1、抽屜原理例題解析抽屜原理1：把多于n個的蘋果放進n個抽屜里，那么至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果概念解析 1、把3個蘋果任意放到兩個抽屜里，可以有哪些放置的方法呢？一個抽屜放一個，另一個抽屜放兩個；或3個蘋果放在某一個抽屜里.盡管放蘋果的方式有所不同，但是總有一個共同的規律：至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果.2、如果把5個蘋果任意放到4個抽屜里，放置的方法更多了，但仍有這樣的結果.由此我們可以想到，只要蘋果的個數多于抽屜的個數，就一定能保證至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果.道理很簡單：如果每個抽屜里的蘋果都不到兩個（也就是至多有1個），那么所有抽屜里的蘋果數的和就比總數少了.

2、3、我們從街上隨便找來13人，就可以斷定他們中至少有兩個人屬相（指鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬。等十二種生肖）相同.怎樣證明這個結論是正確的呢？只要利用抽屜原理就很容易把道理講清楚.事實上，由于人數（13）比屬相數（12）多，因此至少有兩個人屬相相同（在這里，把13人看成13個“蘋果”，把12種屬相看成12個“抽屜”）。 應用抽屜原理要注意識別“抽屜”和“蘋果”，蘋果的數目一定要大于抽屜的個數。 例題講解 例1 有5個小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請你證明，這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。 解析（首先要確定3枚棋子的顏色

3、可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種配組情況，看作4個抽屜.把每人的3枚棋作為一組當作一個蘋果，因此共有5個蘋果.把每人所拿3枚棋子按其顏色配組情況放入相應的抽屜.由于有5個蘋果，比抽屜個數多，所以根據抽屜原理，至少有兩個蘋果在同一個抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。）例2 一副撲克牌（去掉兩張王牌），每人隨意摸兩張牌，至少有多少人才能保證他們當中一定有兩人所摸兩張牌的花色情況是相同的？ 解析（撲克牌中有方塊、梅花、黑桃、紅桃4種花色，2張牌的花色可以有：2張方塊，2張梅花，2張紅桃，2張黑桃，1張方塊1張梅花，1張方塊1張黑桃，1張方塊1張紅桃，1

4、張梅花1張黑桃，1張梅花1張紅桃，1張黑桃1張紅桃共計10種情況.把這10種花色配組看作10個抽屜，只要蘋果的個數比抽屜的個數多1個就可以有題目所要的結果.所以至少有11個人。）例3 從2、4、6、30這15個偶數中，任取9個數，證明其中一定有兩個數之和是34。 解析（用題目中的15個偶數制造8個抽屜： 凡是抽屜中有兩個數的，都具有一個共同的特點：這兩個數的和是34。 現從題目中的15個偶數中任取9個數，由抽屜原理（因為抽屜只有8個），必有兩個數在同一個抽屜中.由制造的抽屜的特點，這兩個數的和是34。 ）例4 從1、2、3、4、19、20這20個自然數中，至少任選幾個數，就可以保證其中一定包括

5、兩個數，它們的差是12。解析（在這20個自然數中，差是12的有以下8對： 20，8，19，7，18，6，17，5，16，4，15，3，14，2，13，1。 另外還有4個不能配對的數9，10，11，12，共制成12個抽屜（每個括號看成一個抽屜）.只要有兩個數取自同一個抽屜，那么它們的差就等于12，根據抽屜原理至少任選13個數，即可辦到（取12個數：從12個抽屜中各取一個數（例如取1，2，3，12），那么這12個數中任意兩個數的差必不等于12）。 ) 例5 從1到20這20個數中，任取11個數，必有兩個數，其中一個數是另一個數的倍數。 解析（分析與解答 根據題目所要求證的問題，應考慮按照同一抽屜中

6、，任意兩數都具有倍數關系的原則制造抽屜.把這20個數按奇數及其倍數分成以下十組，看成10個抽屜（顯然，它們具有上述性質）： 1，2，4，8，16，3，6，12，5，10，20，7，14，9，18，11，13，15，17，19。 從這10個數組的20個數中任取11個數，根據抽屜原理，至少有兩個數取自同一個抽屜.由于凡在同一抽屜中的兩個數都具有倍數關系，所以這兩個數中，其中一個數一定是另一個數的倍數。 ） 例6 證明：在任取的5個自然數中，必有3個數，它們的和是3的倍數。 分析與解答 按照被3除所得的余數，把全體自然數分成3個剩余類，即構成3個抽屜.如果任選的5個自然數中，至少有3個數在同一個抽屜

