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文檔簡介
1、福建農林大學計算機與信息學院(數學類課程)課程論文報告課程名稱:概率論與數理統計教程實習題目:回歸分析在數理統計中的應用實例姓 名: 系:應用數學專 業:數學與應用數學年 級:2009級學 號:指導教師:職 稱:副教授2011 年 6 月 25 日福建農林大學計算機與信息學院數學類課程論文報告結果評定評語:成績:指導教師簽字:評定日期: 目錄摘要 .21、 問題的提出.32、問題的分析33、問題的解決33.1 問題重述33.2 建立模型33.3 模型求解43.4 模型檢驗64、小結8參考文獻8附錄9回歸分析在數理統計中的應用實例摘要:回歸分析是數理統計中重要的一種數據統計分析的思想。它是研究一
2、個隨機變量與一個或多個普通變量之間的相互關系的統計方法。主要是解決從一組數據出發,確立變量間是否存在相關的關系,如果存在相關關系,確定他們之間合適的數學表達式即經驗公式或回歸方程,并對它的可信度作統計檢驗;還可以針對從共同影響一個變量的許多變量中,判斷哪些變量的影響是顯著的,哪些變量是不顯著的,并利用所確定的回歸方程進行預測和控制。本文就是針對實際問題運用回歸分析中一元線性回歸分析的統計方法,來確定自變量與另一個變量的相關關系,并確立出較為合理的回歸方程,再對其的可信度進行統計檢驗。關鍵詞:回歸分析;回歸方程;檢驗法回歸分析在數理統計中的應用實例1、 問題的提出 根據以下9組關于營業稅稅收總額
3、和社會商品零售總額的數據1,確定出兩者的關系。 表1 社會商品零售總額和營業稅稅收總額序號社會商品零售總額營業稅稅收總額1142.083.932177.305.963204.687.854242.689.825316.2412.506341.9915.557332.6915.798389.2916.399453.4018.452、 問題的分析 營業稅稅收總額是受很多的因素所決定,但是題目中已經將主要的因素確定為社會商品零售總額,這就大大的減少了在對于自變量的多因素進行分析的過程,從而減少了在計算以及統計上的困難,但是這也在很大的程度上減少了結果的實際意義。在針對本題所給的兩個變量之間的關系,作
4、出回歸分析以及運用重要的數學軟件的實現,從而來確定這兩個變量之間的關系,并計算出兩者之間的回歸方程,再對方程的可信度進行檢驗。3、 問題的解決 3.1 問題重述 在本題目中已經明確地給出只有兩個變量之間的關系,所有可以忽略影響營業稅稅收總額除社會商品零售總額之外的其他因素,這對于解決問題減少了難度。只要在運用回歸分析的統計方法來比較二者之間的關系以及它們之間的相關性,并運用經驗的回歸公式,計算出二者之間的數學關系式。3.2 建立模型根據表中所給的數據初步作出營業稅稅收總額和社會商品零售總額之間的數據散點圖,并在散點圖中找出關于二者之間的初步關系。運用數學軟件來作出二者的散點圖如下:(matla
5、b程序代碼如附錄一)從散點圖中可以看出,這9個點分布在一條直線的附近,從而可以初步認為和的關系基本上是線性的,而這些點與直線的偏離是由其他一切隨機因素影響而成的。因此可以假設表1中的數據有以下的關系式: (3-1)其中表示隨的變化而線性變化的部分,是一切隨機因素影響的總和,有時也稱隨機誤差,它是不可觀測其值的隨機變量,并假定其數學期望,方差,并且服從正態分布。可以是隨機變量也可以是一般變量。而在以下的討論中,都假定社會商品零售總額是一般變量,即它是可以精確測量或嚴格控制的。由式子(3-1)可知營業稅稅收總額是一個隨機變量,但其值是可以觀測的,其數學期望是社會商品零售總額的線性函數 (3-2)這
6、即是營業稅稅收總額與社會商品零售總額的相關關系形式。 對表1的幾組數據觀測值,由式子(3-1)可得 (3-3)各是相互獨立;,并且將式子(3-3)稱為一元線性回歸模型。3.3 模型求解建立一元線性模型(3-3)后的首要任務就是根據所給數據求出從而確立二個變量之間的關系。而通常采用最小二乘估計求模型(3-3)中的的值。令 (3-4)應滿足 (3-5)稱這樣得到的稱為的最小二乘估計2。 由于,且對的導數存在,因此最小二乘法估計可以通過求偏導數并令其為零而得到: (3-6)這組方程稱為正規方程組,經過整理可得 (3-7)記則有式子(3-7)得 (3-8)這就是求模型(3-3)的最小二乘估計方法。則可
