1、二、方向導數的定義二、方向導數的定義一、問題的提出一、問題的提出四、小結、思考題四、小結、思考題五、作業五、作業第六節、方向導數與梯度第六節、方向導數與梯度三、梯度的概念三、梯度的概念1513xy32 2實例：實例：一、問題的提出一、問題的提出應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？原點的距離成反比原點的距離成反比金屬板受熱金屬板受熱(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標原點處有一個火焰，在坐標原點處有一個火焰，它使它使假定板上任意一點處的溫度與該點到假定板上任意一點處的溫度與該點到在在(3,2)處有一個螞蟻，處有一個螞蟻， 問這只螞蟻問這只螞蟻問

2、題的實質：問題的實質： 應沿由熱變應沿由熱變冷變化最驟烈的方向即冷變化最驟烈的方向即梯度方向爬行梯度方向爬行一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，二、方向導數的定義二、方向導數的定義（如圖）（如圖）的變化率問題的變化率問題討論函數討論函數),(yxfz 在一點在一點沿某一方向沿某一方向0P設設l是是xoy平面上以平面上以000(,)P xy為始點的一條射為始點的一條射線，線，(cos ,cos)le 是是與與l同方向的單位向量。同方向的單位向量。oyxl( , )P x y000(,)P xyle射線射線l的參數方程為的參數方程為00cos , (

3、0)cos.xxttyyt 方向導數方向導數,內有定義，內有定義，0()U P的某一鄰域的某一鄰域在點在點設函數設函數000(,)P xy( , )zf x y00(cos ,cos)P xtyt 為為l上的另一點，上的另一點，且且0().PU P若函數增量若函數增量0000(cos,cos)(,)f xtytf xy 與與P到到0P的距離的距離0PPt的比值的比值0000(cos ,cos)(,),f xtytf xyt 當當P沿著沿著l趨于趨于0P時的極限存在，時的極限存在，則稱此極限為則稱此極限為函數函數( , )f x y在點在點0P沿著方向沿著方向l的的記為記為00(,)xyfl即即

4、定義定義或或00(,),xyzl0000000(,)(cos ,cos)(,)lim.txyff xtytf xylt 方向導數的幾何意義：方向導數的幾何意義： 方向導數方向導數00(,)xyfl就是就是函數函數( , )f x y在點在點沿方向沿方向000(,)P xyl的變化率。的變化率。若函數若函數( , )f x y在點在點000(,)P xy的偏導數存在，的偏導數存在，(1,0),lei那么那么00(,)xyfl00,;xfxy又若又若(0,1),lej那么那么00000(,)(,)limtf xt yf xyt00(,)xyfl00,;yfxy00000(,)(,)limtf xy

5、tf xyt同理：同理：函數函數( , )f x y在點在點000(,)P xy沿著沿著x軸負向和軸負向和y 軸負向的方向導數分別為軸負向的方向導數分別為00,xfxy00,.yfxy和和反之，反之，00(,)xyzl假設假設,lei存在，存在，那那么么00,xzxy未未必存在。必存在。如如22zxy在原點在原點(0,0)O處沿處沿li方向的方向導數方向的方向導數(0,0)zl0( ,0)(0,0)limtz tzt0limttt1,而偏導數而偏導數0,0 xz不存在。不存在。證明證明由于函數可微，則增量可表示為由于函數可微，則增量可表示為(,)( ,)0000f xx yyf x y 關于方

6、向導數的存在及計算，有關于方向導數的存在及計算，有定理定理 且有且有 如果函數如果函數在點在點是可微是可微( , )zf x y000(,)P xy分的，分的， 則函數在該點沿任意方向則函數在該點沿任意方向l的方向導數都的方向導數都存在，存在，(,)(,)cos(,)cos.000000 xyxyffxyfxyl 其中其中cos,cos 為方向為方向l的方向余弦。的方向余弦。但點但點00(,)xx yy在以在以000(,)P xy為始點的射線為始點的射線l上時，上時， 應有應有( ,)( ,)( ),0000 xyf x yxf x yy o cos ,xt所以所以(cos,cos)(,)li

