1、幾何概型的常見題型及典例分析一幾何概型的定義1. 定義：如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.2. 特點：（1） ）無限性，即一次試驗中，所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；（2） ）等可能性，即每個基本事件發生的可能性均相等.43. 計算公式： p(a)構成事件 a的區域長度（面積或體積）.試驗的全部結果所構成的區域長度（面積或體積）說明：用幾何概率公式計算概率時，關鍵是構造出隨機事件所對應的幾何圖形，并對幾何圖形進行度量 .4. 古典概型和幾何概型的區別和聯系：（1） ）聯系：每個基本事件發生的都是等可能的

2、.（2） ）區別：古典概型的基本事件是有限的，幾何概型的基本事件是無限的；兩種概型的概率計算公式的含義不同.二常見題型（一）、與長度有關的幾何概型例 1、在區間 率為().1,1 上隨機取一個數 x ， cos x 的值介于 0 到21 之間的概2a. 1b.2c. 31d.223分析：在區間 1,1 上隨機取任何一個數都是一個基本事件. 所取的數是區間 1,1 的任意一個數， 基本事件是無限多個， 而且每一個基本事件的發生都是等可能的，因此事件的發生的概率只與自變量x 的取值范圍的區間長度有關，符合幾何概型的條件 .解：在區間 1,1 上隨機取一個數 x , 即 x1,1 時, 要使 cos

3、x 的值介于20 到 1 之間, 需使2x或223x322 1x2 或 2x1，區間長度為 2 ，333由幾何概型知使 cosx 的值介于 0 到221 之間的概率為2符合條件的區間長度p所有結果構成的區間長度31 .故選 a.23例 2、 如圖,a,b 兩盞路燈之間長度是 30 米，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈c,d, 問 a 與 c,b 與 d 之間的距離都不小于 10 米的概率是多少？思路點撥 從每一個位置安裝都是一個基本事件，基本事件有無限多個，但在每一處安裝的可能性相等，故是幾何概型解 記 e：“ a 與 c,b 與 d之間的距離都不小于 10 米”，把 ab三等分，由于

4、中間長度為 30 1 =10 米，3 p( e)101 .303方法技巧 我們將每個事件理解為從某個特定的幾何區域內隨機地取一點，該區域中每一點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件的發生則理解為恰好取到上述區域內的某個指定區域中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解例 3、在半徑為 r 的圓內畫平行弦，如果這些弦與垂直于弦的直徑的交點在該直徑上的位置是等可能的， 求任意畫的弦的長度不小于 r的概率。思考方法：由平面幾何知識可知，垂直于弦的直徑平分這條弦，所以，題中的等可能參數是平行弦的中點， 它等可能m地分布在于平行弦垂直的直徑上 （如圖 1-1 ）。 efemf也就是說，樣本空間所對應的區

5、域 g是一維空kk間（即直線）上的線段mn，而有利場合所對oo應的區域 ga 是長度不小于 r的平行弦的中點 k所在的區間。 解法 1. 設ef與 e1f1 是長度等于 r的兩條弦，n圖 1-1e1 k1f1 n圖 1-2直徑 mn垂直于 ef和 e1f1，與他們分別相交于 k和 k1( 圖 1-2) 。依題設條件，樣本空間所對應的區域是直徑 mn，有 l(g)=mn=2r，注意到弦的長度與弦心距之間的關系比，則有利場合所對對應的區域是 kk1，有l(gk )kk 12ok22r2r3r2以幾何概率公式得 pl(ga )3r3 。l(g)2r2 解法 2. 如圖 1-1 所示，設園 o的半徑為

6、 r, ef為諸平行弦中的任意一條，直徑 mn 弦 ef，它們的交點為 k，則點 k 就是弦 ef的中點。設 ok=x，則 x-r,r,所以 l(g)=2r設事件 a 為“任意畫的弦的長度不小于r”，則 a 的有利場合是2r2x 2r ,解不等式，得x3r所以23l(ga)2r3r 2于是p( a)3r32 r2 評注本題結構比較簡單， 題中直接給出了等可能值參數； 樣本空間和有利場合所對應的區域，從圖上都可以直接看出。兩種解法各有特色，解法 1 充分利用平面幾何知識，在本題似較簡便，解法2 引進變量 x 把代數知識和幾何知識有機的結合起來，從表面上看解題過程不甚簡便，但確具有推廣價值，這種方

