1、 T T(+) (+):tan(+)=_(,+ +k,kZ). :tan(+)=_(,+ +k,kZ). T T(-) (-):tan(-)=_(,- +k,kZ). :tan(-)=_(,- +k,kZ). tan tan 1tan tan 2 tan tan 1tan tan 2 (2)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式: : S S2 2:sin2=_. :sin2=_. C C2 2:cos2=_=_=_. :cos2=_=_=_. T T2 2:tan2=_( :tan2=_( +k, +k,且且k+ ,kZ).k+ ,kZ). 2sincos2sinco

2、s coscos2 2-sin-sin2 2 2cos2cos2 2-1-1 1-2sin1-2sin2 2 2 2tan 1tan 4 2 2.2.必備結(jié)論必備結(jié)論 教材提煉記一記教材提煉記一記 (1)(1)降冪公式降冪公式:cos:cos2 2= ,sin= ,sin2 2= = (2)(2)升冪公式升冪公式:1+cos2=2cos:1+cos2=2cos2 2,1-cos2=2sin,1-cos2=2sin2 2. (3)(3)公式變形公式變形:tan:tantan=tan(tan=tan()(1)(1 tantan).tantan). 3.3.必用技法必用技法 核心總結(jié)看一看核心總結(jié)看

3、一看 (1)(1)常用方法常用方法: :整體代入法整體代入法, ,配湊法配湊法. . (2)(2)數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想: :轉(zhuǎn)化化歸思想轉(zhuǎn)化化歸思想. . 1cos 2 2 1 cos 2 . 2 (3)(3)記憶口訣記憶口訣: : 余余正正符號異余余正正符號異, , 正余余正符號同正余余正符號同, , 二倍角二倍角, ,數(shù)余弦數(shù)余弦, , 找聯(lián)系找聯(lián)系, ,抓特點抓特點, , 牢記憶牢記憶, ,用不難用不難. . 【小題快練】【小題快練】 1.1.思考辨析思考辨析 靜心思考判一判靜心思考判一判 (1)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角兩角和與差的正弦、余弦公式中的角,是任意的是任意的.(.(

4、) ) (2)(2)存在實數(shù)存在實數(shù),使等式使等式sin(+)=sin+sinsin(+)=sin+sin成立成立.(.() ) (3)(3)公式公式tan(+)= tan(+)= 可以變形為可以變形為tan+tan=tan+tan= tan(+)(1-tantan),tan(+)(1-tantan),且對任意角且對任意角,都成立都成立.(.() ) (4)(4)存在實數(shù)存在實數(shù),使使tan 2=2tan.(tan 2=2tan.() ) tan tan 1tan tan 【解析】【解析】(1)(1)正確正確. .對于任意的實數(shù)對于任意的實數(shù),兩角和與差的正弦、余弦公兩角和與差的正弦、余弦公

5、式都成立式都成立. . (2)(2)正確正確. .如取如取=0,=0,因為因為sin0=0,sin0=0, 所以所以sin(+0)=sin=sin+sin0.sin(+0)=sin=sin+sin0. (3)(3)錯誤錯誤. .變形可以變形可以, ,但不是對任意角但不是對任意角,都成立都成立. . ,+k+ ,kZ.,+k+ ,kZ. (4)(4)正確正確. .當(dāng)當(dāng)=k(kZ)=k(kZ)時時,tan 2=2tan.,tan 2=2tan. 答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4) 2 2.2.教材改編教材改編 鏈接教材練一練鏈接教材練一練 (1)(1)(必修必修4P13

6、04P130例例4T(1)4T(1)改編改編)sin108)sin108cos42cos42-cos72-cos72sin42sin42 = =. . 【解析】【解析】原式原式=sin(180=sin(180-72-72)cos42)cos42-cos72-cos72sin42sin42 =sin72=sin72cos42cos42-cos72-cos72sin42sin42 =sin(72=sin(72-42-42)=sin30)=sin30= .= . 答案答案: : 1 2 1 2 (2)(2)(必修必修4P137A4P137A組組T5T5改編改編) )已知已知 則則cos =_.cos