7、，那么這3個數除以3得到相同的余數r，所以它們的和一定是3的倍數（3r被3整除）。 如果每個抽屜至多有2個選定的數，那么5個數在3個抽屜中的分配必為1個，2個，2個，即3個抽屜中都有選定的數.在每個抽屜中各取1個數，那么這3個數除以3得到的余數分別為0、1、2.因此，它們的和也一定能被3整除（0+1+2被3整除）。 例7 某校校慶，來了n位校友，彼此認識的握手問候.請你證明無論什么情況，在這n個校友中至少有兩人握手的次數一樣多。 分析與解答 共有n位校友，每個人握手的次數最少是0次，即這個人與其他校友都沒有握過手；最多有n-1次，即這個人與每位到會校友都握了手.校友人數與握手次數的不同情況（0

8、，1，2，n-1）數都是n，還無法用抽屜原理。 然而，如果有一個校友握手的次數是0次，那么握手次數最多的不能多于n-2次；如果有一個校友握手的次數是n-1次，那么握手次數最少的不能少于1次.不管是前一種狀態0、1、2、n-2，還是后一種狀態1、2、3、n-1，握手次數都只有n-1種情況.把這n-1種情況看成n-1個抽屜，到會的n個校友每人按照其握手的次數歸入相應的“抽屜”，根據抽屜原理，至少有兩個人屬于同一抽屜，則這兩個人握手的次數一樣多。抽屜原理2：將多于mn件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品的件數不少于m1。概念解析 1、假定這n個抽屜中，每一個抽屜內的物品都不到（m1

9、）件，即每個抽屜里的物品都不多于m件，這樣n個抽屜中可放物品的總數就不會超過mn件，這與多于mn件物品的假設相矛盾。這說明一開始的假定不能成立，所以至少有一個抽屜中物品的件數不少于（m1）件。2、“抽屜原理1”和“抽屜原理2”的區別是：“抽屜原理1”物體多，抽屜少，數量比較接近；“抽屜原理2”雖然也是物體多，抽屜少，但是數量相差較大，物體個數比抽屜個數的幾倍還多例題講解1、如果將13只鴿子放進6只鴿籠里，那么至少有一只籠子要放3只或更多的鴿子。道理很簡單，如果每只鴿籠里只放2只鴿子，6只鴿籠共放12只鴿子，剩下的一只鴿子無論放入哪只鴿籠里，總有一只鴿籠放了3只鴿子。2、有40名小朋友，現有各種

10、玩具122件，把這些玩具全部分給小朋友，是否會有小朋友得到4件或4件以上的玩具？分析與解：將40名小朋友看成40個抽屜。有玩具122件，而1223402，應用抽屜原理2，取n40，m3，立即知道至少有一個抽屜中放有4件或4件以上的玩具，也就是說，至少會有一個小朋友得到4件或4件以上的玩具3、布袋里有4種不同顏色的球，每種都有10個。最少取出多少個球，才能保證其中一定有3個球的顏色一樣？分析與解：把4種不同顏色看做4個抽屜，把布袋中的球看做元素。根據抽屜原理2，要使其中一個抽屜里有3個顏色一樣的球，那么放入的球的個數最少應比抽屜個數的2倍多1，即最少取出（31）419（個）球。4、 有47名學生

11、參加一次數學競賽，成績都是整數，滿分是100分。已知3名學生的成績在60分以下，其余學生的成績均在7595分之間。問：至少有幾名學生的成績相同？分析與解：關鍵是構造合適的“抽屜”。既然是問“至少有幾名學生的成績相同”，說明應以成績為抽屜，學生為物品。除3名成績在60分以下的學生外，其余學生的成績均在7595分之間，而7595分中共有21個不同的分數，將這21個分數作為21個抽屜，把47344（個）學生作為物品。則有442122，根據抽屜原理2，至少有1個抽屜中至少有3件物品，即這47名學生中至少有3名學生的成績是相同的5、學校開辦了語文、數學、美術三個課外學習班，每個學生最多可以參加兩個（也可