7、法可以求解復雜的幾何概率問題。22例 4、在長為 12cm的線段 ab上任取一點 m，并以線段 am為邊作正方形，求這個正方形的面積介于 36cm 與 81cm 之間的概率分析： 正方形的面積只與邊長有關， 因此， 此題可以轉化為在 12cm長的線段 ab上任取一點 m，求使得 am的長度介于 6cm與 9cm之間的概率22解：記“面積介于 36cm 與 81cm 之間”為事件 a，事件 a 的概率等價于“長度介于 6cm與 9cm之間”的概率，所以， p(a)=96 = 1124小結：解答本例的關鍵是， 將正方形的面積問題先轉化為與邊長的關系。練習：2、已知地鐵列車每10 min 一班，在車

8、站停 1 min ，則乘客到達站臺立即乘上車的概率是 ()a. 1 10b. 19c. 111d. 18解析：設乘客到達站臺立即乘上車為事件a，試驗的所有結果構成的區域長度為 10 min ，而構成事件 a 的區域長度為 1 min ，故 p( a) 1 . 答10案： a03、已知集合 a x| 1x5 ，b x| x 23 x，在集合 a 中任取一個元素x ，則事件“ xab”的概率是解析：由題意得 a x| 1x5 ， b x|2 x3 ，由幾何概型知：在集合 axxabp中任取一個元素，則 的概率為 116. 答案： 64、 小趙欲在國慶六十周年之后從某車站乘車外出考察， 已知該站發往

9、各站的客車均每小時一班， 求小趙等車時間不多于 10 分鐘的概率分析：因為客車每小時一班 , 而小趙在 060 分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的 , 所以他在哪個時間段到站等車的概率只與該時間段的長度有關 , 而與該時間段的位置無關 , 這符合幾何概型的條件，且屬于幾何概型中的長度類型 .解析: 設 a=等待的時間不多于 10 分鐘, 我們所關心的事件 a 恰好是到站等車的時刻位于 50,60 這一時間段內 , 而事件的總體是整個一小時，即 60 分鐘，因此，由幾何概型的概率公式 , 得 p(a)=6050 = 1 ，即此人等車時間不多于 10 分鐘的概率為 1 6（二）、與面積有關的

10、幾何概型606例 1、abcd 為長方形， ab2, bc1 ，o 為 ab 的中點，在長方形 abcd內隨機取一點，取到的點到 o的距離大于 1 的概率為（）a. b. 1c.d. 14488分析：由于是隨機的取點， 點落在長方形內每一個點的機會是等可能的， 基本事件是無限多個，所以符合幾何概型.解：長方形面積為 2, 以o 為圓心,1 為半徑作圓 , 在矩形內部的部分 ( 半 dc4aob圖1圓) 面積為 2 ，因此取到的點到 o 的距離大于 1 的面積為 2的點到 o的距離大于 1 的概率為，則取到2p( a)故選 b.取到的點到 o的距離大于 1的面積長方形abcd的面積221.24例

11、 2、 如圖，射箭比賽的箭靶涂有五個彩色的分環從外向內依次為白色、黑色、藍色、紅 色，靶心為金色金色靶心叫“黃心”奧運 會的比賽靶面直徑為 122 cm, 靶心直徑為 12.2 cm.運動員在 70 m 外射箭假設運動員射的箭都能中靶，且射中靶面內任一點都是等可能的， 那么射中黃心的概率為多少？思路點撥 此為幾何概型，只與面積有關解 記“射中黃心”為事件b, 由于中靶點隨機地落在面積為11222 cm2 的大圓內，而當中靶點落在面積為1 4412.2 2 cm2 的黃心 時 ， 事 件 b發 生 ， 于 是 事 件 b發 生 的 概 率 為1p( b)41412.22 cm21222 cm20

