1、高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 推廣推廣 第八章第八章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 注意注意: 善于類比善于類比, 區(qū)別異同區(qū)別異同 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應(yīng)用及其應(yīng)用 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 第八章 第一節(jié)第一節(jié) 一、區(qū)域一、區(qū)域 二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限 四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 )( 0 o PPU0 0 PP 一、一、 區(qū)域區(qū)域 1. 鄰域鄰域 點(diǎn)集 ,

2、 ) ,( 0 PPU稱為點(diǎn) P0 的 鄰域鄰域. . 例如例如, ,在平面上, ),(),( 0 yxPU (圓鄰域) 在空間中, ),(),( 0 zyxPU (球鄰域) 說明：說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫成. )( 0 PU 點(diǎn) P0 的去心鄰域去心鄰域記為 0 PP )()( 2 0 2 0 yyxx )()()( 2 0 2 0 2 0 zzyyxx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域, 平面上的方鄰域?yàn)?),() ,U( 0 yxP 。 0 P 因?yàn)榉洁徲蚺c圓 鄰域可以互相包含. , 0 xx 0 yy

3、 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 2. 區(qū)域區(qū)域 (1) 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn) 設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn) P : 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E = , 若對(duì)點(diǎn) P 的任一任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含 E E 則稱 P 為 E 的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)； 則稱 P 為 E 的外點(diǎn)外點(diǎn) ; 則稱 P 為 E 的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn) . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的外點(diǎn) , 顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E , E 的外點(diǎn)必不屬于 E , E 的 邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E . 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概

4、 念 (2) 聚點(diǎn)聚點(diǎn) 若對(duì)任意給定的 , ,點(diǎn)P 的去心 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) ,(PU E 鄰域 內(nèi)總有E 中的點(diǎn) , 則 稱 P 是 E 的聚點(diǎn)聚點(diǎn). 聚點(diǎn)可以屬于 E , 也可以不屬于 E (因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為 所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為 E 的導(dǎo)集導(dǎo)集 . E 的邊界點(diǎn) ) 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 D (3) 開區(qū)域及閉區(qū)域 若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱 E 為開集； 若點(diǎn)集 E E , 則稱 E 為閉集； 若集 D 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域. 則稱 D 是連通的 ; 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡稱區(qū)域 ;

5、 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 。 。 E 的邊界點(diǎn)的全體稱為 E 的邊界, 記作E ; 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 例如，例如，在平面上 0),( yxyx 41),( 22 yxyx 0),( yxyx 41),( 22 yxyx 開區(qū)域 閉區(qū)域 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x y o 21 x y o x y ox y o 21 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 整個(gè)平面 點(diǎn)集 1),(xyx 是開集， 是最大的開域 , 也是最大的閉域； 但非區(qū)域 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11ox y 對(duì)區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點(diǎn) PD 與某定點(diǎn)

6、A 的距離 AP K , 則稱 D 為有界域有界域 , 界域界域 . 否則稱為無無 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 3. n 維空間維空間 n 元有序數(shù)組),( 21n xxx ),( 21n xxx 的全體稱為 n 維空間維空間, ,R n n 維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中的 k x數(shù)稱為該點(diǎn)的第 k 個(gè)坐標(biāo)坐標(biāo) . 記作 即 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 RRRR n nkxxxx kn ,2, 1,R),( 21 一個(gè)點(diǎn)點(diǎn), 當(dāng)所有坐標(biāo) 時(shí)，0 k x稱該元素為 n R 中的零元,記作 O . 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 的距離距離記作 22 22 2 11 )()(

7、)(),( nn yxyxyxyx 中點(diǎn) a 的 鄰域鄰域?yàn)?),( 21n yyyy與點(diǎn) ),(,R),(axxxaU n 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(R 21n n xxxx中的點(diǎn) ,),(yxyx或規(guī)定為 ),(R 21n n xxxx中的點(diǎn)與零元 O 的距離為 22 2 2 1n xxxx .,3, 2, 1xxn通常記作時(shí)當(dāng) 0Raxax n 滿足與定元中的變?cè)? ax 記作 n R 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強(qiáng) 三角形面積的海倫公式 , 2h rV ,(為常數(shù)）R V TR