12、以不參加）。問：至少有多少名學生，才能保證有不少于5名學生參加學習班的情況完全相同？分析與解：首先要弄清參加學習班有多少種不同的情況：不參加學習班有1種情況，只參加一個學習班有3種情況，參加兩個學習班有語文和數學、語文和美術、數學和美術3種情況。共有1337（種）情況。將這7種情況作為7個“抽屜”，根據抽屜原理2，要保證有不少于5名學生參加學習班的情況完全相同，那么至少有學生7（51）129（名）。6、夏令營組織2000名營員活動，其中有爬山、參觀博物館和到海灘游玩三個項目。規定每人必須參加一項或兩項活動。那么至少有幾名營員參加的活動項目完全相同？分析與解：本題的抽屜不是那么明顯，因為問的是“

13、至少有幾名營員參加的活動項目完全相同”，所以應該把活動項目當成抽屜，營員當成物品。營員數已經有了，現在的問題是應當搞清有多少個抽屜。因為“每人必須參加一項或兩項活動”，共有3項活動，所以只參加一項活動的情況有3種，參加兩項活動的有爬山與參觀、爬山與海灘游玩、參觀與海灘游玩3種情況，所以共有336（個）抽屜。則有200063332，根據抽屜原理2，至少有一個抽屜中有3331334（件）物品，即至少有334名營員參加的活動項目是完全相同的。7、幼兒園里有120個小朋友，各種玩具有364件。把這些玩具分給小朋友，是否有人會得到4件或4件以上的玩具？把120個小朋友看做是120個抽屜，把玩具件數看做是

14、元素。則364=1203+4，4120。根據抽屜原理的第（2）條規則：如果把mxk（xk1）個元素放到x個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含有m+1個或更多個元素。可知至少有一個抽屜里有3+1=4個元素，即有人會得到4件或4件以上的玩具課堂練習1.五名同學在一起練習投籃，共投進了41個球，那么至少有一個人投進了幾個球？2.有100名學生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、兩種或三種。問：至少有多少名學生訂閱的雜志種類相同？3.籃子里有蘋果、梨、桃和橘子，現有81個小朋友，如果每個小朋友都從中任意拿兩個水果，那么至少有多少個小朋友拿的水果是相同的？4.放體育用品的倉庫里有許多足球、排球和籃球，有

15、66名同學來倉庫拿球，要求每人至少拿1個球，至多拿2個球。問：至少有多少名同學所拿的球的種類是完全一樣的？5.求證：任意25個人中，至少有3個人的屬相相同。要想保證至少有5個人的屬相相同，但不能保證有6個人的屬相相同，那么人的總數應在什么范圍內？參考答案1.解：將5個同學投進的球數作為抽屜，將41個球放入抽屜中，41581，所以至少有一個抽屜中放了9個球，即至少有一個人投進了9個球。2.解：首先應當弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。訂一種雜志有：訂甲、訂乙、訂丙3種情況；訂兩種雜志有：訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲3種情況；訂三種雜志有：訂甲乙丙1種情況?？偣灿?317（種）訂閱方法。我們將這7

16、種訂法看成是7個“抽屜”，把100名學生看作100件物品。因為1001472。根據抽屜原理2，至少有14115（名）學生所訂閱的雜志種類是相同的。3.解：首先應弄清不同的水果搭配有多少種。兩個水果是相同的有4種，兩個水果不同的有6種：蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和橘子、梨和桃、梨和橘子、桃和橘子，所以不同的水果搭配共有4610（種）。將這10種搭配作為10個“抽屜”，因為818101，根據抽屜原理2，至少有819（個）小朋友拿的水果是相同的。4.解：拿球的配組方式有以下9種：足，排，籃，足，足，排，排，籃，籃，足，排，足，籃，排，籃。把這9種配組方式看作9個抽屜，因為66793，所以至少有718（

17、名）同學所拿的球的種類是完全一樣的。5.解：把12種屬相看作12個抽屜，因為252121，所以根據抽屜原理2，至少有3個人的屬相相同。要保證有5個人的屬相相同，總人數最少為412149（人）。不能保證有6個人的屬相相同的最多人數為51260（人）。所以總人數應在49人到60人的范圍內。練習1：1、一個幼兒園大班有40個小朋友，班里有各種玩具125件。把這些玩具分給小朋友，是否有人會得到4件或4件以上的玩具？2、把16枝鉛筆放入三個筆盒里，至少有一個筆盒里的筆不少于6枝。為什么？3、把25個球最多放在幾個盒子里，才能至少有一個盒子里有7個球？答案：1、把40名小朋友看做40個抽屜，將125件玩具