7、m00000tf xtytf xyt 00000( )lim(,)cos(,)cosxyto tfxyfxyt 00(,)xyfl故方向導數存在，故方向導數存在，0000(,)cos(,)cos .xyfxyfxy 且且0000(,)cos(,)cos,xyfxyfxy cos,yt, t (,)( ,)0000f xx yyf x y ( ,)( ,)( ),0000 xyf x yxf x yy o 13,22le解解(1,2)(1,2)22,xfx(1,2)(1,2)24;yfy(1,2)fl12 3. 例例1 1 求函數求函數在點在點處沿從點處沿從點到點到點的方向的方向導數。的方向的方

8、向導數。22( , )f x yxy(1,2)(1,2)P(2,23)Q方向方向l (2 1,232)PQ (1, 3),與與l同方向的單位向量為同方向的單位向量為所求方向導數所求方向導數122342解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向導數的計算公式知由方向導數的計算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx cossin sin(),24 故故(1 ）當）當時，時， /4 方向導數達到最大值方向導數達到最大值2;（2) 當當時，時， 5 /4 方向導數達到最小值方向導數達到最小值2;（3）當）當和和時，時，3 /4 7/

9、4 方向導數等于方向導數等于0.例例2 求函數求函數22),(yxyxyxf 在點在點(1,1)沿與沿與x軸方向夾角為軸方向夾角為 的方向射線的方向射線l（1最大值；最大值； （2最小值；最小值； （3等于零？等于零？的方向導數的方向導數.并問并問在怎樣的方向上此方向導在怎樣的方向上此方向導 數有數有該函數在原點不連續當該函數在原點不連續當但在始于原但在始于原點的任何射線上，點的任何射線上，然也不可微），然也不可微），含原點的充分小的一段，含原點的充分小的一段， 在在這段上這段上f的函數值恒為零，的函數值恒為零， 于是由方向導數的定義，于是由方向導數的定義，1f1f0f0f在原點處沿任何方向在

10、原點處沿任何方向l都有都有(0,0)0.fl都存在包都存在包時，時，例例3 設設 1,( , ) 0,f x y 當當20,yxx 其余部分，其余部分，研究研究f在原點的方向導數。在原點的方向導數。解解,(,)(cos ,cos ,cos )(, )lim,00 00000000tx y zff xtytztf x y zlt 推廣可得三元函數方向導數的定義推廣可得三元函數方向導數的定義它在空間一點它在空間一點 導數為導數為對于三元函數對于三元函數( , , ),uf x y z沿著方向沿著方向的方向的方向0000(,)P xy z(cos ,cos,cos )le 同理可以證明：同理可以證明

11、： 若函數若函數( , , )uf x y z在點在點000(,P xy0,)z可微，可微， 則函數在該點沿著方向則函數在該點沿著方向(cos ,cos,le cos ) 的方向導數為的方向導數為,(,)(,)cos(,)cos000000000 xyxy zffxy zfxy zl ,(,)cos .000zfxy z 例例4 求函數求函數222ux yy zz x在點在點(1,1,1)M沿向量沿向量(1, 2,1)l 方向的方向導數。方向的方向導數。解解 ,121666le(1,1,1)xu( , , )21 1 12xyz, 3(1,1,1)yu( , , )21 1 12xyz, 3(

12、 , , );1 1 13zu(1,1,1)ul136. 0236136解解令令, 632),(222 zyxzyxF44,xPPFx66,yPPFy22,zPPFz故故,xyxPPPnFFF4, 6, 2 ,2224622 14,n 方向余弦為方向余弦為例例5 設設n是曲面是曲面632222 zyx 在點在點)1 , 1 , 1(P處的指向外側的法向量，求函數處的指向外側的法向量，求函數2122)86(1yxzu 在此處沿方向在此處沿方向n的方向導數的方向導數.,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzy

