1、 用正弦定理解三角形需要已知哪些條件？用正弦定理解三角形需要已知哪些條件？ 兩角和一邊，兩角和一邊，兩邊和其中一邊的對(duì)角。兩邊和其中一邊的對(duì)角。 正弦定理正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì) 角的正弦的比相等。角的正弦的比相等。 sinsinsin abc ABC 復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 思考：思考：如果在一個(gè)斜三角形中，已知如果在一個(gè)斜三角形中，已知兩邊及兩邊及 這兩邊的夾角這兩邊的夾角，能否用正弦定理解這個(gè)三角形，能否用正弦定理解這個(gè)三角形， 為什么？為什么？ 不能，在正弦定理不能，在正弦定理 中，已中，已 知兩邊及這兩邊的夾角，正弦定理的任一等號(hào)兩邊知兩邊及這兩

2、邊的夾角，正弦定理的任一等號(hào)兩邊 都有兩個(gè)未知量。都有兩個(gè)未知量。 sinsinsin abc ABC 那么，怎么解這個(gè)三角形呢？那么，怎么解這個(gè)三角形呢？ 2 2 AB AC CB 22 2AB AC ACAB 22 2COSAB ACA ACAB AC BC BA AB CB CA 同理，同理，從從 出發(fā)，出發(fā)， 證得證得 從從 出發(fā)，證得出發(fā)，證得 2 22 2cosacB c b a 2 2 2 2cosabC b ca 證明：證明：CB AB AC 學(xué)過向量之后，我們能用向量的方法學(xué)過向量之后，我們能用向量的方法 給予證明余弦定理。給予證明余弦定理。 已知已知AB,AC和它們的夾角和

3、它們的夾角A，求，求CB 22 2 2cosbcA ac b 即即 C BA 向量法向量法 解析法解析法 C B A c a b y x (bcosC,bsinC) (a,0) (0，0) 證明：以證明：以CB所在的直所在的直 線為線為x軸，過軸，過C點(diǎn)垂直點(diǎn)垂直 于于CB的直線為的直線為y軸，軸， 建立如圖所示的坐標(biāo)建立如圖所示的坐標(biāo) 系，則系，則A、B、C三點(diǎn)三點(diǎn) 的坐標(biāo)分別為：的坐標(biāo)分別為：(0,0)C( ,0)B a( cos, sin)A bC bC 222 )0sin()cos(CbaCbAB CbaCabCb 22222 sincos2cos Cabbacos2 22 22222

4、2 c = a + b -2abcosCc = a + b -2abcosC 同理：同理： 2 22 22 2 b b = = a a + + c c - -2 2a ac cc co os sB B 22222 a = b + c -2bccosAa = b + c -2bccosA C B A c a b y x (bcosC,bsinC) (a,0) (0，0) 解析法解析法 A B C a bc D 當(dāng)角當(dāng)角C為銳角時(shí)為銳角時(shí) 幾何法幾何法 b A a c C BD 當(dāng)角當(dāng)角C為鈍角時(shí)為鈍角時(shí) C B A ab c 余弦定理作為勾股定理的余弦定理作為勾股定理的 推廣，考慮借助勾股定理來

5、推廣，考慮借助勾股定理來 證明余弦定理。證明余弦定理。 在銳角三角形在銳角三角形ABC中，已知中，已知AB=c,AC=b和和A,求求a 222 CDBDa 22 ( sin )(cos )bAc bA 2 22 22 2cos cossin AAbcA c b b 2 2 2cosbcA c b 同理有：同理有： 2 22 2cosacB ac b 2 22 2cosabC ca b 同樣，對(duì)于鈍角三角形及直角三角形，上面三個(gè)同樣，對(duì)于鈍角三角形及直角三角形，上面三個(gè) 等式成立的，課后請(qǐng)同學(xué)們自己證明。等式成立的，課后請(qǐng)同學(xué)們自己證明。 D 幾何法幾何法 AB C c b a 22 2 2co

6、sbcA ac b 2 22 2cosacB c b a 2 2 2 2cosabC b ca 用用語言描述語言描述：三角形任何一邊的平方等于：三角形任何一邊的平方等于 其它兩邊的平方和其它兩邊的平方和, 再減去這兩邊與它們夾再減去這兩邊與它們夾 角的余弦的積的兩倍。角的余弦的積的兩倍。 余 弦 定 理 例例1：若已知：若已知b=8,c=3,A= ,能求能求a嗎？嗎？60 22 60 2 8 3 cos49 3 7 8 a 思考思考：余弦定理還有別的用途嗎？：余弦定理還有別的用途嗎？ 若已知若已知a,b,c,可以求什么？可以求什么？ 22 2 2cosbcA ac b 解： 2 22 2 co