12、.01.即：“射中黃心”的概率是 0.01.方法技巧 事件的發生是“擊中靶心”即“黃心”的面積；總面積為最大環的圓面積例 3、在平面直角坐標系 xoy中，設 d是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于 2 的點構成的區域， e是到原點的距離不大于 1 的點構成的區域， 向 d中隨意投一點，則落入 e中的概率為。解析：如圖：區域 d表示邊長為 4 的正方形 abcd的內部（含邊界），而12區域 e表示單位圓及其內部，因此p。 答案441616點評：本小題中的試驗結果是區域中的部分點集，其結果是不可數的， 屬于幾何概型中典型的面積之比。5例 4、在三角形 abc中任取一點 p，證明： abpc與 abc的

13、面積之比大于n1 的概率為 1 。nn2ephf思考方法 本題的隨機點是abp 的頂點 p，它等可能的分布在 abc 中，因此，與樣本空間對應的平面區域是abc，注意到abp于 abc 有公共邊a ab，所以的面積決定于頂點 p 離底邊 ab的距離。這樣不難確定與有利場合相對應的平面區域。gdb圖 2解 設 abp與 abc的面積之比為n1 ， abc 的高 cd為 h， abp 的n高 pg 為 h1，公共底邊 ab 的長為 c，（圖 2）則1 chs abp21h1n1hn1 h1ns abc1 chhn 2過點 p 作 ef/ab, 交 cd于 h,則有立場合所對應的平面區域為cef .

14、 于是所求概率為 ps efcs abc注 意到 ef/ab ，efc abc , 且ch=h -h 1= h-n1 h= 1 h ，nn2hps efcn1shn22abc由此，原題得證。評注 本題的樣本空間雖然與平面區域相對應，但因三角形abc于三角形 abp有公共底邊 ab，所以，實際變化著的量只有一個 ( 即點 p 于 ab的距離) ，問題還比較簡單， 對于較復雜的平面區域， 常常要根據題設選定兩個變量，由各自的約束條件確定樣本空間于有立場合的相應區域。例 5、將長為 l 的木棒隨機的折成 3 段，求 3 段構成三角形的概率 解：設 m“3 段構成三角形” x，y 分別表 示其中兩段的

15、 長度 ， 則第三段的 長度為lxy( x，y)| 0x l，0y l，0xyl 6由 題意 ， x， y， lxy 要 構成 三角 形， 須有 xylxy ， 即xy1 ； 211x( lxy)y ，即 yl ； y2(lxy)x ，即 xl 2故 m( x， y) | xyl ， yl ， xl222如 圖1所 示 ， 可 知 所 求 概 率 為21lp( m )m 的面積221的面積l24 2例 6、已知函數 f ( x) x2 axb. 若 a、b 都是從區間0,4 任取的一個數，則 f (1) 0 成立的概率是 解析： f (1) 1ab0，即 ab1，如圖：9a(1,0) ，b(4

16、,0) ，c(4,3) ， s9psabc2 9 .9答案： 32練習abc ，2 s矩 44 321、abcd為長方形， ab2，bc 1，o為 ab的中點在長方形 abcd內隨機 取 一 點 ， 取 到 的 點 到 o 的 距 離 大 于 1 的 概 率 為( )a. 4b14c. 8d 1 8解析：對應長方形的面積為 21 2，而取到的點到 o的距離小于等于 1時，其是以 o 為圓心，半徑為 1 所作的半圓，對應的面積為 121 2，那么滿足條件的概率為： 11242 1. 答案： b212、設 1 a1， 1 b1，則關于 x 的方程 x2 ax b2 0 有實根的概率是()1114c

17、.8d.161a.2 2b.解 析 ： 由 題 知 該 方 程 有 實 根 滿 足 條 件1 a1，1 b1， a2 4b20，作平面區域如右圖：由圖知陰影面積為 1，總的事件對應面積為正方形的面積，14故概率為 . 答案： b3、已知 ( x，y)| xy6，x0，y0 ，a( x，y)| x4，y0， x 2y0 ，若向區域 上隨機投一點 p，則點 p 落入區域 a 的概率為()1a.3 3b.23c.129d.9解析：作出兩集合表示的平面區域如圖所示容易得出 所表示的平面區域為三角形 aob及其邊界， a表示的區域為三角形 ocd及其邊界容易求得 d(4,2) 恰為直線 x4，x2y0，