7、 =_. 4 5 cos(), 65 36 ， 【解析】【解析】因為因為 答案：答案： 5 , 36 2 4 ,cos(), 2665 3 sin()1 cos (), 665 cos cos() 66 cos()cossin()sin 6666 433134 3 . 525210 所以又 所以 所以 34 3 10 3.3.真題小試真題小試 感悟考題試一試感悟考題試一試 (1)(2014(1)(2014上海高考上海高考) )函數(shù)函數(shù)y=1-2cosy=1-2cos2 2(2x)(2x)的最小正周期是的最小正周期是. . 【解析】【解析】y=-2cosy=-2cos2 2(2x)-1=-cos

8、4x,(2x)-1=-cos4x, 所以函數(shù)的最小正周期所以函數(shù)的最小正周期T= .T= . 答案答案: : 2 2 (2)(2014(2)(2014新課標(biāo)全國卷新課標(biāo)全國卷)函數(shù)函數(shù)f(x)=sin(x+f(x)=sin(x+)-2sin)-2sincos xcos x 的最大值為的最大值為. . 【解析】【解析】因為因為f(x)=sin(x+f(x)=sin(x+)-2sin)-2sincos xcos x =sin xcos=sin xcos+cos xsin+cos xsin-2sin-2sincos xcos x =sin xcos=sin xcos-cos xsin-cos xsi

9、n =sin=sin(x-(x-) )1.1. 故最大值為故最大值為1.1. 答案答案: :1 1 考點考點1 1 化簡與計算化簡與計算 【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015合肥模擬合肥模擬)cos(+)cos+)cos(+)cos+ sin(+)sin=(sin(+)sin=() ) A.sin(+2)A.sin(+2)B.sinB.sinC.cos(+2)C.cos(+2)D.cosD.cos (2)(2)計算計算tan25tan25+tan35+tan35+ tan25+ tan25tan35tan35= =. . (3) (3) 的化簡結(jié)果是的化簡結(jié)果是. . 3 22

10、cos 82 1 sin 8 【解題提示】【解題提示】(1)(1)逆用兩角差的余弦公式化簡逆用兩角差的余弦公式化簡. . (2)(2)觀察式子的特點觀察式子的特點, ,逆用兩角和的正切公式計算逆用兩角和的正切公式計算. . (3)(3)應(yīng)用二倍角的正、余弦公式化簡應(yīng)用二倍角的正、余弦公式化簡. . 【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選D.cos(+)cos+sin(+)sinD.cos(+)cos+sin(+)sin =cos(+)-=cos.=cos(+)-=cos. (2)(2)因為因為tan(25tan(25+35+35)=)= 所以所以tan25tan25+tan35+tan35=

11、tan60=tan60(1-tan25(1-tan25tan35tan35) ) = - tan25= - tan25tan35tan35, , 所以所以tan25tan25+tan35+tan35+ tan25+ tan25tan35tan35 = - tan25= - tan25tan35tan35+ tan25+ tan25tan35tan35= .= . 答案答案: : tan 25tan 35 1tan 25 tan 35 ， 33 3 3333 3 (3)(3)原式原式= = =2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|,=2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|, 因為

12、因為 所以所以cos 40,cos 40,且且sin 4cos 4,sin 4cos 4, 所以原式所以原式=-2cos 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4.=-2cos 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4. 答案答案: :-2sin 4-2sin 4 22 4cos 4 2 (sin 4cos 4) 53 4, 42 【易錯警示】【易錯警示】解答本例解答本例(3)(3)有三點容易出錯有三點容易出錯: : (1)(1)想不到應(yīng)用二倍角公式想不到應(yīng)用二倍角公式, ,不能把根號下的式子化為完全平方式不能把根號下的式子化為完全平方式. . (2)(2)把把4 4與與4 4