13、xzu22286 .14 coscoscosPPuuuunxyz .711 故故12221(68) ,(1,1,1)uxyPz4, 6, 2 , 2 14nn三、梯度的概念三、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數在點函數在點問題問題P定義定義一階連續偏導數，一階連續偏導數，都可定出一個向量都可定出一個向量設函數設函數),(yxfz 在平面區域在平面區域內具有內具有D則對于每一點則對于每一點000(,),P xyD0000(,)(,) ,xyfxy ifxyj記為記為00 (,),f xygrad即即00 (,)f xygrad0000(,)(,) .xyfxy i

14、fxyj這向量稱為函數這向量稱為函數),(yxfz 在點在點000(,)P xy梯度，梯度，的的000000(,)(,)cos(,) cosxyxyffxyfxyl 00|grad(,)|cos ,f xy 由方向導數公式知由方向導數公式知00 (,)f xygradle當當0 時，時，即沿梯度方向時，即沿梯度方向時，00(,)xyfl方向導數方向導數取得最大值，取得最大值，這個最大值就是梯度的模這個最大值就是梯度的模00 |grad(,)|.f xy結論結論它的模它的模它的方向是函數在該它的方向是函數在該(2) 與函數在該點的梯度相反的方向是函數在該點與函數在該點的梯度相反的方向是函數在該點

15、的方向導數取得最小值的方向，的方向導數取得最小值的方向， 其最小方向導數為其最小方向導數為是一個向量，是一個向量，00() ,f xygrad就是方向導數的最大值就是方向導數的最大值00 |grad(,)|f xy 00|grad(,)|.f xy點的方向導數取得最大值的方向，點的方向導數取得最大值的方向，垂直的方向的方向導數等于零。垂直的方向的方向導數等于零。函數函數的梯度的梯度000(,)P xy在點在點( , )f x y(1)( , )f x y在點在點000(,)P xy處沿與梯度處沿與梯度00 (,)f xygrad(3)當當xf 不為零時，不為零時，x軸到梯度的軸到梯度的轉角轉角

16、 的正切為的正切為tan.ffyx 例例6設設2( , )ln(),zf x yxy(1) 求求f在點在點(0,1)P處沿從處沿從P到到(2,0)Q方向的變化率方向的變化率.(2) f在點在點(0,1)P處沿什么方向具有最大增長率，其處沿什么方向具有最大增長率，其最大增長率為多少？最大增長率為多少？解解(1)(2, 1),PQ 21 ,.55le又又22(0,1)12(0,1),yfxyxygrad(1,2),(0.1) fl(1,2)21,550.211255 在幾何上在幾何上 表示一個曲面。表示一個曲面。),(yxfz 所截得所截得cz ,),( czyxfz投影如圖投影如圖.oyx2),

17、(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高線等高線( , )f x ygrad梯度為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量P(2)f在點在點(0,1)P處沿梯度處沿梯度(0,1)(1,2)fgrad方向方向具有最大的增長率，具有最大的增長率， 其最大增長率為其最大增長率為(0,1)fgrad5.曲面被平面曲面被平面所得曲線在所得曲線在xOy面上面上等高線的畫法等高線的畫法播放播放圖形及其等高線圖形圖形及其等高線圖形函數函數xyzsin 例如例如,梯度與等高線的關系：梯度與等高線的關系：函數函數( , )zf x y 在點在點( , )P x y的梯度的方向的梯度的方向( , )f x yc