18、 xy 6 三線的交點11則可得 s aob266 18， s ocd242 4. 所以點 p 落在區域 a 的概率為42 . 答案： d189x y4、在區域xyy 0202 0 內任取一點 p，則點 p 落在單位圓 x2y2 1 內的概率為 ()a. 2b. 8c. 6d. 4解析：區域為 abc內部( 含邊界) ，則概率為s半圓2spabc1 4 . 答案： d2 22 25、在邊長為 2 的正三角形 abc內任取一點 p，則使點 p 到三個頂點的距離至少有一個小于 1 的概率是解析：以 a、b、c 為圓心，以 1 為半徑作圓，與 abc相交出三個扇形 ( 如圖所示 ) ，當 p落在陰影

19、部分時符合要求126 3 ()p2 3 16323 . 答案： 34 26、在區間 0,1上任意取兩個實數 a，b，則函數 f ( x) 1x3 axb 在區2間 1,1 上有且僅有一個零點的概率為2解析： f (x) 3x2a，故 f ( x) 在 x 1,1 上單調遞增，又因為函數2f ( x) 1x3 ax b 在 1,1 上有且僅有一個零點， 即有 f ( 1) f (1)0成立，即 (1 a2b)( 12ab)0 ，可化為0 a10 b10 a10 b11 a21b01或a21b02ab0面直角坐標系 aob中畫出這兩個不等式組所表示的可行域，再由幾何概1 3型可以知道，函數 f (

20、 x) x ax b 在 1,1 上有且僅有一個零點的2概率為可行域的面積除以直線a 0，a1，b0，b1 圍成的正方形的面積，計算可得面積之比為77。答案：887、已知函數 f ( x) x22axb2， a， br.(1) 若 a 從集合0,1,2,3中任取一個元素， b 從集合0,1,2中任取一個元素，求方程 f ( x) 0 有兩個不相等實根的概率；(2) 若 a 從區間0,2中任取一個數， b 從區間0,3中任取一個數，求方程 f ( x) 0 沒有實根的概率解： (1) a 取集合0,1,2,3中任一個元素， b 取集合0,1,2中任一個元素， a， b 的取值的情況有 (0,0)

21、 ，(0,1) ，(0,2) ，(1,0) ，(1,1) ， (1,2) ，(2,0) ，(2,1) ，(2,2) ，(3,0) ， (3,1) ，(3,2) 其中第一個數表示 a 的取值，第二個數表示 b 的取值，即基本事件總數為 12.設“方程 f ( x) 0 有兩個不相等的實根”為事件 a，當 a0，b0時，方程 f ( x) 0 有兩個不相等實根的充要條件為a b. 當 ab 時， a，b 取值的情況有 (1,0) ，(2,0) ，(2,1) ，(3,0) ， (3,1) ， (3,2) ，即 a包含的基本事件數為6，61方程 f ( x) 0 有兩個不相等實根的概率 p( a) .

22、122(2) a 從區間0,2 中任取一個數， b 從區間0,3 中任取一個數，則試驗的全部結果構成區域 ( a，b)|0 a2,0 b3 ，這是一個矩形區域，其面積 s 23 6.設“方程 f ( x) 0 沒有實根”為事件 b，則事件 b所構成的區域為 m ( a， b)|0 a2,0 b3， ab ，即圖中陰影部分的梯形，其面積s6122 4.m 2由幾何概型的概率計算公式可得方程f ( x) 0 沒有實根的概率p( b)sm42s .63（三）、與角度有關的幾何概型bo例 1、在圓心角為 90的扇形中，以圓心為起點做射線 oc ， m求使得 aoc 和 boc 都不小于 30的概率？c

23、na分析：此題關鍵是搞清過 o 作射線 oc 可以在扇形的任意位圖2 置，而且是等可能的，因此基本事件的發生是等可能的.解：記事件 a是“做射線 oc ，使得 aoc 和 boc 都不小于 30”，aonbommon30 0 ，則符合條件的射線 oc 應落在扇形mon 中，所以p( a)mon 的度數aob的度數3001.9003例 2、如圖所示，在等腰直角vabc 中，過直角頂點 c 在 acb 內部做一條射線 cm ，與線段 ab 交于點 m ，求amac 的概率。分 析 ： 當amac時 ， 有acmamc ，故欲使 amac ，應有 acmamc ，即所作的射線應落在acmamc 時a

