(jié)

2、論).思維過程：執(zhí)果索因.要證明的結(jié)論充分條件2.間接證明間接證明反證法：一般地，假設(shè)原命題 (即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出 ，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明 的證明方法.不成立矛盾原命題成立題組一思考辨析題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明.()(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.()(3)用反證法證明結(jié)論“ab”時，應(yīng)假設(shè)“aQ B.PQC.PQ2，又P0，Q0，PQ.3.P91B組T2設(shè)實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，非零實數(shù)x，y分別為a與b，b與c的等差中項，則 等于

3、A.1 B.2 C.4 D.6答案解析123456123456解析答案題組三易錯自糾題組三易錯自糾4.若a，b，c為實數(shù)，且ab0，則下列命題正確的是 A.ac2abb2123456解析解析a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.5.用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x3axb0至少有一個實根”時，要作的假設(shè)是 A.方程x3axb0沒有實根B.方程x3axb0至多有一個實根C.方程x3axb0至多有兩個實根D.方程x3axb0恰好有兩個實根解析答案123456解析解析方程x3axb0至少有一個實根的反面是方程x3axb0沒有實根

4、，故選A.解析答案1234566.(2017德州一模)如果A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則A2B2C2是_三角形.鈍角123456解析解析由條件知，A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，則A1B1C1是銳角三角形，假設(shè)A2B2C2是銳角三角形.123456所以A2B2C2是鈍角三角形.題型分類深度剖析1.(2018綏化模擬)設(shè)a，b，c均為正實數(shù)，則三個數(shù)A.都大于2 B.都小于2C.至少有一個不大于2 D.至少有一個不小于2題型一綜合法的應(yīng)用自主演練自主演練解析解析a0，b0，c0，當(dāng)且僅當(dāng)abc1時，“”成立，故三者不能都小于2，即至少有一個不小于

5、2.解析答案解析答案a0，b0且ab3.(2018武漢月考)若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：證明證明證明a，b，c(0，)，由于a，b，c是不全相等的正數(shù)，上述三個不等式中等號不能同時成立，上式兩邊同時取常用對數(shù)，得(1)綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過一系列中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實性.(2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理.思維升華思維升華題型二分析法的應(yīng)用師生共研師生共研證明所以cos x1cos x20，sin(x1x2)0,1cos(x1x2)0，故只需證明1c

6、os(x1x2)2cos x1cos x2，即證1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2，即證cos(x1x2)0, 0，1223xx1223xx12332xx1233xx13x23x12332xx1233xx(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利解決的關(guān)鍵.(2)證明較復(fù)雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個中間結(jié)論，從而使原命題得證.思維升華思維升華證明題型三反證法的應(yīng)用多維探究多維探究解答命題點命題點1證明否定性命

7、題證明否定性命題典例典例 (2018株州月考)設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列.(1)推導(dǎo)an的前n項和公式；解解設(shè)an的前n項和為Sn，則當(dāng)q1時，Sna1a1a1na1；當(dāng)q1時，Sna1a1qa1q2a1qn1， qSna1qa1q2a1qn， 得，(1q)Sna1a1qn，(2)設(shè)q1，證明：數(shù)列an1不是等比數(shù)列.證明證明假設(shè)an1是等比數(shù)列，則對任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，證明a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，這與已知矛盾.假設(shè)不成立，故an1不是等比數(shù)列.命題點命題點2證明存在性命題證明存在性命題典例典例 已知四棱錐SABCD中，底面是邊長為

8、1的正方形，又SBSD ，SA1.(1)求證：SA平面ABCD；證明證明由已知得SA2AD2SD2，SAAD.同理SAAB.又ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD，SA平面ABCD.證明(2)在棱SC上是否存在異于S，C的點F，使得BF平面SAD？若存在，確定F點的位置；若不存在，請說明理由.解解假設(shè)在棱SC上存在異于S，C的點F，使得BF平面SAD.BCAD，BC 平面SAD.BC平面SAD.而BCBFB，平面FBC平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點S矛盾，假設(shè)不成立.不存在這樣的點F，使得BF平面SAD.解答命題點命題點3證明唯一性命題證明唯一性命題典例典例 (201

9、8宜昌模擬)已知M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：對任意f(x)M，方程f(x)x0有實數(shù)根；函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)滿足0f(x)1.解答解解當(dāng)x0時，f(0)0，所以方程f(x)x0有實數(shù)根0；證明證明假設(shè)方程f(x)x0存在兩個實數(shù)根， ()，則f()0，f()0.不妨設(shè)，根據(jù)題意存在c(，)，滿足f()f()()f(c).因為f()，f()，且，所以f(c)1.與已知0f(x)1矛盾.又f(x)x0有實數(shù)根，所以方程f(x)x0有且只有一個實數(shù)根.(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性質(zhì)：若f(x)的定義域為D，則對于任意m，nD，都存在x0(m，n)，使得等式f(n)f(m)(