8、p ) 2 ( cba p c b a 0, 0),(hrhr 0 , 0),(TTVTV cbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappS 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 h r 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 定義定義1. 設(shè)非空點(diǎn)集,R n D DPPfu, )(或 點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的定義域定義域 ; 數(shù)集 DP,Pfuu)( 稱為函數(shù)的值域值域 . 特別地 , 當(dāng) n = 2 時(shí), 有二元函數(shù) 2 R),(),(Dyxyxfz 當(dāng) n = 3 時(shí), 有三元函數(shù) 3 R),(),(Dzyxzyxfu 映射R:Df稱為定義 在 D 上的 n 元函數(shù)元函數(shù) ,

9、記作 ),( 21n xxxfu 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 x z y 例如, 二元函數(shù) 22 1yxz 定義域?yàn)?),( 22 yxyx圓域 說明說明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D 圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面. , )sin(,yxz 又如 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的圖形一般為空間曲面 . 1 2 R),(yx 三元函數(shù) )arcsin( 222 zyxu 定義域?yàn)?1),( 222 zyxzyx 圖形為 4 R 空間中的超曲面. 單位閉球 x y z o 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 三、多元函數(shù)的

10、極限三、多元函數(shù)的極限 定義定義2. 設(shè) n 元函數(shù) ,R),( n DPPf 點(diǎn) , , ) ,( 0 PUDP ,-)(APf 則稱 A 為函數(shù) (也稱為 n 重極限) 當(dāng) n =2 時(shí), 記 2 0 2 00 )()(yyxxPP 二元函數(shù)的極限可寫作： Ayxf ),(lim 0 APf PP )(lim 0 P0 是 D 的聚 若存在常數(shù) A ,對(duì)一 記作 ，時(shí)的極限當(dāng) 0 )(PPPf Ayxf yy xx ),(lim 0 0 都有 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)任意正數(shù) , 總存在正數(shù) , 切 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 例例1. 設(shè))0( 1 sin)(),(

11、 22 22 22 yx yx yxyxf 求證： .0),(lim 0 0 yxf y x 證證:0 1 sin)( 22 22 yx yx 故0),(lim 0 0 yxf y x ,0 0),( yxf ,0 22 時(shí)當(dāng)yx 22 yx 2 22 yx , 總有 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 要證 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 例例2. 設(shè) 0, 0 0,sinsin ),( 11 yx yxyx yxf xy 求證：.0),(lim 0 0 yxf y x 證：證： 0),(yxf 故 0),(lim 0 0 yxf y x , 0 20),( 22 yxyxf yx 22

12、 2 yx ,2 時(shí)，當(dāng)0 22 yx xy yx 11 sinsin 總有 2 要證 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 若當(dāng)點(diǎn)),(yxP 趨于不同值或有的極限不存在， 解解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點(diǎn) (0, 0) , 22 ),( yx yx yxf 222 2 00 lim),(lim xkx xk yxf x kxy x 在點(diǎn) (0, 0) 的極限. ),(yxf故 則可以斷定函數(shù)極限 則有 2 1k k k 值不同極限不同值不同極限不同 ! 在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在 . 以不同方式趨于,),( 000 時(shí)yxP

13、不存在 . 例例3. 討論函數(shù) 函數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 例例4. 求 2222 22 0 0 )( )cos(1 lim yxyx yx y x 解解: 因,)( 222 4 1 22 yxyx 2222 22 )( )cos(1 yxyx yx 而 6 2 0 )cos1 (4 lim r r r 此函數(shù)定義域 不包括 x , y 軸 , 222 yxr令 則 6 2 )cos1 (4 r r 6 4 0 2 lim r r r 2 cos1r 2 2 r 故 2222 22 0 0 )( )cos(1 lim yxyx yx y x 機(jī)