24、cm 的內部。a解析：在 ab 上取 adac , 連接 cd ，則cmdbacd1800245067.50 ，記“在內部作一條射線cm ，與線段 ab 交于點 m ， amac ”為事件 a，則p( a)67.5003 ，所以，所求概率為 3 。4904點評：本題所求事件的本質是在acb 內部做一條射線 cm ，所構成的區域是一個“角”域，故應屬于幾何概型中的角度之比類型；本題極易易犯的錯誤是，用長度的比得出21122 這一錯誤結果。20例 3、在等腰 rt abc 中， c=90，在直角邊 bc 上任取一點 m，求cam300 的概率（答案：3 ）3（四）、與體積有關的幾何概型例 1、在

25、5 升水中有一個病毒，現從中隨機地取出1 升水，含有病毒的概率是多大？分析：病毒在這 5 升水中的分布可以看作是隨機的，取得的1 升水可以看作構成事件的區域，5 升水可以看作是試驗的所有結果構成的區域，因此可以用體積比公式計算其概率 .解：“取出 1 升水，其中含有病毒”這一事件記作事件a，則 p( a)取出的水的體積1.所有水的體積50.2.從而所求的概率為 0.2.例 2、任取三條不大于 a 的線段，求這三條線段能夠成一個三角形的概率。思考方法題設的三條線段互不相干，所以可設置三個獨立變量。注意到三條線段構成三角形的充要條件，可推得有立場合的約束條件。由此原題可以解出。解 設三條線段的長分

26、別為x、y、z，則樣本空間是0xa0ya （ 1）0za有三條線段構成三角形的條件可知，其中的任意兩條之和比大于第三條xyz線段，于是，有利場合的可能情形是yzx （2）z xyz把條件（ 1）、（ 2）所限制的區域，在空間直角坐標系中表示出來，有如圖 2-3 所示。其中（ 1）所對應的區域 g是正方體 oa4，(2) 所對應的區域 ga 是六面體 oa1a2a3a4，且有12xa3a2a4oya1圖2-3l ga331a 211 a321l gaa -3 ?3?a=2ap=2a3= 22223例 3、在區間 0,l上任取三個實數 x.y.z,事件 a=(x,y,z)| x1, x0,y 0,

27、z 0(1) 構造出隨機事件 a對應的幾何圖形；（2) 利用該圖形求事件 a的概率.+y +z 222思路點撥 :在空間直角坐標系下， 要明確 x +y +z 1表示的幾何圖形是以原點為球心， 半徑 r=1 的球的內部事件 a對應的幾何圖形所在位置是隨機的， 所以事件 a 的概率只與事件 a對應的幾何圖形的體積有關， 這符合幾何概型的條件222解：（ 1）a=(x,y,z)|x +y +z 1, x 0,y 0,z 0 表示空間直角坐標系中以原點為球心， 半徑 r=1 的球的內部部分中 x0,y 0,z 0 的部分， 如圖所示(2) 由于 x,y,z屬于區間 0,1，當 x=y=z=1 時，為

28、正方體的一個頂點，事件 a為球在正方體內的部分 p( a)141383.136方法技巧：本例是利用幾何圖形的體積比來求解的幾何概型，關鍵 要明白點 p(x,y,z)的集合所表示的圖形 從本例可以看出求試驗為幾何概型的概率，關鍵是求得事件所占區域和整個區域的幾何度量，然后代入公式即可解，另外要適當選擇觀察角度.（五）、會面問題中的概率例 1、 某碼頭接到通知，甲、乙兩艘外輪都會在某天9 點到 10 點之間的某一時刻到達該碼頭的同一個泊位，早到的外輪要在該泊位停靠20分鐘辦理完手續后才離開，求兩艘外輪至少有一艘在停靠泊位時必須等待的概率。解析：設事件 a 表示兩艘外輪至少有一艘在停靠泊位時必須等待

29、， 兩艘外輪到的時間分別為 9點到 10 點之間的 x 分、y 分，則|x-y|20,0yad601320c-20b2060x-2017x,y 60，即 a20xy ( x， y) |0x600y6020，以 9 點為原點，建立平面直角坐標系如圖所示，事件a所對應的區域如圖中陰影區域所示：所以，其概率 p(a)= 陰影面積 /abcd面積=5/9 。小結：“會面”類型常見的載體是兩人相約見面、輪船停靠泊位等，其關鍵是構建相遇的不等式（組），借助于線性規劃知識，將其面積之比求出，使得問題得以解決。例 2、兩人約定在 20： 00 到 21： 00 之間相見，并且先到者必須等遲到者 40 分鐘方可