18、在這點的法線的一在這點的法線的一個方向相同，個方向相同， 且從數值較低的且從數值較低的等高線指向數值較高的等高線，等高線指向數值較高的等高線，而梯度的模等于函數在這個法而梯度的模等于函數在這個法線方向的方向導數。線方向的方向導數。與點與點P的等高線的等高線( , , ).gradffff x y zijkxyz 類似于二元函數，此梯度也是一個向量，其類似于二元函數，此梯度也是一個向量，其梯度的概念可以推廣到三元函數梯度的概念可以推廣到三元函數三元函數三元函數),(zyxfu 在空間區域在空間區域G內具有一階內具有一階義一個向量義一個向量(梯度梯度)連續偏導數，連續偏導數，( , , ),P x

19、 y zG 則對于每一點則對于每一點都可定都可定方向與取得最大方向導數的方向一致，其模為方向方向與取得最大方向導數的方向一致，其模為方向導數的最大值導數的最大值.類似地類似地,設曲面設曲面czyxf ),(為函數為函數),(zyxfu 的等量面，的等量面，),(zyxP的梯度的方向與的梯度的方向與此函數在點此函數在點czyxf ),(過點過點P的等量面的等量面在這點的法線的一個方在這點的法線的一個方向相同，向相同，面，面，且從數值較低的等量面指向數值較高的等量且從數值較低的等量面指向數值較高的等量而梯度的模等于函數在這個法線方向的方向導數而梯度的模等于函數在這個法線方向的方向導數.解解 由梯度

20、計算公式得由梯度計算公式得( , , )uuuu x y zijkxyzgrad(23)xi故故(1,1,2)5212 .uijkgrad例例7 求函數求函數 yxzyxu2332222 在點在點 )2 , 1 , 1 (處的梯度，并問在處的梯度，并問在 哪些點處梯度為零？哪些點處梯度為零？(42)yj6,zk在在)0 ,21,23(0 P處梯度為處梯度為0.下面簡單介紹數量場與向量場概念：下面簡單介紹數量場與向量場概念：若對于空間區域若對于空間區域G內的任一點內的任一點,M都有都有一個確定的數量一個確定的數量(),f M則稱則稱()f M在在G上確定了一個上確定了一個數量場數量場一個數量場可

21、用一個一個數量場可用一個數量函數數量函數()f M來確定。來確定。數量場數量場（1）向量場向量場（2）若與點若與點M相對應的是一個向量相對應的是一個向量(),F M則稱在則稱在G上確定了一個向量場上確定了一個向量場一個向量場可以用一個向量值函數一個向量場可以用一個向量值函數()F M來確定，來確定，從而從而()()()() ,F MP M iQ M jR M k其中其中(),(),()P M Q MR M都是點都是點M的數量函數。的數量函數。（如溫度場、密度場等）。（如溫度場、密度場等）。(如力場、速度場等如力場、速度場等)。于是向量函數于是向量函數 ()f Mgrad確定一個向量場，確定一個

22、向量場，稱為稱為梯度場，梯度場，它是由數量函數它是由數量函數()f M產生的，產生的， 通常稱通常稱函數函數()f M為這個向量場的勢，為這個向量場的勢，而這個向量場又稱而這個向量場又稱為勢場。為勢場。注：注：任何一個向量場不一定是勢場，任何一個向量場不一定是勢場，因為它不一因為它不一定是某個數量函數的梯度。定是某個數量函數的梯度。mr解解 mxr 2mrrx3,mxr同理同理 myr 3,myr mzr 3,mzr從而從而mrgrad2.mxyzijkrrrr若用若用re表示與表示與OM 同方向的單位向量，同方向的單位向量， 那么那么mrgrad2.rmer因此數量場因此數量場mr的勢場即梯度的勢場即梯度222rxyz為原點為原點O與點與點( , , )M x y z的距離。的距離。例例8求數量場求數量場所產生的梯度場，其中常數所產生的梯度場，其中常數 0,m 場場mrgrad稱為引力場，稱為引力場，而函數而函數mr稱為引力勢。稱為引力勢。1、方向導數的概念、方向導數的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向導數與梯度的關系、方向導數與梯