13、弧度混淆弧度混淆, ,導(dǎo)致開方出錯導(dǎo)致開方出錯. . (3)(3)忽略討論忽略討論cos4cos4的符號及的符號及sin4sin4與與cos4cos4的大小而直接開方導(dǎo)致出錯的大小而直接開方導(dǎo)致出錯. . 【互動探究】【互動探究】對于本例對于本例(2),(2),試化簡試化簡tan+tan(60tan+tan(60-)+-)+ tantan(60 tantan(60-).-). 【解析】【解析】因為因為tan+(60tan+(60-)=-)= 所以所以tan+tan(60tan+tan(60-)-) =tan60=tan601-tantan(601-tantan(60-)-) = - tanta

14、n(60= - tantan(60-),-), 故原式故原式= - tantan(60= - tantan(60-)+ tantan(60-)+ tantan(60-)-) = .= . 3 tantan(60) , 1tan tan(60) 33 333 3 【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】 1.1.三角函數(shù)式化簡的要求三角函數(shù)式化簡的要求 (1)(1)能求出值的應(yīng)求出值能求出值的應(yīng)求出值. . (2)(2)盡量使函數(shù)種數(shù)最少盡量使函數(shù)種數(shù)最少. . (3)(3)盡量使項數(shù)最少盡量使項數(shù)最少. . (4)(4)盡量使分母不含三角函數(shù)盡量使分母不含三角函數(shù). . (5)(5)盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)

15、盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù). . 2.2.特殊角的三角函數(shù)值的逆用特殊角的三角函數(shù)值的逆用 當(dāng)式子中出現(xiàn)當(dāng)式子中出現(xiàn) 這些特殊角的三角函數(shù)值時這些特殊角的三角函數(shù)值時, ,往往就是往往就是“由由 值變角值變角”的一種提示的一種提示. .可以根據(jù)問題的需要可以根據(jù)問題的需要, ,將常用三角函數(shù)式表示出將常用三角函數(shù)式表示出 來來, ,構(gòu)成適合公式的形式構(gòu)成適合公式的形式, ,從而達(dá)到化簡的目的從而達(dá)到化簡的目的. . 13 13 22 ， 【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】1.1.化簡化簡sin(+)cos(-)-cos(+)sin(-)sin(+)cos(-)-cos(+)sin(-) = =. . 【

16、解析】【解析】原式原式=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-) =sin(+)+(-)=sin(+)+(-) =sin(+).=sin(+). 答案答案: :sin(+)sin(+) 2.(20152.(2015西寧模擬西寧模擬) )計算計算: =: =. . 【解析】【解析】 =tan(45=tan(45-15-15)=tan30)=tan30= .= . 答案答案: : cos 15sin 15 cos 15sin 15 cos 15sin 151tan 15 cos 15sin 151tan 15 3 3 3 3 【加固訓(xùn)練

17、】【加固訓(xùn)練】1.1.化簡化簡 的結(jié)果是的結(jié)果是( )( ) A.-cos 1 B.cos 1 C. cos 1 D.- cos 1A.-cos 1 B.cos 1 C. cos 1 D.- cos 1 【解析】【解析】選選C.C.原式原式= = 2 2cos 2sin 1 33 22 33sin 13cos 13cos 1. 2.2.化簡：化簡： =_.=_. 【解析】【解析】 答案：答案： 8sincoscoscos 48482412 8sincoscoscos 48482412 4sincoscos 242412 1 2sincossin. 121262 1 2 3.3.計算：計算： =

18、_.=_. 【解析】【解析】因為因為tan(20tan(20+40+40)=)= 所以所以tan 20tan 20+tan 40+tan 40= (1-tan 20= (1-tan 20tan 40tan 40),), 所以原式所以原式= = 答案：答案：- - tan 20tan 40tan 120 tan 20 tan 40 tan 20tan 40 , 1tan 20 tan 40 3 3 1tan 20 tan 403 3. tan 20 tan 40 3 考點考點2 2 三角函數(shù)求值三角函數(shù)求值 【典例【典例2 2】(1)(2015(1)(2015臨沂模擬臨沂模擬) )計算計算 的值