14、動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 僅知其中一個(gè)存在,推不出其它二者存在. 二重極限 ),(lim 0 0 yxf yy xx ),(limlim 00 yxf xxyy 及 不同不同. 如果它們都存在, 則三者相等. 例如例如,),( 22 yx yx yxf 顯然 ),(limlim 00 yxf yyxx 與累次極限 ),(limlim 00 yxf yx ),(limlim 00 yxf xy 0,0 但由例3 知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在 . 例3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 四四、 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)

15、的連續(xù)性 定義定義3 . 設(shè) n 元函數(shù))(Pf定義在 D 上, )()(lim 0 0 PfPf PP 0 )(PPf在點(diǎn) 如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上 , 0 DP 聚點(diǎn) 如果存在 否則稱為不連續(xù), 0 P 此時(shí) 稱為間斷點(diǎn) . 則稱 n 元函數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 連續(xù). 連續(xù), 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 例如例如, 函數(shù) 0,0 0, ),( 22 22 22 yx yx yx yx yxf 在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在, 又如又如, 函數(shù) 1 1 ),( 22 yx yxf 上間斷. 1 22 yx 故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn)

16、. 在圓周 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 結(jié)論結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù). 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 定理定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,0) 1 ( K )()2(Pf , ,Mm * (4) f (P) 必在D 上一致連續(xù) . ;,)(DPKPf使 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ; (3) 對(duì)任意 ，DQ;)(Qf使 (有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致連續(xù)性定理) 閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì): (證明略) 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 . 11 lim

17、 0 0yx yx y x 解解: : 原式 ) 11( 1) 1( lim 2 0 0 yxxy yx y x 2 1 例例5. .求 2 22 )3arcsin( ),( yx yx yxf 13 22 yx 42 22 yx 例例6. 求函數(shù)的連續(xù)域. 解解: 0 2 yx 2 yx 11 1 lim 0 0 yx y x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2 o y x2 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 區(qū)域 鄰域 :, ) ,( 0 PU ) ,( 0 PU 區(qū)域連通的開集 空間 n R 2. 多元函數(shù)概念 n 元函數(shù)),( 21n xxxf 常用 二元

18、函數(shù) (圖形一般為空間曲面) 三元函數(shù) DP )(Pfu n R 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 APf PP )(lim 0 ,0 ,0 時(shí)，當(dāng)0 0 PP 有)( APf 3. 多元函數(shù)的極限 4. 多元函數(shù)的連續(xù)性 1) 函數(shù) 連續(xù)在 0 )(PPf )()(lim 0 0 PfPf PP 2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 有界定理 ;最值定理 ; 介值定理 3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù) P11 題 2; 4; 5 (3), (5) ( 畫圖 ) ; 8 P72 題 3; 4 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 高

19、等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 解答提示解答提示: : P11 題 2. ),(),( 2 yxftytxtf稱為二次齊次函數(shù) . P11 題 4. xyx yxyxyxyxyxf 2 )()(),( P11 題 5(3). 定義域 0 : y yx D P11 題 5(5). 定義域 22222 :RzyxrD 2 xy D y xo R x y o D r 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 P12 題 8.間斷點(diǎn)集02),( 2 xyyx P72 題 3.定義域 10 4 : 22 2 yx xy D 24 0 42 2 0 0 1 limlim xk xk yx yx x y x )0, 2 1 (),(lim 0 2 1 fyxf y x 4 3 ln 2 P72 題 4. 令 y= k x ， 0 若令 xy 42 2 0 0 lim yx yx y x 2 1 2 2 02 lim x x x D xy4 2 y x1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , 則 可見極限 不存在 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)課件下第基本概 念 作業(yè)作業(yè) P11 5 (2), (4