7、s cab bc A 2 22 2 cos acb ac B 2 22 2 cos acb ab C 余弦定理的變形：余弦定理的變形： 例例2 2、在三角形、在三角形ABCABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,a=7,b=10,c=6, 求求A A，B B，C C（精確到（精確到 ）1 分析：已知三邊，求三個(gè)角，可用余弦定理的變形來分析：已知三邊，求三個(gè)角，可用余弦定理的變形來 解決問題解決問題 解：解： 2222 22 7106 2 10 62 cos0.725 cab bc A 44 A 2222 22 7610 22 7 6 cos0.178 acb ac B 100 B 18

8、036 CA B 1、已知ABC的三邊為 、2、1， 求它的最大內(nèi)角。 解：不妨設(shè)三角形的三邊分別為a= ,b=2,c=1 則最大內(nèi)角為A 由余弦定理 cosA= 12+22- ( ) 2 221 = - 1 2 A=120 若已知三邊的比是若已知三邊的比是 :2:1, 又怎么求？又怎么求？ 歸納：歸納： 利用余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題利用余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題： （1）已知三邊，求三個(gè)角）已知三邊，求三個(gè)角 （2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊，）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊， 進(jìn)而還可求其它兩個(gè)角。進(jìn)而還可求其它兩個(gè)角。 解：由余弦定理得： 是銳角C 是銳

9、角三角形 中的最大角是根據(jù)大邊對(duì)大角， 是銳角，）知：）由（ ABC ABCC C 12 例3、在ABC中,若a=4、b=5、c=6 （1)試判斷角C是什么角？ （2）判斷ABC的形狀 222222 4561 (1)cos0 22 4 58 abc C ab 變式訓(xùn)練： 在ABC中，若，則ABC的形狀 為（） 222 cba 、鈍角三角形、直角三角形 、銳角三角形、不能確定 A C C B B A A b b a a c c 提煉：設(shè)提煉：設(shè)a是最長的邊，則是最長的邊，則 ABC是鈍角三角形0 222 acb ABC是銳角三角形0 222 acb ABC是直角三角形0 222 acb 推論：推

10、論： 2 22 2 cos cab bc A 判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀 練習(xí)：練習(xí)：一鈍角三角形的邊長為連續(xù)自然數(shù)，一鈍角三角形的邊長為連續(xù)自然數(shù)， 則這三邊長為則這三邊長為（ ） A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6 分析：分析： 要看哪一組符合要求，只需檢驗(yàn)?zāi)囊粋€(gè)選項(xiàng)要看哪一組符合要求，只需檢驗(yàn)?zāi)囊粋€(gè)選項(xiàng) 中的最大角是鈍角，即該角的余弦值小于中的最大角是鈍角，即該角的余弦值小于0。 B中：中： ，所以，所以C是鈍角是鈍角 222 1 324 42 2 3 cosC D中：中： ，所以，所以C是銳角，是銳角， 因此以因此以4，5，6為三邊長的三角形是銳角三角

11、形為三邊長的三角形是銳角三角形 222 15 64 82 4 5 cosC A、C顯然不滿足顯然不滿足 B 練習(xí)：練習(xí)：在三角形在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=8,cosC= , 求最大角的余弦值求最大角的余弦值 13 14 分析：求最大角的余弦值，最主要的是判斷哪個(gè)角分析：求最大角的余弦值，最主要的是判斷哪個(gè)角 是最大角。由大邊對(duì)大角，已知兩邊可求出第三邊是最大角。由大邊對(duì)大角，已知兩邊可求出第三邊, 找到最大角。找到最大角。 2 2 2 2cosabC b ca 2213 14 2 7 89 87 解：解： 3c 則有：則有：b是最大邊，那么是最大邊，那么B 是最大角是最大角 2

12、222 22 738 22 3 7 1 cos 7 acb ac B （1）余弦定理適用于任何三角形）余弦定理適用于任何三角形 （3）由余弦定理可知：）由余弦定理可知： （2）余弦定理的作用：）余弦定理的作用： a、已知三邊，求三個(gè)角、已知三邊，求三個(gè)角 b、已知兩邊及這兩邊的夾角，求第三邊，、已知兩邊及這兩邊的夾角，求第三邊， 進(jìn)而可求出其它兩個(gè)角進(jìn)而可求出其它兩個(gè)角 c、判斷三角形的形狀、判斷三角形的形狀 小結(jié)小結(jié) 90 A 90 A 90 A 0 222 acb 0 222 acb 0 222 acb 正余弦定理在解三角形中能正余弦定理在解三角形中能 解決哪些問題？解決哪些問題？ 角邊角角邊角 角角邊角角邊 邊邊角邊邊角 邊角邊邊角邊 邊邊邊邊邊邊 正弦定理正弦定理 余弦定理余弦定理 例例2、在三角形、在三角形ABC中，已知中，已知a=2.730,b=3.696,C= , 解這個(gè)三角形（邊長保留四個(gè)有效數(shù)字，角度精確到解這個(gè)三角形（邊長保留四個(gè)有效數(shù)字，角度精確到 ） 28 82 1 分析：已知兩邊和兩邊的夾角分析：已知兩邊和兩邊的夾角