30、離去，如果兩人出發是各自獨立的，在20：00 到 21：00各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內相見的概率思路點撥 兩人不論誰先到都要等遲到者 40 分鐘，即2 小時設兩3人分別于 x 時和 y 時到達約見地點， 要使兩人在約定的時間范圍內相見，當且僅當 -2 x-y 32 ，因此轉化成面積問題，利用幾何概型求解3解 設兩人分別于 x 時和 y 時到達約見地點，要使兩人能在約定時間范圍內相見，當且僅當 -2 x-y 2 .33兩人到達約見地點所有時刻(x,y)的各種可能結果可用圖中的單位正方形內（包括邊界）的點來表示，兩人 能在約定的時間范圍內相見的所有時刻（x,y ）的各種可能結果

31、可用圖中的陰影部分（包括邊界）來表示因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時間范圍內相遇的可能性的大小，也就是所求的概率為ps陰影s1 21()38 .129單位正方形方法技巧 會面的問題利用數形結合轉化成面積問題的幾何概型難點是把兩個時間分別用 x,y 兩個坐標表示，構成平面內的點 (x,y), 從而把時間是一段長度問題轉化為平面圖形的二維面積問題，轉化成面 積型幾何概型問題（六）、與線性規劃有關的幾何概型例 1、小明家的晚報在下午 5：306：30 之間的任何一個時間隨機地被送到， 小明一家在下午 6：007：00 之間的任何一個時間隨機地開始晚餐. 那么晚報在晚餐開始之前被送

32、到的概率是多少？分析：該題題意明確，但如何轉化為數學模型需要從實際問題中分析出存在的兩個變量 . 由于晚報送到和晚飯開始都是隨機的，設晚報送到和晚飯開始的時間分別為 x、y ，然后把這兩個變量所滿足的條件寫成集合的形式，把問題轉化為線性規劃問題進行求解 .解：設晚報送到和晚飯開始的時間分別為 x、y . 用（ x， y）表示每次試驗的結果 ， 則 所 有 可 能 結 果 為 ：( x, y) 5 : 30x6 : 30,6y7 ，即為圖 3 中正方形 abcd 的面積；記晚報在晚餐開始之前被送到為事件a，則事件 a的結果為： a(x, y) 5 : 30x6 : 30,6y7, xy ，即為圖

33、 2 中陰影部分區域 .sabcd1171， s陰影11117 .2228所以所求概率為： ps陰影sabcd87 .18故晚報在晚餐開始之前被送到的概率是7 .8反思：此類問題常會涉及兩個隨機變量的相互關系，其求解的步驟為：（1） ）找設變量 . 從問題中找出兩個隨機變量，設為x, y；（2） ）集合表示 . 用 (x, y) 表示每次試驗結果， 則可用相應的集合分別表示出全部結果和事件 a 所包含的試驗結果 . 一般來說，兩個集合都是幾個二元一次不等式的交集 .（3） ）作出區域 . 把上面的集合所表示的平面區域作出，并求出集合, a對應的區域的面積 .（4） ）計算求解 . 由幾何概型公

34、式求出概率 .（七）、與定積分有關的幾何概型例 1、在區間 1,1 上任取兩數a、b，求二次方程 x 2axb0 的兩根都是實根的概率 .分析：可用 (a, b) 表示試驗結果 . 求出所有可能結果的面積和方程有實根的結果的面積，再利用幾何概型來解答 .解 ： 用(a,b)表 示 每 次 試 驗 結 果 ， 則 所 有 可 能 結 果 為 ：(a, b)1a1, 1b1 ，即為圖 3 中正ddb1c1 c2方 形 abcd 的 面 積 ； 由 方 程 有 實 根 得 ：bao4aa 24b0 ，則方程有實根的可能結果為11a(a, b) a 24b0, 1a1, 1amb1b1 ，即為圖4圖