7、以運用以上的模型將表1的數據進行統計計算,利用數學軟件算出可得關系如下:(程序代碼見附錄二) (3-9)將這個回歸方程的圖像圖與散點圖進行比較,并進行分析。畫出二者的圖如下:(程序代見附錄三)可以從圖中看出表中的9個數據都比較穩定在落在直線的附近,從而可以初步的認為模型(3-3)所確立而得到的回歸方程是有意義的,但是還是要通過科學的檢驗方法來檢驗它的可信度。3.4 模型檢驗 建立經驗回歸方程的目的在于揭示兩個相關變量與之間的內在的關系,然而對于任意樣本的觀測值作出的散點圖,即使一眼可以看出與之間根本不存在線性關系,也可以通過式子(3-8)求出回歸方程,但此時的回歸方程是毫無意義的。所以必須有一
8、種方法去檢驗回歸方程的可信度,在統計中稱為回歸顯著檢驗3,如果,當越大,隨著的變化明顯;當越小,隨著的變化趨勢不明顯;特別當=0,,就意味著與沒有線性關系。實質上就是要對假設進行檢驗。為了尋找合適的統計量,對關系式進行分解,并稱為總的偏差平方和,它反映的離散程度,由于= (3-10)記 (3-11) (3-12)從而得 (3-13)所以若回歸方程有意義,即引起波動主要是由變化而引起的,其他因素是次要的。即要求盡可能大,盡可能小。為此,在此基礎上建立檢驗,其主要思想如下:在為真時,有 (3-14)當不為真時,有變大的趨勢,因而也有變大的趨勢,故應當取單向拒絕域。對給定的顯著水平,當時,認為不真,
9、我們稱方程是顯著的,反之方程是不顯著的,這種用檢驗對回歸方程作顯著性檢驗的方法也稱為方差分析。其檢驗過程可以由一張“方差分析表”來進行。見表2.表2 方差分析表方差來源偏差平方和自由度方差值顯著性回歸1剩余總和所以運用以上的檢驗方法來檢驗回歸方程(3-9)的可信度,具體可以運用回歸分析中的方差分析程序來實現方差分析表的確立。實現的結果如下:建立回歸數據分析變量之間的.txt文件,在利用回歸分析程序包來作出如下的回歸分析的方差分析表。經過回歸分析的方差分析表的結果,可以看出這個回歸方程所確定營業稅稅收總額和社會商品零售總額的關系是符合線性關系的。4、 小結本文主要針對實際問題運用了數理統計中的回
10、歸分析的知識去解決。對于營業稅稅收總額和社會商品零售總額的關系能較為準確的表達式,這對實際有很大的應用,此外還對于預測營業稅稅收總額有很大的作用。另一方面,在實驗的過程中,對于我的理論的實踐運用有很大的作用,同時也會給自身帶來在實踐中的經驗。但是在實驗的過程中,還是存在著一些問題,如回歸方法的確定等。經過這次課程論文的研究中,讓我更加明白了數理統計中回歸分析對于實際問題的應用于解決,同時也讓我明白自己在某些方面還存在著不足,還需要在以后的學習中強化自己的理論知識以及實踐能力。參考文獻1:茆詩松,程依明,濮曉龍著概率論與數理統計教程北京:高等教育出版社,2010第413頁2:茆詩松,程依明,濮曉
11、龍著概率論與數理統計教程北京:高等教育出版社,2010第397至398頁3:王巖,隋思蓮,王愛青著數理統計與matlab工程數據分析北京:清華大學出版社,2007.7附錄附錄一%給出向量x和y,利用下面的程序代碼可以繪制散點圖x=142.08 177.30 204.68 242.68 316.24 341.99 332.69 389.29 453.40;y=3.93 5.96 7.85 9.82 12.50 15.55 15.79 16.39 18.45;plot(x,y,*)xlabel(社會商品零售總額x)ylabel(營業稅稅收總額y)附錄二%給出向量x和y,利用下面的程序代碼可以求出回歸系數x=142.08 177.30 204.68 242.68 316.24 341.99 332.69 389.29 453.40;y=3.93 5.96 7.85 9.82 12.50 15.55 15.79 16.39 18.45;xp=sum(x,2)/9;yp=sum(y,2)/9;lxy=sum(x.*y,2)-9*xp*yp;lxx=sum(x.*x,2)-9*xp*xp;beta1=lxy/lxxbeta0=yp-beta1*xp附錄三%作出散點圖與回歸方程直線的圖像比較x=142.08 177.30 204.
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