19、為的值為( () ) (2)(2)計算計算:4sin40:4sin40-tan40-tan40= =. . (3)(2015(3)(2015成都模擬成都模擬) )計算：計算：cos40cos40(1+ tan10(1+ tan10)=)=. . 22 sin 110 sin 20 cos 25sin 25 1313 A.B.C.D. 2222 3 【解題提示】【解題提示】(1)(1)利用誘導(dǎo)公式化大角為小角利用誘導(dǎo)公式化大角為小角, ,然后逆用二倍角公式求然后逆用二倍角公式求 值值. . (2)(2)切化弦切化弦, ,通分化簡求值通分化簡求值. . (3)(3)切化弦切化弦, ,通分通分, ,

20、注意逆用兩角和與差的三角函數(shù)公式注意逆用兩角和與差的三角函數(shù)公式. . 【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選A.A.原式原式= = sin 9020sin 20 cos 50 1 sin 40 sin 20 cos 201 2 . cos 50cos 502 sin 404sin 40 cos 40sin40 24sin 40 cos 40cos 40 2 cos10sin 10302sin 80sin 40 cos 40cos 40 3133 2cos 10sin 10cos 10cos 10 2222 cos 40 原式 sin 10 cos 40 31 3(cos 10sin 10

21、) 3cos 40 22 3. cos 40cos 40 3 答案： 答案：答案：1 1 cos 103sin 10 (3)cos 40 cos 10 13 cos 40 2( cos 10sin 10 ) 22 cos 10 2cos 40 sin 3010sin 80 1. cos 10cos 10 原式 【一題多解】【一題多解】解答本例解答本例(2)(2)，你還有其他解法嗎？，你還有其他解法嗎？ 解答本例解答本例(2)(2)還可有如下解法：還可有如下解法： 原式原式=4sin 40=4sin 40- - 答案：答案： sin 404sin 40 cos40sin 40 cos 40cos

22、 40 2sin 5030sin 402sin 80sin 40 cos 40cos 40 2sin 50 cos 302cos 50 sin 30sin 40 cos 40 3sin 50cos 50sin 403cos 40 3. cos 40cos 40 3 【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】給角求值問題的三個變換技巧給角求值問題的三個變換技巧 (1)(1)變角變角: :分析角之間的差異分析角之間的差異, ,巧用誘導(dǎo)公式把大角統(tǒng)一到小角上來巧用誘導(dǎo)公式把大角統(tǒng)一到小角上來, ,或或 把某一非特殊角拆分成一特殊角與另一非特殊角的和把某一非特殊角拆分成一特殊角與另一非特殊角的和. . (2)(2)變名

23、變名: :盡可能使得函數(shù)統(tǒng)一名稱盡可能使得函數(shù)統(tǒng)一名稱, ,?；覟榍谐；覟榍? . (3)(3)變式變式: :觀察結(jié)構(gòu)觀察結(jié)構(gòu), ,利用公式利用公式, ,整體化簡整體化簡. . 提醒提醒: :“變式變式”時常用的方法有時常用的方法有“常值代換常值代換”“”“逆用變用公式逆用變用公式”“”“通通 分與約分分與約分”“”“分解與組合分解與組合”“”“配方與平方配方與平方”等等. . 【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】(2015(2015南寧模擬南寧模擬) )計算：計算： =_.=_. 【解析】【解析】 答案：答案：2 2 2 3sin 70 2cos 10 22 3sin 703cos 20 2cos

24、102cos 10 2 2 32cos 101 2. 2cos 10 【加固訓(xùn)練】【加固訓(xùn)練】1.(20151.(2015昆明模擬昆明模擬) )計算：計算： =( )=( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4A.4 B.2 C.-2 D.-4 【解析】【解析】選選D.D. 31 cos 10sin 170 3131 cos 10sin 170cos 10sin 10 2sin 10303sin 10cos 10 sin 10 cos 10sin 10 cos10 2sin202sin 20 4. 1 sin 10 cos 10 sin 20 2 2.(20152.(2015三明模擬三明模擬)