10、nm)f(x0)成立.試用這一性質(zhì)證明：方程f(x)x0有且只有一個實數(shù)根.證明應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有以下幾個步驟：第一步：分清命題“pq”的條件和結(jié)論；第二步：作出與命題結(jié)論q相反的假設(shè) q；第三步：由p和 q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假設(shè) q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題pq為真.所說的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理、已知定義、已知定理或已知事實矛盾，與臨時假設(shè)矛盾以及自相矛盾等都是矛盾結(jié)果.思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 若f(x)的定義域為a，b，值域為a，b(a1，所以b3.解答解得ab，這與已

11、知矛盾.故不存在.典例典例 (12分)(2018衡陽調(diào)研)直線ykxm(m0)與橢圓W： y21相交于A，C兩點，O是坐標(biāo)原點.(1)當(dāng)點B的坐標(biāo)為(0,1)，且四邊形OABC為菱形時，求AC的長；(2)當(dāng)點B在W上且不是W的頂點時，證明：四邊形OABC不可能為菱形.反證法在證明題中的應(yīng)用思想方法思想方法思想方法指導(dǎo)規(guī)范解答思想方法指導(dǎo)思想方法指導(dǎo) 在證明否定性命題，存在性命題，唯一性命題時常考慮用反證法證明，應(yīng)用反證法需注意：(1)掌握反證法的證明思路及證題步驟，正確作出假設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，應(yīng)用假設(shè)是反證法的基本手段，得到矛盾是反證法的目的.(2)當(dāng)證明的結(jié)論和條件聯(lián)系不明顯、直接證明不清晰

12、或正面證明分類較多、而反面情況只有一種或較少時，常采用反證法.(3)利用反證法證明時，一定要回到結(jié)論上去.規(guī)范解答規(guī)范解答(1)解解因為四邊形OABC為菱形，則AC與OB相互垂直平分.由于O(0,0)，B(0,1)，(2)證明證明假設(shè)四邊形OABC為菱形，因為點B不是W的頂點，且ACOB，所以k0.消y并整理得(14k2)x28kmx4m240. 6分設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則因為M為AC和OB的交點，且m0，k0，所以AC與OB不垂直. 10分所以四邊形OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾.所以當(dāng)點B在W上且不是W的頂點時，四邊形OABC不可能是菱形.12分課時作業(yè)A.ABC B.AC

13、BC.BCA D.CBA基礎(chǔ)保分練解析答案12345678910111213141516123456789101112131415162.分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)abc，且abc0，求證 ”索的因應(yīng)是 A.ab0 B.ac0C.(ab)(ac)0 D.(ab)(ac)0解析答案12345678910111213141516 (ac)2ac3a2 a22acc2ac3a20 2a2acc20 (ac)(2ac)0 (ac)(ab)0.3.(2017鄭州模擬)設(shè)x0，P2x2x，Q(sin xcos x)2，則 A.PQ B.P0，所以P2；又(sin xcos x)21sin

14、2x，而sin 2x1，所以Q2.于是PQ.故選A.解析答案123456789101112131415164.已知p3q32，證明：pq2.用反證法證明時，可假設(shè)pq2；若a，bR，|a|b|2，故中的假設(shè)錯誤；對于，其假設(shè)正確，故選D.5.若 ，則下列結(jié)論不正確的是 A.a2b2 B.abb2C.ab|ab|解析答案12345678910111213141516a2b2，abb2，ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一個大于1”的條件是 A. B.C. D.解析答案12345678910111213141516但a1，b2，故推不出；若a2，b3，則ab1

15、，故推不出；對于，即ab2，則a，b中至少有一個大于1，下面用反證法證明：假設(shè)a1且b1，則ab2與ab2矛盾，因此假設(shè)不成立，a，b中至少有一個大于1.12345678910111213141516答案123456789101112131415167.用反證法證明命題“a，bR，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”，那么假設(shè)的內(nèi)容是_.a，b都不能被5整除解析答案12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516cn1cn解析解析由條件得則cn隨n的增大而減小，cn10，則實數(shù)p的取值范圍是_.技能提升練解析答案1234567

16、8910111213141516解析解析若二次函數(shù)f(x)0在區(qū)間1,1內(nèi)恒成立，12345678910111213141516證明12345678910111213141516證明證明由于x1，y1，只需證xy(xy)1yx(xy)2.將上式中的右式減左式，得yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1).12345678910111213141516因為x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，從而所要證明的不等式成立.解解當(dāng)n1時，a1S12a12，則a11.又anSn2，所以an1

17、Sn12，拓展沖刺練1234567891011121314151615.(2018中山模擬)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足anSn2.(1)求數(shù)列an的通項公式；解答證明證明假設(shè)存在三項按原來順序成等差數(shù)列，記為ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN*)，12345678910111213141516(2)求證：數(shù)列an中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列.證明所以22rq2rp1. (*)又因為pqk)總成立，則稱數(shù)列an是“P(k)數(shù)列”.(1)證明：等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”；證明12345678910111213141516證明證明因為an是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則ana1(n1)d，從而，當(dāng)n4時，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1,2,3，所以an3an2an1an1an2an36an，因此等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”.證明12345678910111213141516(2)若數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3