35、4 中陰影部分區域. 陰影部分面積可用定積分來a 計算圖 . 所以 bsabcd224 ， s陰影1 1 2a da1213 1a1251213 ，1 41266所以所求概率為：s陰影psabcd136134240.5417 .（八）、與隨機模擬有關的幾何概型例 1、如圖 5，面積為 s 的正方形 abcd 中有一個不規則的圖形 m ，可按下面方法估計 m 的面積：在正方形 abcd 中隨機投擲 n 個點，若 n 個點中有 m 個點落入 m 中，則 m 的面積的估計值為 m s ，假設正方n形 abcd的邊長為 2， m 的面積為 1，并向正方形 abcd中隨機投擲 10000個點，以 x 表

36、示落入 m 中的點的數目（ i ）求 x 的均值 ex ；（ ii ）求用以上方法估計 m 的面積時， m 的面積的估計值與實際值之差在區間 ( 0.03，) 內的概率附表：p( k)kct 10000kp(k )分析：本題從表面來看似乎與幾何概型無關，其實它是一個幾何概型的逆向問題與 n 次獨立重復實驗的綜合題，而且本題有別于常規的面積型概率計算，設計新穎，通過隨機模擬來求不規則圖形的面積。解 ： 每 個 點 落 入 m中 的 概 率 均 為 psm的面積sabcd1 依 題 意 知4x b 10000，14（） ex10000142500 （）依題意所求概率為p0.03x10000410.

37、03，p0.03x10000410.03p (2425x2575)2574ct100000.25t0.7510000 tt 242625742425ct100000.25t0.7510000 tct100000.25t0.7510000 1t 2426t 00.95700.04230.9147 例 2、利用隨機模擬方法計算圖中陰影部分圍成的部分）面積( 由曲線 y= 2 與 x 軸、x=1x思路點撥 不規則圖形的面積可用隨機模擬法計算解 (1)利用計算機產生兩組17t 00.25t0.7510000 t24242425257425750.04030.04230.95700.95900,1上的隨

38、機數 ,a 1 =rand（ ）， b1=rand()(2)進行平移和伸縮變換 ,a=(a 1-0.5)*2,b=b1 *2, 得到一組 0,2上的均勻隨機數(3) 統計試驗總次數 n和落在陰影內的點數 n1.19(4) 計算頻率n1 ，則nn1 即為落在陰影部分的概率的近似值n(5) 利用幾何概型公式得出點落在陰影部分的概率ps4(6) 因為n1 = s , 所以 s=4n 1即為陰影部分的面積 .n4n方法技巧 根據幾何概型計算公式， 概率等于面積之比， 如果概率用頻率近似在不規則圖形外套上一個規則圖形，則不規則圖形的面積近似等于規則圖形面積乘以頻率而頻率可以通過隨機模擬的方法得到，從而求

39、得不規則圖形面積的近似值（九）、生活中的幾何概型例 1、 某人欲從某車站乘車出差，已知該站發往各站的客車均每小時一班，求此人等車時間不多于 10 分鐘的概率分析：假設他在 060 分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的, 但在 0 到 60 分鐘之間有無窮多個時刻 , 不能用古典概型公式計算隨機事件發生的概率 . 可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發生的概率. 因為客車每小時一班 , 他在 0 到 60 分鐘之間任何一個時刻到站等車是等可能的, 所以他在哪個時間段到站等車的概率只與該時間段的長度有關, 而與該時間段的位置無關 , 這符合幾何概型的條件 .解: 設 a=等待的時間不多于 10

40、 分鐘, 我們所關心的事件 a 恰好是到站等車的時刻位于 50,60 這一時間段內 , 因此由幾何概型的概率公式 , 得p(a)=6050 = 1 ，即此人等車時間不多于 10 分鐘的概率為 1 6066例 2、某公共汽車站每隔 15 分鐘有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，求一個乘客到達車站后候車時間大于10 分鐘的概率？ 分析：把時刻抽象為點，時間抽象為線段，故可以用幾何概型求解。解：設上輛車于時刻 t1 到達，而下一輛車于時刻t2 到達，線段 t1t2的長度為 15，設 t 是 t1t2 上的點，且 t1t=5，t2t=10，如圖所示 :t1tt2記候車時間大于 10 分鐘為事件