25、 )計算：計算： _ 1 cos 201 sin 10 (tan 5 ) 2sin 20tan 5 【解析】【解析】原式原式 答案：答案： 2 2cos 10cos 5sin 5 sin 10 () 2 2sin 10 cos 10sin 5cos 5 22 cos 10cos 5sin 5cos 10cos 10 sin 10sin 10 1 2sin 10sin 5 cos 52sin 10 sin 10 2 cos 10cos 102sin 20 2cos 10 2sin 102sin 10 13 cos 102( cos 10sin 10 ) cos 102sin 3010 22 2s

26、in 10 2sin 10 3sin 103 . 2sin 102 3 2 考點考點3 3 三角函數(shù)的條件求值三角函數(shù)的條件求值 知知考情考情 利用和、差公式及倍角公式在已知條件下的求值問題是高考的熱利用和、差公式及倍角公式在已知條件下的求值問題是高考的熱 點點, ,常與平面向量的知識相結(jié)合常與平面向量的知識相結(jié)合, ,題型是三種類型都有題型是三種類型都有, ,但近幾年常以但近幾年常以 解答題的形式出現(xiàn)解答題的形式出現(xiàn). . 明明角度角度 命題角度命題角度1:1:與平面向量相結(jié)合的條件求值與平面向量相結(jié)合的條件求值 【典例【典例3 3】(2014(2014陜西高考改編陜西高考改編) )設(shè)設(shè)0

27、,0 ,向量向量a=(sin2,=(sin2, cos),cos),b=(1,-cos),=(1,-cos),若若ab=0,=0,則則sin2+cossin2+cos2 2=. . 【解題提示】【解題提示】先由向量的運算得到先由向量的運算得到sinsin與與coscos的關(guān)系的關(guān)系, ,再由此關(guān)系再由此關(guān)系 式確定方向式確定方向, ,求求sin2+cossin2+cos2 2的值的值. . 2 【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】因為因為ab=0,=0,所以所以sin2-cossin2-cos2 2=0,=0,即即2sincos2sincos =cos=cos2 2.因為因為(0, ),(0, ),所以所

28、以2sin=cos,2sin=cos,即即tan= ,tan= , 所以所以sin2+cossin2+cos2 2= 答案答案: : 2 1 2 2 222 2sincoscos 2tan 18 . sin cos tan 15 8 5 命題角度命題角度2 2：三角函數(shù)的給值求值三角函數(shù)的給值求值 【典例【典例4 4】(2014(2014江蘇高考江蘇高考) )已知已知( ,),sin =( ,),sin = (1)(1)求求sin( +)sin( +)的值的值. . (2)(2)求求cos( -2)cos( -2)的值的值. . 【解題提示】【解題提示】(1)(1)先由條件求先由條件求cos

29、cos 的值，再求的值，再求sin( +)sin( +)的值的值. . (2)(2)由由sin ,cos sin ,cos 的值，先求的值，先求sin 2,cos 2sin 2,cos 2的值的值, ,再求再求 cos( -2)cos( -2)的值的值. . 2 5 . 5 4 5 6 4 5 6 【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)由題意由題意cos =cos = 所以所以sin( +)=sin cos +cos sin sin( +)=sin cos +cos sin 2 52 5 1 (), 55 4 4 4 2 22 52510 (). 252510 43 2 sin 22sin co

30、s cos 22cos 1, 55 555 cos(2)coscos 2sinsin 2 666 33143 34 (). 252510 ， 所以 命題角度命題角度3 3：和函數(shù)相結(jié)合的條件求值和函數(shù)相結(jié)合的條件求值 【典例【典例5 5】(2014(2014廣東高考廣東高考) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=Asin(x+ )f(x)=Asin(x+ )，xRxR， 且且 (1)(1)求求A A的值的值. . (2)(2)若若f()-f(-)= ,(0, )f()-f(-)= ,(0, )，求，求f( -).f( -). 【解題提示】【解題提示】(1)(1)把把 代入解析式求代入解析式求A A的值