18、放入這些抽屜，因為125340+5，根據抽屜原理，可知至少有一個抽屜有4件或4件以上的玩具，所以肯定有人會得到4件或4件以上的玩具。2、把三個筆盒看做3個抽屜，因為1653+1，根據抽屜原理可以至少有一個筆盒里的筆有6枝或6枝以上。3、把盒子數看成抽屜，要使其中一個抽屜里至少有7個球，那么球的個數至少應比抽屜個數的（71）倍多1，而254（71）+1，所以最多方子4個盒子里，才能保證至少有一個盒子里有7個球。例題2：布袋里有4種不同顏色的球，每種都有10個。最少取出多少個球，才能保證其中一定有3個球的顏色一樣？解析：把4種不同顏色看做4個抽屜，把布袋中的球看做元素。據抽屜原理2要使其中一個抽屜

19、里至少有3個顏色一樣的球，那么取出的球的個數應比抽屜個數的2倍多1。即24+1=9（個）球。列算式為（31）4+1=9（個）練習2：1、布袋里有組都多的5種不同顏色的球。最少取出多少個球才能保證其中一定有3個顏色一樣的球？2、一個容器里放有10塊紅木塊、10塊白木塊、10塊藍木塊，它們的形狀、大小都一樣。當你被蒙上眼睛去容器中取出木塊時，為確保取出的木塊中至少有4塊顏色相同，應至少取出多少塊木塊？3、一副撲克牌共54張，其中113點各有4張，還有兩張王的撲克牌。至少要取出幾張牌，才能保證其中必有4張牌的點數相同？參考答案1、最少應取出（31）5+111個球2、至少取出（41）3+110塊木塊。

20、3、如果沒有兩張王牌，至少要?。?1）13+140張，再加上兩張王牌，至少要摸出40+242張，才能保證其中必有4張牌點數相同。例題3：某班共有46名學生，他們都參加了課外興趣小組?；顒觾热萦袛祵W、美術、書法和英語，每人可參加1個、2個、3個或4個興趣小組。問班級中至少有幾名學生參加的項目完全相同？解析：參加課外興趣小組的學生共分四種情況，只參加一個組的有4種類型，只參加兩個小組的有6個類型，只參加三個組的有4種類型，參加四個組的有1種類型。把4+6+4+1=15（種）類型看做15個抽屜，把46個學生放入這些抽屜，因為46=315+1，所以班級中至少有4名學生參加的項目完全相同。練習3：1、某

21、班有37個學生，他們都訂閱了三種報刊中的一、二、三種。其中至少有幾位同學訂的報刊相同？2、學校開辦了繪畫、笛子、足球和電腦四個課外學習班，每個學生最多可以參加兩個（可以不參加）。某班有52名同學，問至少有幾名同學參加課外學習班的情況完全相同？3、庫房里有一批籃球、排球、足球和鉛球，每人任意搬運兩個，問：在31個搬運者中至少有幾人搬運的球完全相同？參考答案1、小學六年中最多有2個閏年，共3662+36542191天，因為1317062192+18，所以其中一定有7人是同年同月同日生的。2、參加課外興趣小組的學生共分四種情況，只參加一個組的有4種類型，只參加兩個組的有6種類型，只參加三個字的有4種

22、類型，參加四個組的有1種類型。把4+6+4+115種類型看作15個抽屜，把46個學生放入這些抽屜，因為46153+1，所以班級中至少有4名學生參加的項目完全相同。3、全班訂閱報刊的類型共有3+3+17種，因為3757+2，所以其中至少有6位學生訂的報刊相同。例題4：從1至30中，3的倍數有303=10個，不是3的倍數的數有3010=20個，至少要取出20+1=21個不同的數才能保證其中一定有一個數是3的倍數。練習4：1、在1，2，3，49，50中，至少要取出多少個不同的數，才能保證其中一定有一個數能被5整除？2、從1至120中，至少要取出幾個不同的數才能保證其中一定有一個數是4的倍數？3、從1

23、至36中，最多可以取出幾個數，使得這些數中沒有兩數的差是5的倍數？參考答案 練41、在150中，5的倍數有50510個，不是5的倍數的就有501040個，至少要取出40+141個不同的數才能保證其中有個數能貝5整除。2、在1120中，4的倍數有120430個，不是4的倍數有1203090個，正是要取出90+191個不同的數才能保證其中一定有一個數是4的倍數。3、差是5的兩數有下列5組：1、6，11、16，21、26，31、36；2、7，12、17，22、27；3、8，13、18，23、28、33；4、9，14、19，24、29，34；5、10，15、20，25、30、35。要使取出的數中沒有兩個數的差是5的倍數，最多只能從每組中各取1個數