41、 a，則當乘客到達車站的時刻落在線段t1t上時，事件發生，區域 d的測度為 15，區域 d 的測度為 5。所以p( a)d 的測度d 的測度51153答：侯車時間大于 10 分鐘的概率是 1/3.例 3、假設題設條件不變，求候車時間不超過10 分鐘的概率 .分析：t1tt2p( a)d 的測度d 的測度102153例 4、某公共汽車站每隔 15 分鐘有一輛汽車到達，并且出發前在車站停靠 3 分鐘。乘客到達車站的時刻是任意的，求一個乘客到達車站后候車時間大于 10 分鐘的概率？分析：設上輛車于時刻 t1 到達，而下一輛車于時刻 t0 到達，t2 時刻出發。線段 t1t2 的長度為 15，設 t

42、是 t1t2 上的點，且 t0t2=3，tt0=10，如圖所示 :t1tt0t2記候車時間大于 10 分鐘為事件 a，則當乘客到達車站的時刻落在線段 t1t 上時，事件 a發生，區域 d的測度為 15，區域 d 的測度為 15-3-10=2 。所以p( a)d 的測度2d 的測度15例 5、平面上畫有一組平行線，其間隔交替為1.5cm 和 10cm，任意地往平面上投一半徑為 2cm的圓，求此圓不與平行線相交的概率。 思考方法 本題的難處，在于題中沒有直接指明等可能值參數，為此，需發掘“任意的往平面上投一直徑為2cm的圓”之真實含義，找出具有某種等可能的隨機點。注意到定半徑的圓的位置決定于圓心，

43、可以取圓 心作隨機點，由于平行線可以向兩端無限延伸，而往平面上投圓又是任 意的，所以只要取這組平行線的某一條垂線就可以了；考慮到題設平行線的間隔交替的為 1.5cm 和 10cm，則研究相鄰三條平行線之間情況就可以反映問題的全貌。經上面的分析，我們可以取圓心為隨機點，它等可 能地分布在相鄰三條平行線的某一垂線上（如圖1-3 ）由此原題不難解出。 解設 l1、l2、l3 是三條相鄰的平行線， epf是它們之間的垂線（圖 1-3 ），則樣本空間所對的區域是線段 ef,有l(g)=ef=1.5+10=11.5(cm)注意到 l1 與 l2 相鄰 1.5cm，所以圓心如果落在線段 ep 上，那么圓與平

44、行線必定相交。設半徑為2cm的 o、o1 分別切 l2、l3 于 p、f，則事件的有利場合所對應的區域應是線段oo1 有 l(ga)=oo1=pf-op-o1f=10-2-2=6cm。el1po1l2qro2l3f圖1p=611.50.5127評注 從本題可以看出， 如果題中沒有直接指明等可能值參數，則解題的關鍵，在于斟酌題設條件，發掘等可能值參數的含義，找出隨機點的分布情況。例 6、廣告法對插播廣告的時間有一定的規定，某人對某臺的電視節目做了長期的統計后得出結論，他任意時間打開電視機看該臺節目，看9不到廣告的概率為9解析： 60(1 ，那么該臺每小時約有10) 6 分鐘答案： 6 分鐘的廣告

45、10例7、甲、乙兩人約定在下午 4:005:00 間在某地相見他們約好當其中一人先到后一 定要等另一人 15分鐘，若另一人仍不到則可以離去，試求這人能相見的概率。解：設 x為甲到達時間， y 為乙到達時間 .建 立 坐 標 系 ， 如 圖 | xy |15時 可 相 見 ， 即 陰 影 部 分60 2452760216p例8、兩對講機持有者張三、李四，為卡爾貨運公20司工作， 他們對講機的接收范圍是 25km，下午3：00張三在基地正東30km內部處，向基地行駛，李四在基地正北 40km內部處，向基地行駛，試問下午 3： 00，他們可以交談的概率。解：設x, y 為張三、李四與基地的距離x 0,30 ， y 0,40 ，以基地為原點建立坐標系 . 他們構成實數對 ( x, y) ，表示區域總面積為 1200，可以交談即x 2y 2125252故 p4120025192例 9、某勘探隊勘測到，在 1 萬平方千米的海域中有 40 平方千米的大陸架儲藏著石油，假設在海域中任意一點鉆探， 鉆到油層面的概率是多少？ 分析：石油在 1 萬平方千米的海域大陸架的分布可以看作是隨機的而40 平方千米可看作構成事件的區域面積