31、的值. . (2)(2)由已知條件利用兩角和與差的正弦和同角三角函數(shù)的關(guān)系求解由已知條件利用兩角和與差的正弦和同角三角函數(shù)的關(guān)系求解, ,求求 解時要注意角的范圍解時要注意角的范圍. . 3 53 2 f(). 122 3 2 6 5 12 【解析】【解析】(1)(1)由由 (2)f()-f(2)f()-f()=)= 553A 23 2 f()Asin()AsinA3. 12123422 ，可得 3, 3sin()3sin()3 33 則， 13313 3(sincos ) 3(cossin )3sin. 22223 ， 6 (0,)cos 23 f()3sin()3sin()3cos6. 6

32、632 因為，所以， 悟悟技法技法 1.1.與向量有關(guān)的求值問題的解法與向量有關(guān)的求值問題的解法 三角函數(shù)的求值問題常與向量的坐標(biāo)運算有關(guān)聯(lián)三角函數(shù)的求值問題常與向量的坐標(biāo)運算有關(guān)聯(lián), ,這類問題需要先用這類問題需要先用 向量公式進(jìn)行運算后向量公式進(jìn)行運算后, ,再用三角公式進(jìn)行化簡和求值再用三角公式進(jìn)行化簡和求值. . 2.2.給值求值問題的解法給值求值問題的解法 已知條件下的求值問題常先化簡需求值的式子已知條件下的求值問題常先化簡需求值的式子, ,再觀察已知條件與所再觀察已知條件與所 求值的式子之間的聯(lián)系求值的式子之間的聯(lián)系( (從三角函數(shù)名及角入手從三角函數(shù)名及角入手),),最后將已知條

33、件及最后將已知條件及 其變形代入所求式子其變形代入所求式子, ,化簡求值化簡求值. . 3.3.和三角函數(shù)相結(jié)合的條件求值的解法和三角函數(shù)相結(jié)合的條件求值的解法 該類問題的解答常先根據(jù)條件確定解析式并化簡函數(shù)解析式該類問題的解答常先根據(jù)條件確定解析式并化簡函數(shù)解析式, ,然后把然后把 已知條件代入函數(shù)解析式化簡并求相關(guān)的值已知條件代入函數(shù)解析式化簡并求相關(guān)的值, ,變形成要求的式子并代變形成要求的式子并代 入前面所求的值計算入前面所求的值計算. . 通通一類一類 1.(20151.(2015銅陵模擬銅陵模擬) )設(shè)設(shè) , ,若若 則則cos =cos = . . 【解析】【解析】因為因為 ,

34、, 所以所以 所以所以 故故cos =cos = 答案：答案： (0,) 2 3 sin(), 65 (0,) 2 , 663 2 4 cos()1 sin (), 665 43314 33 cos(). 66525210 4 33 10 2.(20132.(2013江西高考改編江西高考改編) )若若 則則cos2=cos2=. . 【解析】【解析】因為因為 所以所以cos=cos= cos2=2coscos2=2cos2 2-1=-1= 答案答案: :- - 6 cos 23 ， 6 cos 23 ， 2 61 2cos121, 293 17 21. 99 7 9 3.(20153.(201

35、5大同模擬大同模擬) )已知向量已知向量a=(4,5cos),=(4,5cos),b=(3,-4tan).=(3,-4tan). 若若ab, ,且且(0, ),(0, ),則則cos(2- )=cos(2- )=. . 2 4 【解析】【解析】因為因為ab，所以，所以ab0 0， 即即12-20cos tan 12-20cos tan 0 0，所以，所以12-20sin 12-20sin 0 0，即，即sin sin 因為因為(0(0， ) )，所以，所以cos cos 所以所以sin 2sin 22sin cos 2sin cos ，cos 2cos 21-2sin1-2sin2 2 所以所以cos(2- )cos(2- )cos 2cos +sin 2sin cos 2cos +sin 2sin 答案：答案： 3 . 5 2 4 . 5 24 25 7 . 25 4 4 4 7224231 2 . 25225250 31 2 50 4.(20